20 KiB
从分块计算到四大分支：BMM 最优实现的逻辑推导
昇腾 BatchMatMulV3 算子 | 目标芯片 950PR（DAV_3510，32 AIC / 1.65GHz） 上游文档：《BMM分块计算数学公式》（分块计算"是什么"） · 下游文档：《BMM最优软件实现方案设计》第六章（四大分支"怎么用"） 本文定位：补上中间缺失的一层——为什么从"分块计算 + 最优实现"出发，恰好推导出 MergeBatch / IterBatch / ASW_Basic / StreamK 这四大分支，不多也不少。
0. 问题陈述：缺失的那层逻辑是什么
《BMM分块计算数学公式》告诉我们：BMM 的 4 重循环 (b, m, n, k) 可以按硬件容量做嵌套分块，并用 swizzle 函数 \sigma 重排块到核的映射。《BMM最优软件实现方案设计》第六章直接给出了四大分支。但中间有一跳没有论证：
分块参数 $(B^t, M^t, N^t, K^t)$、核间切分方式、swizzle 函数
\sigma有无穷多种取法。凭什么最优实现的搜索空间恰好收敛到 4 个分支？
本文的推导链条如下，每一节对应链条上的一环：
分块计算公式（自由度）
→ 硬件强加的两条不变式（规则）
→ 四个维度核间切分的代价表（代价不对称）
→ "最优"的三个必要条件（目标函数展开）
→ 决策树：按代价从低到高购买并行度（推导）
→ 15 种切分组合坍缩为 4 个等价类（完备性 + 极小性证明）
→ 与分块公式的参数特化对应（闭环）
1. 起点：分块计算公式给出的自由度
分块计算把 BMM 重组为两层结构（记号同《BMM分块计算数学公式》）：
核间：\tilde{B} \times \tilde{M} \times \tilde{N} 个基本块，经 swizzle \sigma 映射到 C 个核：
(\beta, \mu, \nu) = \sigma^{-1}\big((c + rC) \bmod \tilde{B}\tilde{M}\tilde{N}\big), \qquad c \in [0, C)
核内：K 循环在 L0C 上原地累加，经 L1/L0 两级缓冲流水：
C_{(\beta,\mu,\nu)}^{\text{L0C}} = \sum_{\kappa=0}^{\tilde{K}-1} \mathrm{mmad}\big(A[\beta,\mu,\kappa],\; B[\beta,\kappa,\nu]\big)
这个数学结构里，自由决策只有三类：
| 自由度 | 数学对象 | 物理含义 |
|---|---|---|
| F1：核间切分 | \tilde B, \tilde M, \tilde N 如何对 C 分解；\kappa 是否跨核 |
哪些维度的块被分到不同核上 |
| F2：核内组织 | B^t, M^t, N^t, K^t 及 L1/L0 驻留深度 d_A, d_B |
单核内如何折叠/驻留/流水 |
| F3：执行顺序 | swizzle 函数 \sigma |
时间上相邻的块在空间上的排布（L2 复用） |
"四大分支"问题，本质上就是 F1 和 F2 的选择问题（F3 是每个分支内部的二级优化）。所以推导的主线是：F1 有哪些本质上不同的选择，各自的代价是什么。
2. 规则：硬件强加的两条不变式
分块公式里有句话写得轻描淡写，却是整个分支体系的根：
"K 循环 (
\kappa) 在 L0C 上累加，不写回 GM。"
把它和输出写回方式放在一起，就是硬件强加给所有实现的两条不变式：
不变式 I1（L0C 累加不变式）：一个输出块 C_{(\beta,\mu,\nu)} 的 \tilde K 轮 mmad 结果驻留在 L0C（256KB，FP32）上原地累加，中间不产生任何 GM/L2 流量。
- 推论 1：核内切 K 是免费的（
\tilde K只是循环次数）。 - 推论 2：核间切 K 必然打破 I1——每个核只算了一段 K 的部分和，L0C 驻留不住"别人的 K"，部分和必须写出到 GM/L2 workspace，再由 AIV 做核间归约。分块公式第六章的 STREAM_K 行写的就是这个：
C_{(\beta,\mu,\nu)} = \sum_{c \in \text{group}} C_{(\beta,\mu,\nu)}^{(c)} \quad \text{（部分和经 workspace 归约）}
不变式 I2（输出专属不变式）：若输出块 C_{(\beta,\mu,\nu)} 由一个核独占负责，则该核只写出最终结果，无核间同步；反之（切 K）则引入核间依赖与归约流量。
两条不变式合起来给出本文最重要的结构性事实：
K 维和其他三维在核间切分中的地位根本不对等：切 B/M/N 保持 I1、I2，切 K 同时打破 I1、I2。这就是为什么"是否切 K"天然是分支的第一分界线，StreamK 必然自成一支。
3. 关键一步：四个维度核间切分的代价表
对 F1，核间切分的本质选择是"4 个维度中切哪些"。逐维度分析切分代价（依据：batch 语义、数据通路、GM/L2 带宽差）：
3.1 切 B —— 零代价并行
不同 batch 的 A[b], B[b], C[b] 在内存中天然不相交。因此：
- 读入：每个数据块被且仅被 1 个核读取，零重复；
- 计算：每核独立产出最终结果，无核间依赖（保持 I1、I2）；
- 写出：只有最终结果，无中间写出。
代价 = 0。但并行度上限 = $B$，且单核分到的计算是单个 batch 的 $[M,K]\times[K,N]$——Cube 效率完全由单 batch 的 M, N 决定（第 4 节会看到这是 MergeBatch 与 IterBatch 分家的原因）。
3.2 切 M 或切 N —— 低代价并行（代价可被 L2 吸收）
切 M：同一 batch 的右矩阵 $B[b,:,:]$（大小 $K \times N$）被负责不同 M 行块的所有核重复读取；切 N 对称（左矩阵 M \times K 被重复读）。
- 读入：重复因子 = M（或 N）方向的核间切分数 $g_M$（$g_N$）。若被共享矩阵能驻留 L2（$K N \cdot \text{dtype} \le 128\text{MB}$），则重复读取以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM——代价大部分被 L2 吸收；swizzle $\sigma$（滑窗蛇形）进一步压缩同时活跃的工作集。
- 计算：无核间依赖（保持 I1、I2）。
- 写出：只有最终结果。
代价 = 共享矩阵的重复读取，受 L2 容量约束，属于有上限的低代价。
3.3 切 K —— 高代价并行（结构性代价，无法吸收）
- 读入：无重复（各核读不同 K 段）；
- 计算：打破 I1、I2——每个输出块由
\text{grid}_K个核共同产生，部分和写 workspace，再归约； - 写出：存在中间结果写出。额外时延项 $T_{\text{REDUCE}} \propto \text{grid}_K \times B_c M_c N_c \times 4\text{B} / \text{BW}$（AtomicAdd 到 L2 约 5.2TB/s、到 GM 约 1.6TB/s，另有同步开销）。
代价 = 归约流量 + 核间同步，是随 grid_K 线性增长的结构性代价，L2 吸收不掉。
3.4 代价不对称性总结
\boxed{\;\text{cost}(\text{切}B) = 0 \;<\; \text{cost}(\text{切}M) \approx \text{cost}(\text{切}N) \;\ll\; \text{cost}(\text{切}K)\;}
这个排序不是经验，是三条硬件事实的推论：① batch 维在数学上独立（BMM 语义）；② L0C 累加机制（I1）使切 K 产生独一份的归约开销；③ L2（5.2TB/s / 128MB）恰好能把 M/N 共享读取的代价吸收掉大半。整条决策树就是按这个代价排序"从便宜到贵"地购买并行度。
4. 目标：最短端到端时延展开为三个必要条件
最优实现的判据是 T_{total} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{MTE1}, T_{FIXPIPE} [, T_{REDUCE}]) 最小。逐项拆开，\min\max 等价于三个必要条件：
R1 核占满（并行度条件）。T_{MMAD} 与活跃核数成反比；GM 带宽也要求 ≥ 3/4 核（24 核）并发才能达到 90%+ 利用率。设不切 K 时的独立输出块数
P \;=\; B \times \Big\lceil \tfrac{M}{16} \Big\rceil \times \Big\lceil \tfrac{N}{16} \Big\rceil
（16 是 mmad 的 fractal 粒度，即输出块的最小可分单元）。P \ge C = 32 是满核的必要条件；P < 32 时必然有核闲置，闲置部分纯浪费。
R2 搬运最快（复用条件）。MTE2 有效带宽由 L2 命中率决定：
BW_{MTE2} \approx (1 - h) \times 1.6 + h \times 5.2 \ \text{TB/s}
baseM = baseN = 256 时达成 Cube Bound 需要 BW_{MTE2} \ge 2.64 TB/s，即 $h \gtrsim 28.9%$。GM 流量必须最小化（每份数据 GM 只读一次），重复读取尽量落在 L2/L1。
R3 Cube 喂饱（效率条件）。单核每次 mmad 序列的 tile 要足够大：L0C 利用率
U = \frac{M^t \times N^t \times 4\text{B}}{256\text{KB}} = \frac{M^t N^t}{65536}
越接近 1，Cube 空转越少；M^t, N^t 需 16 对齐，且 MTE1 不拖后腿要求 baseM, baseN ≥ 80 左右。
分支推导 = 在 R1/R2/R3 约束下，按 §3 的代价排序购买并行度与 Cube 效率。 下面逐分支看它们各自是哪一组约束矛盾的"最优解"。
5. 推导主链：四种典型矛盾 → 四个最优响应
5.1 情形一：B \ge C 且单 batch M \times N 大 → IterBatch
- R1：零代价并行度
B \ge 32已足够，无需切 M/N（省掉共享读取），更无需切 K。 - R3：
M \times N大（如 ≥ 128×128），单 batch 就能开出 baseM×baseN ≈ 256×256 的 tile，U接近 1，Cube 喂得饱。 - R2：核内走标准三级流水（L1→L0→Cube→L0C），M/N 大 tile 保证复用。
此时任何额外的切分都只会引入代价而无收益，最优解就是"每核分若干 batch，核内逐个 batch 做完整 Matmul"。这正是分块公式中 $B^t = 1$、batch 作为核间最外层维度的特化。
判据：B \ge C 且 $M N \gtrsim 128^2$（L0C 利用率 ≥ 25% 量级）。
5.2 情形二：B \ge C 但单 batch M \times N 小 → MergeBatch
- R1：满足（$B \ge 32$）。
- R3：不满足。
M = N = 64时 $U = 64^2/256^2 = 6.25%$，Cube 大片闲置；M = N = 16时 $U = 0.4%$，mmad 几乎全在空转。并行度够，但每个核"吃不饱"。
矛盾在 R3。唯一的解法：把"折叠维度"用在 batch 上——核内把 b 个 batch 的 A 沿 M 拼接、B 沿 N 拼接，等效大矩阵 $[bM, K] \times [K, bN] \to [bM, bN]$，L0C 利用率从 MN/65536 提升到 $b^2MN/65536$（受 L0C 约束 $b^2MN \le 65536$，如 M{=}N{=}64 时 $b \le 4$），最后用 BlockTrace 取 b 个对角线 $M \times N 块作为有效输出。
代价是交叉项算力浪费 $(b-1)/b$。为什么这个代价值得付？因为小 M, N 意味着算术强度低：
AI = \frac{b M N K \cdot 2}{(b M K + K b N + b^2 M N)\,\text{dtype}} < 270 \ \text{FLOP/B} \;\Rightarrow\; \text{访存 Bound}
单核分摊的 GM 带宽约 50GB/s，Cube 要满转需要 AI ≈ 270 FLOP/B；小 M,N 的 case 远低于此，瓶颈本来就在搬运，Cube 浪费的拍数被 MTE2 时延掩盖——浪费是免费的。这就是"为什么是 MergeBatch"的定量理由：它不是牺牲算力换效率，而是在算力本就用不完时回收闲置。
判据：$B \ge 2C$（每核至少 2 batch）且 MN < 128^2 且 $AI < 270$。
5.3 情形三：B < C 但 B \times \lceil M/16 \rceil \times \lceil N/16 \rceil \ge C → ASW_Basic
- R1：零代价维度 B 买不够 32 核，但低代价维度 M/N 可以补齐（$P \ge 32$）。
- R2：切 M/N 引入共享矩阵的重复读取——必须靠 L2 驻留 + swizzle 把代价压到最低，这正是 swizzle 函数
\sigma的主战场（滑窗W = \max\{d \mid d \mid C, d \le \lfloor\sqrt C\rfloor\}使同窗口 A 行块与 B 列块的 L2 足迹最小）。
矛盾是"R1 缺并行、只能靠低代价维度补"。最优解是一个通用框架：允许切 B/M/N 的任意组合（不切 K），核间切分维度与 swizzle 由 shape 决定——切 B 优先（零共享），B 不够切 M 或 N（共享一侧矩阵，L2 吸收），再不够混合切。这就是 ASW_Basic：它不是一个具体切法，而是"所有不切 K、含 M/N 共享切法"的总框架，\sigma 取 ASW 滑窗蛇形。
判据：P \ge C 且不满足情形一/二（B 不够，或 M/N 大到不需要折叠 batch）。
与 IterBatch 的竞争边界：
B \ge 32且M \times N中等时两者都可行。分野在 L2：IterBatch 每核做完整 $M \times N \times K$，若单 batch 工作集MK + KN超 L2 则 M/N 外循环反复挤兑 L2；ASW 切 M 时右矩阵 $KN \le 128$MB 可驻留 L2 供 32 核共享。谁的工作集能驻留 L2，谁优——这是时延模型比较，不是硬阈值（见 §7）。
5.4 情形四：P = B \lceil M/16 \rceil \lceil N/16 \rceil < C → StreamK
- R1：无法满足。B、M、N 三个便宜维度全部用尽（切到 16 粒度）仍凑不满 32 核。典型：
B = 1, M = N = 64时 $P = 16 < 32$，一半核闲置。 - 此时唯一剩余的并行维度是 K。切 K 虽然代价高（打破 I1/I2，付 $T_{REDUCE}$），但不切的代价是核闲置——两害相权，当
T_{MMAD/\text{core}} \gg T_{REDUCE} \;\Longleftrightarrow\; K \;\gtrsim\; \text{grid}_K^2 \times 1690
（推导：要求计算时延 ≥ 10× 归约时延，代入 8192 FLOP/拍、1.65GHz、GM 1.6TB/s）时，切 K 净收益为正。K 越大，可承担的 grid_K 越大；K 不够大时，减少 grid_K（配合切 B/M/N，即 grid_K × grid_B × grid_M × grid_N ≤ 32 的组合）来降低归约组大小。
矛盾是"便宜维度用尽仍缺并行"。最优解是付归约代价买 K 维并行，且归约组能小则小。这就是 StreamK——分块公式中 \tilde K 跨核拆分、部分和经 workspace 归约的特化。
判据：$P < C$（或 P 虽够但核内 M/N 范围被压得太碎）且存在 grid_K 使 K/\text{grid}_K \ge 256 且满足上式。
5.5 一条链总结
R1 缺并行？────────────────────────────────────────────
│ 不缺 │ 缺
▼ ▼
R3 缺 Cube 效率？ 便宜维度(B/M/N)用尽？
│ 不缺 │ 缺 │ 用尽
▼ ▼ ▼
B 够切？ MergeBatch StreamK（切K，付归约代价）
│B≥C │B<C （折叠batch
▼ ▼ 换Cube效率，
Iter ASW_Basic 浪费被访存Bound掩盖）
Batch （切M/N共享，
L2+swizzle吸收代价）
四大分支各自是唯一最优解的"矛盾区域"互不相同：IterBatch 解"零代价并行已够"的区域，MergeBatch 解"并行够但 Cube 饿"的区域，ASW_Basic 解"并行缺、低代价维度可补"的区域，StreamK 解"便宜维度用尽"的区域。区域不同，最优响应不同——这就是四个分支的存在性证明。
6. 完备性与极小性：为什么恰好四个，不多不少
6.1 完备性：15 种切分组合按代价特征坍缩为 4 个等价类
核间切分的所有可能 = 四维 {B, M, N, K} 的非空子集，共 2^4 - 1 = 15 种（《方案设计》§6.1 已枚举 C1~C15）。关键观察：一个切分组合的代价结构只由两个布尔特征决定——
- 是否含 K（决定要不要付归约代价，打破 I1/I2）；
- 是否含 M 或 N（决定有没有共享矩阵的重复读取）。
| 含 K？ | 含 M/N？ | 组合 | 代价结构 | 归入分支 |
|---|---|---|---|---|
| 是 | 任意 | C4, C7, C9, C10, C12~C15（8 个） | 必有归约；grid_K×grid_B×grid_M×grid_N 只是参数差异 | StreamK |
| 否 | 是 | C2, C3, C5, C6, C8, C11（6 个） | 必有共享读取；切哪几维只是 grid 参数 | ASW_Basic |
| 否 | 否（纯 {B}） | C1（1 个） | 零共享零归约 | 核内只有两种组织方式，见下 |
纯 {B} 的核内组织方式只有两种——把多个 batch 合并成一个大 tile 算（MergeBatch），或逐个 batch 算（IterBatch）——不存在第三种（要么利用 batch 间的 tile 级合并，要么不利用）。于是：
15 \;\xrightarrow{\text{按 (含K, 含M/N) 归并}}\; 1 + 1 + 2 \;=\; \boxed{4}
任何合法 case 的任意切法都落在这 4 个等价类之一 ⇒ 完备。
与源码对照：arch35 源码有 10 个策略，为什么这里只有 4 个？因为源码策略 = 4 个切分等价类 × 两个正交维度的笛卡尔积：① 计算通路（Cube vs AIV：K=0 的 K_EQUAL_ZERO、K=1 的 TO_MUL 是 K 退化时的通路切换，发生在切分决策之前，属于预处理层）；② 驻留策略（AL1/BL1_FULL_LOAD 是 ASW_Basic 内部
M^t = M/N^t = N的 tiling 极限，ITER_BATCH_BROADCAST 是 IterBatch 在广播输入下的数据复用特化）。它们是分支内部的参数特化，不构成新的切分等价类。源码尾部还有 BASE=999 无条件兜底，也印证"特判 ⊂ 通用"的层级结构。
6.2 极小性：每个分支都有它是唯一最优的 shape 区域
去掉任何一个分支，都存在 case 失去最优实现：
| 分支 | 独占最优的示例 case（BF16） | 替代方案的劣势 |
|---|---|---|
| IterBatch | B=32, M=N=K=4096 | ASW 切 M/N 引入无谓共享读取；MergeBatch 引入无谓浪费 |
| MergeBatch | B=64, M=N=64, K=256 | IterBatch 的 L0C 利用率仅 6.25%，Cube 闲置 ~94% |
| ASW_Basic | B=2, M=N=8192, K=1024 | 切 B 仅 2 核活跃；StreamK 付无谓归约 |
| StreamK | B=1, M=N=64, K=65536 | 不切 K 只用 16/32 核（P=16），时延差数量级（文档 Case 3：19.5ms → 0.61μs/核量级） |
⇒ 四者互为不可替代，构成极小完备集。
7. 边界是软的：竞争区域由时延模型仲裁
上面的判据给出的是分支的"主场"，但相邻分支的边界不是硬切换。重叠区域（如 B ≥ 32 且 M×N 中等时 IterBatch 与 ASW 切 B 等效；M×N 在 64²~128² 之间时 MergeBatch 与 IterBatch 互有胜负）必须由统一点评仲裁：
\text{branch}^* = \arg\min_{\text{cand} \in \bigcup \text{4 分支候选}} \max\big(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{MTE1}, T_{FIXPIPE}, T_{REDUCE}\big)
这就是《方案设计》§6.7 决策算法"全分支生成候选 → 时延模型评估 → 取 min"的合理性来源：分支体系保证候选集完备且无冗余（每个等价类只派一个代表框架），时延模型在等价类内部和边界上做精细仲裁。 两层结构缺一不可——只有时延模型没有分支体系，搜索空间是 15 种组合 × 全部 grid，爆炸且重复；只有分支体系没有时延模型，边界 case 会被错误硬切。
8. 闭环：与分块计算公式的参数特化对应
最后把推导结果写回分块公式的语言，验证链条闭合（对应《BMM分块计算数学公式》第六章，但现在每行都有了"理由"）：
| 分支 | 分块参数特化 | 推导出处 |
|---|---|---|
| IterBatch | $B^t = 1$；$\tilde B \ge C$；batch 为核间最外层；核内标准 K 累加 | §5.1：零代价并行够 + Cube 饱 |
| MergeBatch | B^t = b > 1 折叠进 $M^t_{eff} = bM^t, N^t_{eff} = bN^t$；L0C 二次方程求最优 $b$；BlockTrace 取对角 |
§5.2：Cube 饿 → 折叠 batch 换 $U \uparrow$，浪费被访存 Bound 掩盖 |
| ASW_Basic | 通用 (\beta, \mu, \nu) 展开；\sigma = ASW 滑窗蛇形（W \le \lfloor\sqrt C\rfloor 的最大因子） |
§5.3：低代价维度补并行，\sigma 压缩 L2 足迹 |
| StreamK | \tilde K 跨核拆分，C_{(\beta,\mu,\nu)} = \sum_c C^{(c)} 部分和归约；grid_K×grid_B×grid_M×grid_N ≤ C |
§5.4：便宜维度用尽，付归约代价买 K 维并行 |
9. 总结：一句话逻辑链
分块计算给出自由度（4 维怎么切），硬件给出规则（L0C 累加使切 K 独贵、batch 独立使切 B 免费、L2 使切 M/N 廉价），最优目标给出约束（核要满、Cube 要饱、搬运要省）。按"最便宜的维度优先购买并行度、Cube 不够大就折叠 batch、便宜维度用尽才切 K"的原则展开，15 种切分组合在 (含K, 含M/N) 两个代价特征下恰好坍缩为 4 个等价类——这就是 MergeBatch / IterBatch / ASW_Basic / StreamK 四大分支，完备且极小；边界区域由端到端时延模型统一仲裁。
文档版本：v1.0 | 上游：《BMM分块计算数学公式》v1.1+ | 下游：《BMM最优软件实现方案设计》v4.0 第六章