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BMM 尾轮处理策略对比分析：不重切 / 尾轮重切 / 整轮均匀重切
目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。 版本：v1.2，2026-08-31（§7.2 重写：损失公式逐步推导链、方形近似可靠性审视、主流 prefill/decode 场景实际损失分析） 历史：v1.1 新增 §七 B1 无脑版门限与损失分析；v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程） 历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
摘要
BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 r = N_{blk} \bmod C 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切），在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。
核心结论：
- A0 从来不是最优（
r > 0时 A1 或 B 严格优）； - A1a 是 A1b 的真子集（枚举空间包含关系），A1b 恒不劣于 A1a；
- 计算 Bound：A1b 与 B 理论时延严格相等（总计算量/C 守恒），A1b 搬移周长和恒 ≤ B（均值不等式）——时延打平、按工程权衡选择；
- 访存 Bound：$\rho \ge \rho_{dv}$（尾轮占比 ≥ dValue 平方阈值）时 A1b 严格优；
\rho < \rho_{dv}时 A1b 被 dValue 卡死，B 严格优当且仅当 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$——B 反超的唯一通道是 dValue：A1b 的尾轮 tile 缩放\sqrt{\rho}恒狠于 B 的 $1/\sqrt{g}$（\rho < 1/g恒成立），卡死更深时 B 胜出，该区间窄且临界实测打平； - 给出基于 B/M/K/N/dtype 的闭式判定流程：五步前置计算 + 决策表，无需逐项仿真；
- v1.1 新增 §七：B 的简化形态 B1（无脑版：满足门限就直接整数轮满核切，门限闭式 $r>0 \land (K \ge K^* \lor g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2)$）与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析；
- v1.2 重写 §7.2：损失公式逐步推导链（
T_B/T_{A1b} = \sqrt{w(w-1+\rho)}/(w-1+\sqrt{\rho})的四步推导与 5.4%/16.6%/30% 的数值来源）；方形近似可靠性审视（非方形惩罚因子 $p(\lambda)$、k_{L1}跨 regime——理论值是损失下界，极端 case 实际损失可达 ~30%）；主流 prefill/decode 场景实际损失（M,N为 256 倍数时r=0无尾轮；M奇异或 decode 场景w大，损失 ≤2.5%；~30% 仅出现在主流形状不会命中的边角 case）——主流场景 B1 是安全的工程选择。
一、问题背景与执行模型
1.1 BMM 的核间切分与数据流
BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。适用范围说明：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 M \times N 被切为 mCnt \times nCnt 个块，乘上 batch 维共 N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt 个独立输出块，按序分配到 C 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：
GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑
核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。
1.2 尾轮问题
块按序分配：核 i 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 N_{blk} 不能被 C 整除时，最后一轮（尾轮）只有 r = N_{blk} \bmod C 个核有块可算，C - r 个核空转一个整块时间。
问题：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？
1.3 硬件规格与符号定义
昇腾 950PR 关键规格（昇腾 950 NPU 架构白皮书）：
| 符号 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
C |
AIC 核数 | 32 |
Q_{16} |
单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/32 ≈ 15.2 TFLOPS |
W_{GM} |
GM（HBM）总带宽 | 1.6 TB/s |
BW_{pc} |
单核 GM 带宽份额 | W_{GM}/C = 50 GB/s |
L1 |
L1 容量/核 | 512 KB |
L0C |
L0C 容量/核 | 256 KB |
dtype / outB |
输入/输出元素字节数 | BF16 → 2B |
Tiling 符号：sM, sN = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；k_{L1} = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。
尾轮符号：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。
二、基础模型
2.1 单块时延三项
单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延：
T_{MMAD} = \frac{2 \cdot sM \cdot sN \cdot K}{Q_{16}},\qquad T_{MTE2} = \frac{(sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype}{BW_{pc}},\qquad T_{FIX} = \frac{sM \cdot sN \cdot outB}{BW_{pc}}
其中 $k_{L1} = \min\big(K,; \lfloor L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype) \rfloor_{16}\big)$（L1 双缓冲容量约束）。单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$（三段流水掩盖，瓶颈项决定）。
Bound 判据（由 T_{MMAD} = T_{MTE2} 解出）：
K^* = \frac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 \cdot BW_{pc}}\Big(\frac{1}{sM} + \frac{1}{sN}\Big)
K \ge K^* 为计算 Bound，否则访存 Bound（例：$sM=sN=256$、$k_{L1}=256$、BF16 时 $K^* \approx 608$）。
2.2 块几何缩放律（全文分析的枢纽）
把块数放大 g 倍（面积缩 g 倍、线性尺寸缩 \sqrt{g} 倍，近方形比例）时：
| 时延项 | 依赖 | 缩放律 |
|---|---|---|
T_{MMAD} |
\propto 面积 sM \cdot sN |
\propto g^{-1} |
T_{MTE2} |
\propto 周长 (sM + sN) |
\propto g^{-1/2} |
T_{FIX} |
\propto 面积 |
$\propto g^{-1}$（总量与切分无关） |
搬移随周长缩放是关键：切分越多，计算缩 g 倍而搬移只缩 \sqrt{g} 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 sM \times K + B 列带 $K \times sN$）。
2.3 搬移效率约束
GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：
- dValue ≥ 256B（DMA 硬件突发下限）：dValue 是 ND 排布中连续维的字节数——B 矩阵非转置
[K, N]时连续维为 N，dValue = $sN \cdot dtype$；B 转置[N, K]时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$；A 非转置[M, K]的 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$（A 的 dValue 由 K 向保证，不约束 $sM$；B 非转置时sN有 256B 下限——约束非对称）； - 单次搬移量 ≥ min_TileSize（推荐 16KB）：如 $k_{L1} \cdot sN \cdot dtype \ge 16$KB。
2.4 带宽模型声明
昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为每核带宽上限 $BW_{pc} = W_{GM}/C$。该假设下尾轮 r 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc} < W_{GM}$，尾轮搬移不加速——r 个整块用 r 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。
2.5 首轮切分基准（近方形的来源与适用条件）
尾轮策略建立在首轮切分 (mCnt, nCnt, sM, sN) 之上。首轮由搬入时延最小化确定：$T_{MTE2}^{total} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$，在块数约束下枚举取最优。其连续极限为方形（$sM = sN$）：$k_{L1} = K$（K 全载）时，面积固定使周长最小化 → 均值不等式给出方形严格最优；k_{L1} 被 L1 容量压低（K 大）时，$(1/sM+1/sN) \cdot L1/(2(sM{+}sN)dtype) = L1/(2 \cdot sM \cdot sN \cdot dtype)$——只与面积有关、与长宽比无关，形状自由度释放。本文的缩放律以近方形为基准形态（线性尺寸 \sqrt{g} 缩放）；非方形分解的实际收益由同一目标函数另行评估（§四的"非方形惩罚"即此体现）。
三、四种策略定义与实现方式
3.1 策略定义
| 策略 | 做法 | 块大小 |
|---|---|---|
| A0：不重切 | 尾轮 r 核各处理 1 个整块，C-r 核空转 |
主轮尾轮同大小 |
| A1a：尾轮整数倍切分 | 尾轮每块沿 N（或 M）切 s^* 份，r \cdot s^* 个小块分给 C 核 |
主轮整块 + 尾轮 1/s^* 小块 |
| A1b：尾轮 tile 重选凑满核 | 尾轮 r 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile (sM_t, sN_t) 重新切分，凑满 C 核 |
主轮整块 + 尾轮小 tile |
| B：整轮均匀重切 | 总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块 | 全部块同大小 |
实现方式对比：
| 策略 | host 侧 tiling | kernel 侧执行 | tile 参数套数 |
|---|---|---|---|
| A0 | 一套参数 | 线性映射 index = blockIdx + round × usedCoreNum，尾轮不满载核跳过 |
1 |
| A1a | 主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$） | 最后一轮切换小块尺寸 | 2 |
| A1b | 主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$） | 尾轮区域独立子网格映射 | 2 |
| B | 一套重切后参数 | 全程统一 tile，无尾轮分支 | 1 |
对齐约束的平等性：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。
3.2 A1b 的 tile 确定与 A1a ⊆ A1b 证明
A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：
s_t^* = sM \cdot \sqrt{\frac{r}{C}} \quad (sM = sN \text{ 时})
再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（(sM_t, sN_t) 独立按 16 步进）选最贴合的组合。
A1a 是 A1b 的真子集：A1a 的尾轮 tile 为 (sM, sN/s^*) 或 $(sM/s^*, sN)$（s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\} 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、sN_t = sN/s^* 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：
T_{A1b} = \min_{\Omega_{A1b}} T \;\le\; \min_{\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}} T = T_{A1a}
A1b 恒不劣于 A1a，且通常严格优：A1a 受"s^* 整数"与"每块切同样份数"双重限制（r > C/2 时 s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 r \le C/2 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。
3.3 三策略通用时延式
T_{A0} = n_{wave} \cdot T_{block},\qquad T_{A1} = (n_{wave}-1) \cdot T_{block} + T_{tail},\qquad T_B = n_{wave} \cdot T_{block}'
A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。
四、计算 Bound 完整推导（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$）
4.1 A0 vs A1
A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。r > C/2 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：
\Delta_{A0 \to A1b}^{calc} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{r}{C}\Big)
A1 恒优于 A0（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。
4.2 A0 vs B
代入 T_{block}' = T_{MMAD}/g 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：
\Delta_{A0 \to B}^{calc} = n_{wave} T_{MMAD} - T_{MMAD}\Big(n_{wave} - 1 + \frac{r}{C}\Big) = T_{MMAD} \cdot \frac{C - r}{C} > 0
B 恒优于 A0（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。
4.3 A1 vs B
A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C) 理论时延严格相等——两者都是"总计算量/C"（计算 Bound 下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。
结构性差异在搬移量（周长和）：A1b 主轮保持大 tile、只缩尾轮；B 全局均匀缩小。设方形 tile 边长 $s$：
S_{A1b} = 2sC\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big),\qquad S_B = 2sC\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave} - 1 + \rho\big)}
\big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big)^2 \le n_{wave}(n_{wave}-1+\rho) \iff 2\sqrt{\rho} \le 1 + \rho \iff (\sqrt{\rho}-1)^2 \ge 0 \quad \checkmark
均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B（等号当 \rho = 1 即无尾轮）。搬移少意味着 L2 重复读少、掩盖余量更大。
结论（计算 Bound）：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬移周长和恒 ≤ B（结构性）。工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。
4.4 数值实例
例 1（$r > C/2$）：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。$T_{MMAD}=35.3\mu s$。
- A0：$70.6\mu s$；A1a：
s^* = \lfloor 32/17 \rfloor = 1失效； - A1b 非方形枚举 $(sM_t, sN_t) = (224, 160)$：尾轮
\lceil 17 \times 256^2/35840 \rceil = 32块恰好凑满，尾轮时延 $19.3\mu s$，$T_{A1b} = 54.6\mu s$； - B：$N_{blk}'=64=8\times8$、$sM'=sN'=224$，$T_B = 54.1\mu s$。
A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%）；周长和此例恰好持平（28672 = 28672）。相对 A0 均省约 23%。
例 2（r \mid C 完美点）：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：s^* = 2 = C/r 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。A1a = B（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。
五、访存 Bound 完整推导（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$）
主导项 $T_{block} = T_{load} = (sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。
5.1 A0 vs A1
A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 s^* 份，小块搬移 $(sM + sN/s^) k_{L1} dtype$（A 行带 [sM, k_{L1}] 每个小块都要完整搬一次，不随 s^* 缩小——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^)/2$：
\Delta_{A0 \to A1a}^{mem} = \frac{T_{load}}{2}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big)
受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。
A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 s_t = s\sqrt{\rho} tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：
T_{tail}^{A1b} = \sqrt{\rho} \cdot T_{load},\qquad \Delta_{A0 \to A1b}^{mem} = T_{load}\big(1 - \sqrt{\rho}\big) > 0
A1 恒优于 A0（dValue 允许时）。
5.2 A0 vs B
\Delta_{A0 \to B}^{mem} = n_{wave} T_{load}\Big(1 - \frac{1}{\sqrt{g}}\Big) > 0 \quad (g > 1)
B 恒优于 A0（dValue 约束 g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2 满足时）。物理解释：尾轮 r 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。
5.3 A1 vs B——完整分界推导
（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：
\frac{T_{A1b}^{mem}}{T_B^{mem}} = \frac{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}}{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}} \le 1
A1b 恒不劣于 B，\rho 小时优势大（$\rho=0.1$、n_{wave}=2 时优 11%）。
（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：
\rho < \frac{1}{g} \iff \rho \cdot n_{wave} < n_{wave} - 1 + \rho \iff \rho(n_{wave} - 1) < n_{wave} - 1 \iff \rho < 1 \quad \checkmark \text{（} r < C \text{ 恒成立）}
物理含义：A1b 只缩尾轮 r 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。这是 B 可能反超的唯一通道。
（iii）三区间判定（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：
| 区间 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| I | $\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 1/g > \rho \ge \rho_{dv} 故 B 也可行） |
A1b 恒优（均值不等式） |
| II | $\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行） | 分界公式判定（下） |
| III | $\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死） | A0/A1a 兜底 |
区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}} 缩放）：
T_{A1b}^{dv} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho_{dv}}\big),\qquad T_B = \frac{n_{wave}}{\sqrt{g}} \cdot T_{load}
B 严格优当且仅当：
\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave} \cdot \sqrt{\frac{n_{wave} - 1 + \rho}{n_{wave}}} - (n_{wave} - 1)
物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 \rho 减小；而 B 的 n_{wave}/\sqrt{g} 随 \rho 减小而降低（全局重切幅度减小）。\rho 足够小（卡死足够深）时 B 反超。
5.4 数值实例
例 3（\rho 小、dValue 卡死，临界打平）：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$、$\rho_{dv}=0.25$。$T_{load} = 5.24\mu s$。
- A0：$10.5\mu s$；A1a：$s^* = 2$（dValue 卡死），$T_{A1a} = 9.2\mu s$；
- A1b：$s_t^* = 256\sqrt{0.125} = 90.5 < 128$（dValue 下限）卡死，只能 $s_t = 128$，尾轮 16 块（半满载），$T_{A1b} = 7.9\mu s$（理论无约束值
7.1\mu s达不到）； - B：$N_{blk}'=64$、$sM'=sN'=192$，$T_B = 7.9\mu s$。
分界公式核验：\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5 vs $2/\sqrt{1.78} - 1 = 0.5$——两侧精确相等，实测 A1b = B = 7.9μs 打平 ✓（公式精确捕捉临界点）。
例 4（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 优）：M=N=2304、K=256、BF16。$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype = 373\text{B} \ge 256\text{B} ✓。
- A0：$15.7\mu s$；A1a：
s^* = 1失效； - A1b：$s_t = 192$，尾轮 32 块，$T_{A1b} = 2 \times 5.24 + 3.93 = 14.4\mu s$；
- B：$N_{blk}'=96$、
(8,12)分解（$sM'=288, sN'=192$），$T_B = 14.7\mu s$。
A1b 优 2.2%（周长和 $45056 < 46080$）。
例 5（\rho 更小、临界区）：M=1280、N=1792、K=256、BF16。$mCnt=5, nCnt=7$、$N_{blk}=35$、$n_{wave}=2$、$r=3$、$\rho=0.094$。
- A1b：
s_t^* = 78.4 < 128卡死，$s_t=128$、尾轮 12 块，$T_{A1b} = 5.24 + 2.62 = 7.9\mu s$； - B：$N_{blk}'=64$、
(8,8)分解（$sM'=160, sN'=224$），$T_B = 7.9\mu s$。
分界公式：\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5 vs $2\sqrt{1.094/2} - 1 = 0.479$——公式判定 B 微优（理论差 0.11μs），实际 B 的非方形分解惩罚（周长 384 vs 方形 379）抵消理论优势，实测打平。B 优的区间存在但窄，且实际分解的非方形惩罚会进一步压缩。
六、决策总表与基于 B/M/K/N 的判定流程
6.1 决策总表
| 场景 | A0 vs A1 | A0 vs B | A1 vs B | 最优策略 |
|---|---|---|---|---|
计算 Bound，r \le C/2 且 r \mid C |
A1a 优 | B 优 | A1a = B（选 A1a，搬移少） | A1a |
计算 Bound，r \le C/2 且 r \nmid C |
A1a 优 | B 优 | B 略优（取整损失） | A1a/B 皆可 |
计算 Bound，r > C/2 |
A1b 优（不退化） | B 优 | 时延理论相等，离散打平（A1b 周长和 ≤ B） | A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b） |
访存 Bound，\rho \ge \rho_{dv} |
A1b 优 | B 优 | A1b 恒优（均值不等式） | A1b |
访存 Bound，\rho < \rho_{dv} 且分界公式成立 |
A1b 部分凑满 | B 优 | B 严格优 | B |
访存 Bound，\rho < \rho_{dv} 且分界公式不成立 |
A1b 部分凑满 | B 优 | 打平 | A1b/B 皆可 |
| dValue 全面卡死（B 也不可行） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | B 不可行 | — | A1a/A0 |
6.2 基于 B/M/K/N/dtype 的直接判定流程
五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：
- 首轮切分：按搬入时延最小化枚举得 $mCnt, nCnt, sM, sN, k_{L1}$；
- 尾轮参数：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$，$r = N_{blk} \bmod C$，$\rho = r/C$；
- Bound 判定：$K^* = \dfrac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}\Big(\dfrac{1}{sM} + \dfrac{1}{sN}\Big)$，
K \ge K^*→ 计算 Bound； - dValue 可行性：$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$；$g = n_{wave}C/N_{blk}$；$g_{dv} = (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$；
- 单块主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{load})$。
决策表：
| # | 条件 | 最优策略 | 端到端时延 |
|---|---|---|---|
| 1 | r = 0 |
A0（无尾轮） | n_{wave} \cdot T_{block} |
| 2 | 计算 Bound，0 < r \le C/2 |
A1a，s^* = \lfloor C/r \rfloor |
T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + 1/s^*) |
| 3 | 计算 Bound，r > C/2 |
A1b 或 B——时延理论相等 | T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho) |
| 4 | 访存 Bound，\rho \ge \rho_{dv} |
A1b | T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}) |
| 5 | 访存 Bound，\rho < \rho_{dv} 且 \sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1) 且 g \le g_{dv} |
B | T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g} |
| 6 | 访存 Bound，\rho < \rho_{dv} 但分界公式不满足 |
A1b（部分凑满）或 B，打平 | T_{load}(n_{wave}-1+\sqrt{\rho_{dv}}) \approx T_B |
| 7 | 访存 Bound，B 也不可行（$g > g_{dv}$） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | T_{load}(n_{wave}-1) + T_{load}(1+1/s^*)/2 |
判定流程图：
[B, M, K, N, dtype]
│
▼
<首轮枚举 → mCnt, nCnt, sM, sN, kL1>
│
▼
<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
│
├─ r = 0 ────────────────▶ A0（无尾轮）
▼
<K ≥ K* ?（计算 Bound）>
│
├─ 是 ── r ≤ C/2 ? ──┬─ 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
│ └─ 否 ─▶ A1b（s_t = sM√ρ ↓16，可非方形枚举）或 B
│ （时延相等；工程简洁选 B）
│
└─ 否（访存 Bound）── ρ ≥ ρ_dv ? ──┬─ 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
└─ 否 ─▶ 分界公式判定：
√ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
└─ 否 ─▶ A1b/B 打平
七、B 方案的简化形态 B1 与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析
前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个无脑版门限（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？
7.1 B0 与 B1 的定义
- B0（完整版 B）：§三~§五的方案 B——与 A1b 做分界判定后选择（访存 Bound 且
\rho \ge \rho_{dv}时应选 A1b 而非 B）； - B1（无脑版 B）：不做 A1b/B 分界，只要门限满足就直接按整数轮满核切（无论计算 Bound 还是访存 Bound）。
B1 门限推导：B1 要成立需两个条件——
条件 1（有尾轮）：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；
条件 2（可行 + 值得）：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。
合起来，B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）：
\boxed{\; r > 0 \;\land\; \Big( K \ge K^* \;\lor\; g \le \Big(\frac{sN \cdot dtype}{256\text{B}}\Big)^2 \Big) \;}
即：计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。
7.2 B0/B1 相对 A1b 的损失分析
计算 Bound：损失严格为 0。§4.3 已证 $T_{A1b} = T_B = T_{MMAD}(n_{wave}-1+\rho)$（总计算量/C 守恒）——B1 在计算 Bound 下零损失。唯一差异是搬移量（周长和 A1b ≤ B），但计算 Bound 下搬移被掩盖，不体现为时延。
访存 Bound：损失集中在区间 I（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）。以下分三步：先给出损失公式的逐步推导，再审视其"方形近似"假设的可靠性，最后落到主流 prefill/decode 场景的实际损失。
7.2.1 损失公式的逐步推导
第一步：两策略的时延表达式（访存 Bound，主导项为搬入 $T_{load}$）。
A1b：主轮 n_{wave}-1 轮整块 + 尾轮 tile 缩 \sqrt{\rho} 凑满 C 核：
T_{A1b} = (n_{wave}-1) \cdot T_{load} + \sqrt{\rho} \cdot T_{load} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big)
B：N_{blk}' = n_{wave} C 块均匀重切，单块搬移缩 \sqrt{g} 倍（$g = n_{wave} C/N_{blk}$），n_{wave} 轮满载：
T_B = n_{wave} \cdot \frac{T_{load}}{\sqrt{g}} = n_{wave} \cdot T_{load} \cdot \sqrt{\frac{N_{blk}}{n_{wave} C}} = T_{load}\sqrt{\frac{n_{wave} \cdot N_{blk}}{C}}
第二步：把 N_{blk} 用 (n_{wave}, \rho) 表示。由 N_{blk} = (n_{wave}-1)C + r 与 \rho = r/C 得 $N_{blk}/C = n_{wave} - 1 + \rho$，代入：
T_B = T_{load}\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave} - 1 + \rho\big)}
第三步：作比得损失公式。
\frac{T_B}{T_{A1b}} = \frac{\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave}-1+\rho\big)}}{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}} \triangleq f(\rho, n_{wave})
第四步：数值代入。
- 5.4% 的来源（$sN=256$、BF16）：$\rho_{dv} = (256/(256 \times 2))^2 = 0.25$，A1b 可行区间为 $\rho \ge 0.25$，损失在该区间单调减（见下），最大值在 $\rho = \rho_{dv} = 0.25$、
n_{wave}=2处（对应 $r=8$、$N_{blk}=40$、$g = 64/40 = 1.6$）：
T_B = 2 \cdot T_{load}/\sqrt{1.6} = 1.581 \cdot T_{load},\qquad T_{A1b} = (1 + \sqrt{0.25}) \cdot T_{load} = 1.5 \cdot T_{load}
f = \frac{1.581}{1.5} = 1.054 \;\Rightarrow\; \text{损失 } 5.4\%
- 16.6% 的来源（$sN=512$、BF16）：$\rho_{dv} = (256/1024)^2 = 0.0625$，最大值在 $\rho = 0.0625$（$r=2$、$N_{blk}=34$、$g = 64/34 = 1.882$）、
n_{wave}=2处：
T_B = 2/\sqrt{1.882} \cdot T_{load} = 1.458 \cdot T_{load},\qquad T_{A1b} = (1 + 0.25) \cdot T_{load} = 1.25 \cdot T_{load}
f = \frac{1.458}{1.25} = 1.166 \;\Rightarrow\; \text{损失 } 16.6\%
- 30% 极端例的来源（M=16896、N=512、K=140、BF16）：理论公式给 16.6%，但实际时延计算为 $T_{A1b} = 6.7\mu s$、$T_B = 8.7\mu s$，比值 $1.30$。超出的 14 个百分点来自理论公式的两个近似同时失效（详见 7.2.2）：①B 重切后周长缩小使 L1 约束放松，
k_{L1}从 128 升至 140（K 全载），每块搬移量反升140/128 = 1.094倍；②N_{blk}' = 64只能分解为 $(64,1)$（sN'=512被 dValue 卡死不能更小），tile 长宽比 264:512 非方形，周长和比方形基准高 5.6%。两因子相乘 $1.094 \times 1.056 = 1.155$，1.166 \times 1.155 \approx 1.35与实际 1.30 基本吻合（残差来自 A1b 尾轮k_{L1}同升等细节）。
单调性证明（最大损失位置）：对 f 关于 \rho 求导（固定 $n_{wave}$），\partial f/\partial\rho 的符号由 \big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big) - \big(2\sqrt{\rho}(n_{wave}-1+\rho)/\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}\big) 决定；数值上 f 随 \rho 单调减、随 n_{wave} 单调减（\rho \to 1 或 n_{wave} \to \infty 时 $f \to 1$）。故最大损失在 $\rho = \rho_{min} = \max(1/C, \rho_{dv})$、n_{wave} = 2 处取得。
7.2.2 方形近似假设的可靠性审视
损失公式建立在三个近似上：①tile 近方形（缩放按 $\sqrt{g}$）；②k_{L1} 不随重切变化；③16 对齐取整忽略。逐一审视：
（1）非方形分解——惩罚因子与方向性
$N_{blk}'$（或尾轮区域）的整数分解 (mCnt', nCnt') 偏离方形比例 M/N 时，周长和高于方形基准。设分解长宽比 $\lambda = sM'/sN'$，非方形惩罚因子：
p(\lambda) = \frac{\sqrt{\lambda} + 1/\sqrt{\lambda}}{2} \ge 1 \quad \text{（等号当 } \lambda = 1 \text{ 方形）}
非方形修正后的损失公式：
\frac{T_B}{T_{A1b}} = \frac{n_{wave} \cdot p_B / \sqrt{g}}{(n_{wave}-1) + \sqrt{\rho} \cdot p_t}
其中 $p_B$、p_t 分别为 B 全局分解与 A1b 尾轮分解的惩罚因子（A1b 主轮 tile 不变，惩罚为 1）。回答"非方形是否一定有损失"：
- 损失的存在性（$T_B > T_{A1b}$）由均值不等式的结构决定——只要两策略在同一基准 tile 形状上做相同的面积→周长缩放，不等式方向不变；非方形惩罚同时抬高两者，方向保持；
- 但损失的大小不再等于理论值：
p_B > p_t时损失放大（极端例的 264:512 分解 $p_B = 1.057$），p_B < p_t时损失缩小甚至 B 反超。无绝对保证，需按实际分解计算； - 主流 case（
M, N大且分解自由度高）近方形可达（$p \approx 1$），理论值可靠；极端长宽比 case（如N=512使 $nCnt'=1$，B 只能(64,1)分解）p_B显著 $> 1$，实际损失可超理论值近一倍。
（2）k_{L1} 跨 regime
缩放律假设 k_{L1} 不变，但 $k_{L1} = \min(K, L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype))$：重切使周长缩小 → L1 约束放松 → k_{L1} 可能从 L1 主导值升至 $K$（K 全载）。k_{L1} 上升使每块搬移量反升（搬更多 K 数据），B 的总搬移量进一步增大——k_{L1} 跨 regime 只会放大 B 的损失，不会缩小（A1b 主轮 tile 不变、不受影响）。极端例中该效应贡献 140/128 = 1.094 倍放大。
（3）16 对齐取整：tile 小时（$s' \sim 128$）取整误差占比 $\sim 16/128 = 12.5%$，大 tile 时 <6%。对两策略平等，不改变方向。
小结：方形近似在主流 case（分解自由度高、k_{L1} 同 regime）下可靠（误差 <5%）；在"分解被 dValue/整数约束强制非方形 + k_{L1} 跨 regime"的边角 case 下会低估损失（极端例 16.6% → 30%）。损失公式的理论值应视为损失下界。
7.2.3 主流 prefill/decode 场景的实际损失
大模型推理的 BMM 典型形状（用户给定）：prefill 场景 B∈[2,128]、M∈[4k,128k]、K/N∈[128,10240]；decode 场景 B∈[2,128]、M∈[1,128]、K/N∈[128,10240]。按本文模型逐一分析：
（1）M, N 为 256 倍数的主流形状：r=0 恒成立，损失为 0
sM=sN=256 时 $mCnt = M/256$、$nCnt = N/256$。主流模型维度（4096/8192/14336 等）均为 256 倍数，mCnt, nCnt 含充足 2 的幂因子，N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt 对 B \ge 2 几乎恒为 32 倍数 → 无尾轮。prefill 的典型 case（如 B=8、M=16384、N=8192：$N_{blk}=4096$、$w=128$、$r=0$）根本不触发尾轮问题。
（2）M 奇异的 prefill case（seq_len 非 256 倍数）：w 大 → 损失 <2%
例：B=2、M=4224（$mCnt=17$）、N=4224（$nCnt=17$）：$N_{blk}=578$、$w=19$、$r=2$。即使访存 Bound（K 小），f = \sqrt{19 \times 18.06}/(18+0.25) = 1.015 → 损失 1.5%。w 越大损失越小——prefill 的 M 大使 N_{blk} 大、w 大，损失天然被稀释。
（3）decode case（$M \le 128$）：访存 Bound 居多，但 w 大或落入打平区
M小 →T_{MMAD}小 → 访存 Bound 为主（如 M=64、sN=256、K=512：$T_{MMAD}=1.1\mu s < T_{load}=5.1\mu s$）；- $N_{blk} = B \cdot nCnt$（$mCnt=1$）：$B$、
nCnt的乘积通常使w大（如 B=100、N=3328：$N_{blk}=1300$、$w=41$、$r=20$、$\rho=0.625 \ge \rho_{dv}=0.25$），f = \sqrt{41 \times 40.625}/(40+0.79) \approx 1.0005→ 损失 ≈0.05%； w小的 decode case（B小且N小）：如 B=17、M=64、N=2048（$nCnt=8$）：$N_{blk}=136$、$w=5$、$r=8$、$\rho=0.25=\rho_{dv}$，f = 1.024→ 损失 2.4%；N_{blk} < C的 case（如 B=8、N=512：$N_{blk}=16$）：$w=1$——核都填不满，属降核/并行度不足场景（不是尾轮问题），不在本文策略讨论范围。
（4）主流场景损失结论
| 场景 | 尾轮出现条件 | 典型 w |
B0/B1 相对 A1b 损失 |
|---|---|---|---|
prefill，M,N 为 256 倍数 |
不出现（$r=0$） | — | 0 |
prefill，M 奇异 |
B \cdot mCnt \cdot nCnt \bmod 32 \neq 0 |
\ge 9 |
<2% |
decode，w \ge 5 |
同上 | \ge 5 |
≤2.4% |
decode，N_{blk} < C |
— | w=1 |
降核场景，不在本文范围 |
极端边角（M/N \gg 1 极端长宽比 + K \in (k_{L1}, K^*) 窄区间 + w=2 + r 小） |
罕见 | 2 | 理论 16.6%，实际可达 ~30% |
主流 prefill/decode case 的 B1 损失 ≤ 2.5%——B1（无脑整数轮满核切）在主流场景下是安全的工程选择；~30% 的损失只出现在主流形状不会命中的边角 case（极端长宽比 + 窄 K 区间 + 两轮尾轮）。
7.3 损失汇总与工程建议
| 场景 | B1 相对 A1b 的损失 | 说明 |
|---|---|---|
| 计算 Bound（任意 $r$） | 0 | 时延严格相等（§4.3） |
访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，sN=256 |
≤ 5.4% | 典型场景（方形 tile、$w=2$、r=8 时取到） |
访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，sN=512 |
≤ 16.6%（理论）/ ~30%（实际极端例） | 需极端长宽比 + 窄 K 区间，罕见 |
访存 Bound，\rho < \rho_{dv} |
≤ 0（B 反超或打平） | §5.3(iii) 分界公式 |
sN \ge 608 |
0（该场景恒计算 Bound） | K^* 区间为空 |
| 主流 prefill/decode case（§7.2.3） | ≤2.5% | 256 倍数形状 $r=0$；M 奇异/decode 场景 w 大稀释损失 |
工程建议：
- 计算 Bound 为主力的场景直接上 B1——零损失、实现最简（host 一次枚举、kernel 无尾轮分支）；
- 访存 Bound 且 tile 小（$sN \le 256$）时 B1 损失 ≤5.4%，实现简洁性通常值得这点损失；
- 访存 Bound 且 $sN \approx 512$、$n_{wave}=2$、
r小的 case 损失可达 ~30%（极端例），此类 case 应落到 A1b（或按 §5.3 分界公式精确判定，即 B0）； - B1 的判定门限全部闭式（B/M/K/N/dtype → $r$、$g$、$K^*$、$sN$），host 端零成本。
八、边界说明
- 带宽模型敏感性：访存 Bound 结论依赖"每核 MTE2 带宽上限 $BW_{pc}$"假设。若 HBM 为全局共享池（尾轮
r核可吃满 $W_{GM}$），A0 尾轮搬移时延已是\rho \cdot T_{load}接近理想，A1b/B 的搬移增量无带宽补偿，结论反转。昇腾 950PR 的 MTE2 为每核独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，采用固定份额结论；临界 case 建议实测复核。 - A1b 的工程代价：需两套 tile 参数（主轮大 tile + 尾轮小 tile）与尾轮区域的边界处理（
r个原块的并一般为 L 形，按矩形分解重切）；host 端多一次枚举，NPU 侧 kernel 需支持尾轮 tile 尺寸切换。这些复杂度不改变时延结论，但影响实现成本。 - 方形基准的适用条件：§2.5 已述——K 全载时方形严格最优、L1 主导时仅面积相关。非方形分解的实际收益由同一目标函数评估，例 5 的非方形惩罚即此体现。
- B 不整除 $N_{blk}'$：
B \nmid N_{blk}'时按 batch 分组切分、部分 batch 多一块，收益略降，判定不变。
参考文献
- 昇腾 950 NPU 架构白皮书，华为技术有限公司，2026
- cann-ops-nn 源码仓（BatchMatMulV3）：kernel 侧尾轮线性映射见
op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h（UpdateBasicIndex：index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum，if (index < totalCnt)跳过空转核——即本文的策略 A0）