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<title>ASW_Basic 分支理论最优实现分析 v1.2</title>
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<h1>ASW_Basic 分支：BMM 兜底分支的理论最优实现分析</h1>
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<blockquote>目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文为 ASW_Basic 分支的独立分析，自包含完整推导链。v1.2 修正 dValue 定义与尾轮重切约束，新增与源码实现的对比分析。</blockquote>
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<h2>摘要</h2>
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<p>ASW_Basic 是 BMM 的兜底分支——核间切 M/N（或混合切），不做 batch 合并或 K 维切分。本文给出完整的时延建模、核间分配策略分析（证明 B 优先分组在任何场景下都不优于线性映射）、实现方案的逐步推导（含尾轮重切的 Bound 类型分级策略），以及与源码实现的逐维度对比。</p>
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<p>核心结论：**B 优先分组不优于线性映射；尾轮重切在 host 端零代价、$n_{wave} \le 3$ 时应重切且计算 Bound 下 dValue 可放宽；源码的 swizzle/核间分配/AL1 全载与理论高度一致，主要差距在降核模式未实现、IsCapable 无并行度校验、尾轮未按 Bound 类型区分重切策略。**</p>
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<hr>
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<h2>一、问题定义与执行模型</h2>
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<h3>1.1 分支定位</h3>
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<p>BMM 中，当 B ≥ C（batch 数 ≥ AIC 核数）时核间切 B 是免费的（每核独立处理若干 batch，无共享无依赖），由 IterBatch/MergeBatch 承接。当 B < C 或 B ≥ C 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时，需要切 M/N 来填满所有核——这就是 ASW_Basic。</p>
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<p>ASW_Basic 是实践中最常命中的分支：B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。</p>
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<h3>1.2 执行模型</h3>
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<pre><code>核间：B × mCnt × nCnt 个输出块，按 B→M→N 线性映射分配到 C 核
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核内：每核处理若干 [singleCoreM, singleCoreN] 输出块
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└── 每块内部：GM→L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe 标准流水
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└── K 维不切（singleCoreK = K），按 kL1 分块搬入 L1</code></pre>
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<p>数据流：</p>
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<pre><code>GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
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↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑</code></pre>
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<h3>1.3 符号定义</h3>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>表达式/取值</th></tr>
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<tr><td>$B$</td><td>batch 数</td><td>输入参数</td></tr>
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<tr><td>$M, N, K$</td><td>矩阵维度</td><td>输入参数</td></tr>
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<tr><td>$C$</td><td>AIC 核数</td><td>32</td></tr>
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<tr><td>$dtype$</td><td>输入元素字节数</td><td>BF16 → 2B</td></tr>
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<tr><td>$outB$</td><td>输出元素字节数</td><td>BF16 → 2B</td></tr>
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<tr><td>$L0C$</td><td>L0C 容量/核</td><td>256KB</td></tr>
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<tr><td>$L0A, L0B$</td><td>L0A/L0B 容量/核</td><td>各 64KB</td></tr>
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<tr><td>$L1$</td><td>L1 容量/核</td><td>512KB</td></tr>
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<tr><td>$L2$</td><td>L2 容量（共享）</td><td>128MB</td></tr>
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<tr><td>$BW_{pc}$</td><td>单核 GM 带宽份额</td><td>$W_{GM}/C = 50$ GB/s</td></tr>
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<tr><td>$Q_{16}$</td><td>单核 Cube BF16 峰值算力</td><td>486/32 ≈ 15.2 TFLOPS</td></tr>
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<tr><td>$W_{GM}$</td><td>GM 带宽</td><td>1.6 TB/s</td></tr>
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<tr><td>$BW_{L2}$</td><td>L2 读带宽</td><td>5.2 TB/s</td></tr></table>
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<p>*Tiling 参数*：</p>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>约束层级</th></tr>
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<tr><td>$\text{BaseM}, \text{BaseN}$</td><td>L0 级 tile 的 M/N 维度</td><td>L0C 容量直接约束</td></tr>
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<tr><td>$baseK$</td><td>L0 级 tile 的 K 维度</td><td>L0A/L0B 容量约束</td></tr>
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<tr><td>$\text{singleCoreM}, \text{singleCoreN}$</td><td>每核输出 tile 的 M/N 维度</td><td>L1 容量 + 并行度 + 搬移效率</td></tr>
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<tr><td>$k_{L1}$</td><td>GM→L1 的 K 向粒度</td><td>dValue ≥ 256B</td></tr>
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<tr><td>$mCnt, nCnt$</td><td>单 batch 内 M/N 向块数</td><td>$\lceil M/\text{singleCoreM} \rceil$</td></tr>
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<tr><td>$W$</td><td>swizzle 窗口宽度</td><td>$\max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$</td></tr></table>
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<p>层次关系：$K = \text{singleCoreK} \ge k_{L1} \ge baseK$，$\text{singleCoreM} \ge \text{BaseM}$，$\text{singleCoreN} \ge \text{BaseN}$。</p>
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<p><b>搬移效率：dValue 与 min_TileSize</b></p>
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<p>GM→L1 搬移使用 Nd2Nz DMA，每次搬移的关键参数：</p>
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<table><tr><th>参数</th><th>含义</th><th>A 矩阵 [singleCoreM, $k_{L1}$]</th><th>B 矩阵 [$k_{L1}$, singleCoreN]</th></tr>
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<tr><td>nValue</td><td>行数（非连续维）</td><td>singleCoreM</td><td>$k_{L1}$</td></tr>
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<tr><td>dValue</td><td>每行连续字节数（连续维）</td><td>$k_{L1} \cdot dtype$</td><td>$\text{singleCoreN} \cdot dtype$</td></tr>
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<tr><td>总搬移量</td><td>nValue × dValue</td><td>$\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot dtype$</td><td>$k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype$</td></tr></table>
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<p><b>dValue 是 ND 排布中连续维的字节数</b>——对 ND 格式的右矩阵 B：非转置时连续维为 N，dValue = $\text{singleCoreN} \cdot dtype$；转置时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$。<b>dValue 不是两个维度的乘积</b>。</p>
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<p>两级搬移效率阈值：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>dValue ≥ 256B</b>（DMA 硬件突发下限）：每行连续数据量不足 256B 时，DMA 突发效率急剧下降；</li>
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<li><b>总搬移量 ≥ min_TileSize</b>（推荐 16KB）：单次搬移量太小则带宽利用率不足（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)推荐 dValue 256B/512B 对齐）。</li>
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</ol>
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<hr>
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<h2>二、进入条件</h2>
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<p>同时满足：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} \ge C$（并行度补齐）</li>
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<li>无 batch 结构限制（BatchA=BatchB、交叉广播均可）；典型进入路径：$B < C$（切 B 买不满核），或 $B \ge C$ 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时的兜底</li>
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<li><b>降核模式</b>：$P < C$ 且不满足 StreamK 进入条件 → 只用 $\lceil P \rceil$ 个核，其余核闲置</li>
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</ol>
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<p>逐条解释：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>并行度补齐</b>：以 L0C 满载为基本块粒度，B×M×N 能切出至少 C 个独立输出块，则切 M/N（或混合切）并行度够用。切 M/N 的固有代价是共享矩阵被多核重复读，但共享部分驻留 128MB L2 时重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM，代价大部分被吸收。</li>
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<li><b>兜底性质</b>：ASW_Basic 是实践中最常命中的分支——B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。</li>
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<li><b>降核模式</b>：P < C 且 K 也不够格走 StreamK 时，并行度凑不满核。此时与其强行把 M/N 切得更碎（tile 跌破 min_TileSize、dValue 跌破 128B，搬移效率崩塌，反而更慢），不如<b>只用 ⌈P⌉ 个核</b>、每核承担一个完整输出块（L0C 满载粒度），其余核闲置。这类 case 的时延绝对值小，继续切分引入的调度与搬移效率损失大于并行收益——降核是理性选择而非偷懒。</li>
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</ol>
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<hr>
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<h2>三、时延建模</h2>
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<h3>3.1 端到端时延</h3>
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<div class="math">$$
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T = \max(T_{MTE2},\; T_{MMAD},\; T_{FIX}) + T_{drain}
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$$</div>
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<table><tr><th>项</th><th>含义</th><th>公式</th></tr>
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<tr><td>$T_{MTE2}$</td><td>GM→L1 搬移时延</td><td>$r_{in} \cdot S_{in} / (C \cdot BW_{pc})$</td></tr>
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<tr><td>$T_{MMAD}$</td><td>Cube 计算时延</td><td>$2BMNK / (C \cdot Q_{16})$</td></tr>
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<tr><td>$T_{FIX}$</td><td>输出写回时延</td><td>$B \cdot MN \cdot outB / (C \cdot W_{pc})$</td></tr>
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<tr><td>$T_{drain}$</td><td>末块排空时延</td><td>$O(T_{comp} + T_{write})$</td></tr></table>
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<p>其中 $S_{in} = B(MK + KN) \cdot dtype$ 为输入总量，$r_{in} \ge 1$ 为重复读倍率（GM 输入流量 / 输入总量）。$r_{in} = 1$ 表示每字节只从 GM 读一次（后续复用全命中 L2）——<b>这是 GM 输入流量的下界</b>。</p>
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<p><b>关键观察</b>：$T_{MMAD}$ 和 $T_{FIX}$ 与核间分配策略无关——**分配策略只影响 $T_{MTE2}$**（通过 L2 命中率影响 $r_{in}$）。优化目标：让 $r_{in}$ 尽量接近 1。</p>
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<h3>3.2 并行度约束的正确形式</h3>
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<p>总输出块数 $= B \cdot mCnt \cdot nCnt$。并行度约束的正确形式是：</p>
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<div class="math">$$
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B \cdot mCnt \cdot nCnt \ge C
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$$</div>
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<p>即总块数至少能填满 C 核。这与 $mCnt \cdot nCnt \ge \lceil C/B \rceil$ 等价（两边同乘 B 后取整）。</p>
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<p>**不应要求 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C = 0$**（整除）。整除是充分不必要条件——不整除时产生尾轮，尾轮的处理见 §五。</p>
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<hr>
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<h2>四、核间分配策略分析</h2>
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<h3>4.1 两种候选策略</h3>
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<ul class="tight">
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<li><b>B 优先分组</b>：C 核分为 B 组，每组 $C_g = \lfloor C/B \rfloor$ 或 $\lceil C/B \rceil$ 核独立处理一个 batch 的 $mCnt \times nCnt$ 个块，组内做 swizzle</li>
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<li><b>线性映射</b>：块按 (b, m, n) 字典序编号（block 0 = (0,0,0)，block 1 = (0,0,1)，…，block $mCnt \cdot nCnt$ = (1,0,0)，…），核 i 依次处理块 i, i+C, i+2C, …</li>
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</ul>
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<h3>4.2 L2 工作集对比</h3>
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<p>每波活跃核所需的 A 行带 + B 列带：</p>
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<div class="math">$$
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WS_{wave} = \big(W \cdot sM + \tfrac{C}{W} \cdot sN\big) \cdot K \cdot dtype
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$$</div>
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<p>其中 $sM$ = singleCoreM，$sN$ = singleCoreN，$W$ 为 swizzle 窗口宽度。</p>
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<table><tr><th>维度</th><th>B 优先分组</th><th>B→M→N 线性映射</th></tr>
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<tr><td>每波活跃 batch 数</td><td>B 个（每组一个）</td><td>1 个（$mCnt \cdot nCnt \ge C$ 时）</td></tr>
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<tr><td>每组/每波 swizzle 窗口</td><td>$W_g = \max\{d \mid d \mid C_g,\; d \le \sqrt{C_g}\}$</td><td>$W = \max\{d \mid d \mid C,\; d \le \sqrt{C}\}$</td></tr>
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<tr><td>每波 L2 工作集</td><td>$B \cdot (W_g \cdot sM + \frac{C_g}{W_g} \cdot sN) \cdot K \cdot dtype$</td><td>$(W \cdot sM + \frac{C}{W} \cdot sN) \cdot K \cdot dtype$</td></tr>
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<tr><td>C 不整除 B</td><td>组间核数不等 → 负载不均</td><td>无影响（总块数任意）</td></tr></table>
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<p><b>数值例</b>（C=32、B=4、sM=sN=256、K=1024、BF16）：分组 $C_g=8$、$W_g=2$（8 的最大因子 ≤ √8≈2.83），总工作集 = $4 \times (2 \times 256 + 4 \times 256) \times 1024 \times 2 = 12$ MB；线性 $W=4$，工作集 = $(4 \times 256 + 8 \times 256) \times 1024 \times 2 = 6$ MB——<b>线性映射的工作集是分组方案的一半</b>。</p>
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<p><b>为什么线性映射工作集更小</b>：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>更多核参与同一 batch 的 swizzle</b> → $W = \sqrt{C} > W_g = \sqrt{C/B}$ → 工作集更接近"方形"下限（均值不等式：$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处最小）；</li>
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<li><b>同一时刻只有 1 个 batch 的数据活跃</b> → L2 只需缓存 1 份 A/B 数据，而非 B 份。</li>
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</ol>
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<h3>4.3 分场景严格比较</h3>
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<p>**场景 I：$mCnt \cdot nCnt \ge C$ 且单波工作集 ≤ L2**（最常见）</p>
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<p>线性映射：每波 C 个块在同一 batch 内，L2 命中率高。B 分组：B 个 batch 同时活跃，总工作集 $B$ 倍。<b>线性严格更优。</b></p>
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<p>**场景 II：$S_{in} \le L2$（全部输入放得下 L2）**</p>
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<p>两种策略的 GM 流量相同（$r_{in} = 1$，每字节只读一次）。但 B 分组在 C % B ≠ 0 时负载不均（组间核数不等）。<b>线性不劣于分组。</b></p>
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<p>**场景 III：$mCnt \cdot nCnt < C$（单 batch 块数不够填满所有核）**</p>
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<p>线性映射：每波横跨 $\lceil C/(mCnt \cdot nCnt) \rceil$ 个 batch——这些 batch 的数据同时活跃。B 分组：每组 $C_g$ 核但只有 $mCnt \cdot nCnt < C_g$ 个块 → <b>组内有空闲核</b>。线性映射至少所有核都有活干。<b>线性严格更优。</b></p>
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<p>**场景 IV：$mCnt \cdot nCnt < C/B$（每组连自己的核都填不满）**</p>
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<p>B 分组每组空闲 $C_g - mCnt \cdot nCnt$ 个核，总算力浪费 $C - B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个核。线性映射无此问题。<b>线性严格更优。</b></p>
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<h3>4.4 结论</h3>
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<p><b>B 优先分组在任何场景下都不优于线性映射。</b> 根本原因：</p>
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<ol class="tight">
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<li>L2 是共享 Cache，工作集越小命中率越高——线性映射同一时刻只激活 1 个 batch 的数据，工作集最小；</li>
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<li>swizzle 窗口 $W \propto \sqrt{\text{参与核数}}$——更多核参与同一 batch 的 swizzle，窗口更大，工作集更方形；</li>
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<li>线性映射对 B 与 C 的关系无要求，B 不整除 C 时无负载不均。</li>
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</ol>
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<p>因此 ASW_Basic 采用 <b>B→M→N 线性映射</b>作为核间分配策略。</p>
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<hr>
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<h2>五、实现方案</h2>
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<h3>5.1 BaseM / BaseN 的确定（L0 级 tile，先把 L0C 用满）</h3>
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<p>L0C 是 Cube 的累加器，BaseM × BaseN 是每次 Cube 计算的输出 tile。BaseM/N 应<b>尽量把 L0C 用满</b>——L0C 利用率越高，每次 Cube 计算的输出越大，单位计算的启动/排空开销摊得越薄。</p>
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<p><b>L0C 双缓冲 vs UnitFlag 单缓冲</b>：</p>
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<p>传统做法用 L0C 双缓冲实现 tile 间流水——计算 tile N+1 时，fixpipe 同时写出 tile N：</p>
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<div class="math">$$
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\text{BaseM} \times \text{BaseN} = \frac{L0C}{2 \times 4\text{B}} = 32768 \text{ 元素（双缓冲）}
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$$</div>
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<p>但昇腾 950PR 的 Fixpipe 支持 <b>UnitFlag</b>——MMAD 每完成一个 16×16×16 基本块（512B 结果），Fixpipe 立即将其写出，无需等整个 L0C tile 算完。UnitFlag 提供的是 <b>tile 内部的细粒度流水</b>（16×16×16 粒度），替代双缓冲的 <b>tile 间粗粒度流水</b>（BaseM×BaseN 粒度）。</p>
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<p>UnitFlag 单缓冲下，L0C 只需一份 buffer：</p>
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<div class="math">$$
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||||
\text{BaseM} \times \text{BaseN} = \frac{L0C}{4\text{B}} = 65536 \text{ 元素（单缓冲）}
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$$</div>
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||||
<p>BaseM/N 可放大 $\sqrt{2}$ 倍（如 256→362），mCnt/nCnt 相应减小，<b>L2 重复读率降低</b>（单 batch 块数减少 → 每行 A 被更少的组读取）。</p>
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<p>*时延对比*（单 tile 粒度，BF16 输出）：</p>
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<table><tr><th>方案</th><th>tile 大小</th><th>tile 间流水</th><th>tile 内流水</th><th>单 tile 时延</th></tr>
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<tr><td>双缓冲</td><td>181×181（32761 元素）</td><td>✓（tile N 写出 ∥ tile N+1 计算）</td><td>✗</td><td>max($T_{comp}$, $T_{write}$)</td></tr>
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||||
<tr><td>UnitFlag 单缓冲</td><td>256×256（65536 元素）</td><td>✗</td><td>✓（16×16×16 粒度）</td><td>max($T_{comp}$, $T_{write}$)</td></tr></table>
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||||
<p>两种方案的稳态时延相同（都是 max($T_{comp}$, $T_{write}$)），但 UnitFlag 单缓冲的 tile 更大 → 总 tile 数更少 → 循环开销更小。<b>但当前 BMM ASW kernel 未启用 UnitFlag</b>（<code>unitFlag = 0</code>，注释 "each l0 only process one block, disable unit flag"），且源码在 baseM=baseN=256 时已自动选 dbL0C=1（256×256×4B×2 > L0C）——即<b>源码已经是单缓冲 + 无 UnitFlag</b>，tile 到顶但无流水交叠。</p>
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||||
<p>*建议*：对计算 Bound 的 case 启用 UnitFlag（MMAD 与 Fixpipe 流水并行），可将单 tile 时延从 $T_{comp} + T_{write}$ 降至 $\max(T_{comp}, T_{write})$。对访存 Bound 的 case（MTE2 Bound），UnitFlag 收益小（[CANN 文档](https://www.hiascend.com/document/detail/zh/CANNCommunityEdition/920beta1/API/ascendcopapi/atlasascendc_api_07_0003.html)：MTE2 Bound 时 MMAD/FIX 流水可被搬移掩盖）。</p>
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<p>BaseM/BaseN 的长宽比跟随 SingleCoreM/SingleCoreN（进而跟随 M/N），对齐 16 的倍数。baseK 由 L0A/L0B 容量决定（L1→L0 搬移无 dValue 要求，dValue 约束的是 GM→L1 的 $k_{L1}$）：</p>
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||||
<div class="math">$$
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||||
baseK = \min\Big(\frac{L0A}{2 \cdot \text{BaseM} \cdot \text{dtype}},\; \frac{L0B}{2 \cdot \text{BaseN} \cdot \text{dtype}}\Big) \text{ 向下 16 对齐}
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||||
$$</div>
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<p>核间不切 K 时 K 维度层次关系：$K = \text{singleCoreK} \ge k_{L1} \ge baseK$——$k_{L1}$ 是 GM→L1 的 K 向粒度（须 $k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}$），baseK 是 L1→L0 的 K 向粒度（仅受 L0A/L0B 容量约束）。</p>
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<p>*BaseM/N 的具体确定过程*（host 端枚举，16 对齐遍历）：</p>
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<ol class="tight">
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<li>从 BaseM = BaseN = $\lfloor\sqrt{L0C/4\text{B}}\rfloor_{16} = 256$ 开始（正方形，L0C 单缓冲上限）</li>
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<li>检查 baseK = $\min(L0A/(2 \cdot 256 \cdot dtype),\; L0B/(2 \cdot 256 \cdot dtype))$ ≥ 128B/dtype（最小高效粒度）</li>
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<li>若 baseK 不足，按比例缩小 BaseM/BaseN（保持长宽比 ≈ M/N），直到 baseK 满足</li>
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<li>若 M ≪ N（或反之），长宽比跟随 M/N：BaseM/BaseN ≈ M/N，面积保持 65536</li>
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</ol>
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<p>*与源码的差异*：源码默认 baseM=baseN=256（硬编码 "256 is better base"），再由 cubeBound 模型（L2 供数能力 + 溢出惩罚 + K 向复用）枚举收缩。理论直接从 L0C 容量出发，cubeBound 的三项修正可从第一性原理推导：①L2 供数速率 vs Cube 耗数速率 → 访存 Bound 时应缩 tile；②工作集超 L2 → 增大 tile 减少重复读；③K 越大越偏 compute bound → 可放大 tile。两者方向一致，源码多了实测调优的余量（CUBE_BOUND_RATIO=0.85）。</p>
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<h3>5.2 SingleCoreM / SingleCoreN 的确定（每核输出 tile，≥ BaseM/N）</h3>
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<p>SingleCoreM × SingleCoreN 是每核每次处理的输出区域，<b>不受 L0 容量直接约束</b>——一个 [SingleCoreM, SingleCoreN] tile 内部由若干 [BaseM, BaseN] L0 tile 组成（$\text{SingleCoreM} \ge \text{BaseM}$，$\text{SingleCoreN} \ge \text{BaseN}$）。SingleCoreM/N 的核心影响是 <b>GM→L1 搬移效率和 L2 重复读率</b>：</p>
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<ul class="tight">
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<li>SingleCoreM/N 越大 → 单次 GM→L1 搬移量越大，dValue 越有保障，L2 中同一份 A 行带/B 列带被更多核复用</li>
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<li>SingleCoreM/N 越小 → 总块数 mCnt×nCnt 越多，并行度越高，但搬移效率降低</li>
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</ul>
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<p>*约束链*：</p>
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<p><b>约束 1——并行度下限</b>：总块数须填满 C 核。</p>
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<div class="math">$$
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B \cdot mCnt \cdot nCnt \ge C \iff mCnt \cdot nCnt \ge \Big\lceil \frac{C}{B} \Big\rceil
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$$</div>
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<p><b>约束 2——L1 容量</b>（双缓冲下驻留当前 tile 的输入）：</p>
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<div class="math">$$
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2 \cdot (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}) \cdot k_{L1} \cdot \text{dtype} \le L1,\qquad k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}
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$$</div>
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<p><b>约束 3——搬移效率</b>（dValue 见 §1.4）：</p>
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<div class="math">$$
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\underbrace{k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}}_{\text{A 矩阵 dValue}},\qquad \underbrace{\text{singleCoreN} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}}_{\text{B 矩阵 dValue（非转置）}}
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$$</div>
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<div class="math">$$
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\underbrace{\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize}_{\text{A 单次搬移量}},\qquad \underbrace{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize}_{\text{B 单次搬移量}}
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$$</div>
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<p><b>约束 4——SingleCoreM/N 是 BaseM/N 的整数倍</b>（工程实现要求，保证 L0 tile 边界对齐）。</p>
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<p>*选取策略*：在满足约束 1 的前提下，SingleCoreM/N 尽量大（搬移效率和 L2 复用最大化）。长宽比跟随 M/N（$\text{singleCoreM}/\text{singleCoreN} \approx M/N$），对齐到 BaseM/BaseN 的整数倍。</p>
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<p>*SingleCoreM/N 的具体确定过程*（host 端枚举，与尾轮处理联动）：</p>
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<ol class="tight">
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<li>从约束 1 得到最小块数：$mnCnt_{min} = \lceil C/B \rceil$</li>
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<li>枚举 $(mCnt, nCnt)$ 组合，$mCnt \cdot nCnt \ge mnCnt_{min}$，从大到小遍历 singleCoreM = $\lceil M/mCnt \rceil_{16}$、singleCoreN = $\lceil N/nCnt \rceil_{16}$</li>
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<li>对每个组合检查约束 2/3/4（L1 容量、搬移效率、BaseM/N 整数倍）</li>
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<li>计算尾波占比：$r = B \cdot mCnt \cdot nCnt \bmod C$，优先选 $r = 0$ 或 $r$ 大的组合（尾波核数多 → 重切后 $s^*$ 小 → 小块 dValue 有保障）</li>
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<li>若 $n_{wave} = \lceil B \cdot mCnt \cdot nCnt / C \rceil \le 3$ 且 $r > 0$，计算尾轮重切参数 $s^*$ 并评估重切后收益</li>
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<li>选总时延最短的组合：$T_{total} = (n_{wave} - 1) \cdot T_{block} + T_{tail}$，其中 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（重切）或 $T_{block}$（不重切）</li>
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</ol>
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<p>*与源码的差异*：源码用 cubeBound 模型 + balanceRate ≥ 0.9 剪枝，不解耦 SingleCoreM/N 与 BaseM/N（baseM=256 已是 SingleCore 级参数，L0 tile 由 stepM/stepN 二次切分）。理论的两层分离使约束链更清晰——SingleCoreM/N 由 L1 + 并行度 + 搬移效率决定，BaseM/N 由 L0C 决定，各司其职。</p>
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<p>*例*（B=8、M=N=2048、K=1024、BF16）：$\lceil C/B \rceil = 4$，取 $mCnt = nCnt = 2$ → singleCoreM = singleCoreN = 1024。BaseM = BaseN = $\lfloor\sqrt{32768}\rfloor_{16} = 176$。SingleCoreM/BaseM = 1024/176 ≈ 5.8 → 取 5（整数倍）→ singleCoreM = 880。约束 2：$k_{L1} \le 512\text{KB}/(2 \times 1760 \times 2\text{B}) = 74$ → 取 64（16 对齐）= 128B ✓。</p>
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<h3>5.3 mCnt / nCnt 与核间分配（含尾轮处理）</h3>
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<div class="math">$$
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mCnt = \Big\lceil \frac{M}{\text{singleCoreM}} \Big\rceil,\qquad nCnt = \Big\lceil \frac{N}{\text{singleCoreN}} \Big\rceil
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$$</div>
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<p>总输出块数 = $B \times mCnt \times nCnt$。核间分配采用 B→M→N 线性映射（分析见 §四）：块按 (b, m, n) 字典序编号，核 i 处理块 i, i+C, i+2C, …。B 不整除 C 时尾波不满载的核少分一块，无需 B | C。</p>
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<p><b>尾轮处理</b>（host 端预处理，零 NPU 开销）：</p>
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<p><b>尾轮定义</b></p>
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<p>当 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C \neq 0$ 时，总块数不能被 C 整除，最后一波（尾轮）不满载——只有 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C$ 个核有活干，其余核空闲。</p>
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<p><b>尾轮重切：是否值得？</b></p>
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<p><b>关键前提：tiling 在 host（CPU）上完成，不占 NPU 时间。</b> 重切只需 host 多算一套 tiling 参数下发给 NPU，零 NPU 开销。这改变了收益/代价的平衡——重切的代价仅为 host 端多一次枚举，而收益是 NPU 端尾波时延的缩短。</p>
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<p><b>不重切时</b>：尾波 $r$ 个块用 $r$ 个核，每核处理 1 块，时延 = $T_{block}$，$C - r$ 核空闲。</p>
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<p><b>重切时</b>：把 $r$ 个块沿 M 或 N 维再切 $s$ 份，变成 $r \cdot s$ 个小块，$r \cdot s$ 个核各处理 1 小块，时延 ≈ $T_{block}/s$（每小块计算量/搬移量/写回量均为原块的 $1/s$）。</p>
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<p>*重切收益*：</p>
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<div class="math">$$
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\Delta T_{saved} = T_{block} \cdot \Big(1 - \frac{1}{s}\Big)
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$$</div>
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<p>*占总时延比例*：</p>
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<div class="math">$$
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\frac{\Delta T_{saved}}{T_{total}} \approx \frac{1 - 1/s}{n_{wave}}
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$$</div>
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<p>$n_{wave} = 2$、$s = C/r$ 时：$r=16$ → 收益 25%；$r=8$ → 收益 37.5%。$n_{wave} = 3$ 时：$r=16$ → 16.7%；$r=8$ → 25%。**$n_{wave} \le 3$ 时收益显著，应重切。**</p>
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<p>*重切约束的推导*：沿 N 切 $s$ 份后，小块变为 $[\text{singleCoreM},\; \text{singleCoreN}/s]$。小块须满足两类约束——<b>但约束的严格程度取决于算子是访存 Bound 还是计算 Bound</b>。</p>
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<p>**访存 Bound（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$）**：搬移是瓶颈，小块的 dValue 和搬移量不能降——否则搬移更慢，总时延反而增加。约束与主 tile 相同：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>dValue 下限</b>：B 矩阵 dValue = $\text{singleCoreN}_{tail} \cdot dtype \ge 256\text{B}$（沿 N 切时）：</li>
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</ol>
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<div class="math">$$
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s \le \frac{\text{singleCoreN} \cdot dtype}{256\text{B}}
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$$</div>
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<ol class="tight">
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<li><b>单次搬移量</b>：$k_{L1} \cdot \text{singleCoreN}_{tail} \cdot dtype \ge min\_TileSize$：</li>
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</ol>
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<div class="math">$$
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s \le \frac{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype}{min\_TileSize}
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$$</div>
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<ol class="tight">
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<li><b>对齐</b>：$\text{singleCoreN}_{tail} \ge 16$：</li>
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</ol>
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<div class="math">$$
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s \le \frac{\text{singleCoreN}}{16}
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$$</div>
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<p>**计算 Bound（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$）**：搬移被计算掩盖，dValue 和搬移量约束可放宽——即使搬移效率降低，只要搬移时间仍 ≤ 计算时间，总时延不变。放宽的定量依据：</p>
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<p>小块计算时延 $T_{comp}^{tail} = 2 \cdot \text{singleCoreM} \cdot \text{singleCoreN}_{tail} \cdot K / Q_{16}$，搬移时延 $T_{load}^{tail} = (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}_{tail}) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。搬移被掩盖的条件：</p>
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<div class="math">$$
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T_{load}^{tail} \le T_{comp}^{tail} \iff \text{singleCoreN}_{tail} \ge \frac{\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{BW_{pc} \cdot (2 \cdot \text{singleCoreM} \cdot K - k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16} / BW_{pc})}
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$$</div>
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<p>记右端为 $x_{min}$（搬移掩盖下限），则计算 Bound 下的约束为：</p>
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<div class="math">$$
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s \le \min\Big(\frac{\text{singleCoreN}}{x_{min}},\; \frac{\text{singleCoreN}}{16}\Big)
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$$</div>
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<p>**计算 Bound 越严重（K 越大），$x_{min}$ 越小，$s$ 上限越大**——极端情况 $x_{min} \to 16$（对齐底线），$s \le \text{singleCoreN}/16$。</p>
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<p>*例*（singleCoreM=singleCoreN=256、$k_{L1}$=128、K=1024、BF16）：$x_{min} = 256 \times 128 \times 2 \times 15.2 \times 10^{12} / (50 \times 10^9 \times (2 \times 256 \times 1024 - 128 \times 2 \times 15.2 \times 10^{12} / 50 \times 10^9)) \approx 1$——几乎无约束，$s \le 256/16 = 16$。</p>
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<p>*最优切分因子*：先判定 Bound 类型（$T_{MMAD}$ vs $T_{MTE2}$），再选约束集：</p>
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<div class="math">$$
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s^* = \min\Big(\Big\lfloor \frac{C}{r} \Big\rfloor,\; s_{max}\Big),\qquad s_{max} = \begin{cases} \min\big(\frac{\text{singleCoreN} \cdot dtype}{256\text{B}},\; \frac{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype}{min\_TileSize},\; \frac{\text{singleCoreN}}{16}\big) & \text{访存 Bound} \\ \frac{\text{singleCoreN}}{16} & \text{计算 Bound} \end{cases}
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$$</div>
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<p>*例*（C=32、$N_{blk}=40$、$n_{wave}=2$、$r=8$、singleCoreM=singleCoreN=256、$k_{L1}$=128、BF16）：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>访存 Bound</b>（K 小）：dValue $s \le 2$，搬移量 $s \le 4$，对齐 $s \le 16$。$s^* = 2$——dValue 瓶颈，16 核满载，尾波减半，总时延节省 25%。</li>
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||||
<li><b>计算 Bound</b>（K 大）：$x_{min} \approx 1$，$s^* = \min(4, 16) = 4$——32 核满载，尾波降为 1/4，总时延节省 37.5%。</li>
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</ul>
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||||
<p>*切分方向选择*：优先沿 N 切（保持 A 行带完整，L2 中 A 数据不变）。计算 Bound 下若 N 向对齐卡住（$\text{singleCoreN}/16 < C/r$），改沿 M 切（A 矩阵 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$ 不变，仅受对齐约束 $\text{singleCoreM}/16$）。</p>
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||||
<p><b>结论</b>：$n_{wave} \le 3$ 且 $r < C$ 时应重切尾轮——host 端零代价，NPU 端收益 $T_{block}(1-1/s^*)$。$n_{wave} \ge 4$ 时收益 < 25%，可不重切（通过选择使尾波占比小的 mCnt/nCnt 组合来优化）。</p>
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||||
<p><b>尾轮影响的量化</b></p>
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<p>设总块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，总波数 $n_{wave} = \lceil N_{blk} / C \rceil$，尾波块数 $r = N_{blk} \bmod C$（$r = 0$ 时无尾波）。</p>
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<p><b>不重切时</b>尾波导致的额外时延（相对于完美整除）：</p>
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<div class="math">$$
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\Delta T_{tail} = \begin{cases} 0 & r = 0 \\ T_{block} \cdot \big(1 - \frac{r}{C}\big) & r > 0 \end{cases}
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$$</div>
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<p><b>重切后</b>尾波时延降为 $T_{block}/s^*$，额外时延：</p>
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<div class="math">$$
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\Delta T_{tail}^{re} = \frac{T_{block}}{s^*} \cdot \Big(1 - \frac{r \cdot s^*}{C}\Big)
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$$</div>
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<p>当 $r \cdot s^* = C$（完美重切）时 $\Delta T_{tail}^{re} = 0$——尾波完全消除。</p>
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<hr>
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<h3>5.4 核间切分维度选择（按共享代价从低到高）</h3>
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<p>切 B（零共享，先试）→ 切 M（右矩阵 $KN\cdot\text{dtype} \le L2$ 则驻留 L2）→ 切 N（对称）→ 混合切（靠 swizzle + L2 切分管理）→ 降核（见 Step 8）。</p>
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<h3>5.5 swizzle——ASW 滑窗蛇形</h3>
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<p><b>问题</b>：核间切 M/N 后，同一时刻 C 个核各算一个输出块，它们所需的 A 行块与 B 列块集合就是当前"活跃工作集"。若按行优先顺序朴素分配，一波 C 个块横跨的 A 行、B 列很宽，活跃工作集超过 L2 就回 GM 读（1.6TB/s），重复读代价真实发生。<b>swizzle 要做的就是编排输出块的执行顺序，把每一波核的活跃工作集压到最小。</b></p>
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<p><b>做法</b>：把 M 向每 W 个基本块划为一个"窗口"，遍历顺序为"窗口内先扫 M、扫满 W 行再进下一列 N；一个窗口扫完再进下一个窗口"，且奇数窗口行 N 向反向（蛇形）。效果有二：</p>
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<ul class="tight">
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<li>同一波 C 个核的块集中在同一个窗口内 ⇒ 活跃 A 行块只有 W 个、活跃 B 列块只有 C/W 条带；</li>
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<li>蛇形反向使相邻窗口行首尾相接——上一窗口末尾的 B 列带与下一窗口开头的 B 列带是同一条，跨窗口切换时工作集增量最小。</li>
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</ul>
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<p><b>W 怎么取</b>：一波 C 个块的 L2 足迹约为</p>
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<div class="math">$$
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footprint \approx \big(W \cdot M^t K + \tfrac{C}{W} \cdot K N^t\big) \cdot \text{dtype}
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$$</div>
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<p>由均值不等式，$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处取最小——窗口越接近"方形"（W 行 × C/W 列），足迹越小。同时 W 须整除 C，保证每个窗口恰好被整数波核覆盖、窗口边界不把波次切碎。合起来即：</p>
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<div class="math">$$
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W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\,\}
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$$</div>
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<p>C=32 时 $\sqrt{32} \approx 5.66$，因子 {1,2,4,8,…} 中不超过它的最大者是 4，故 W=4。</p>
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<p><b>实例</b>（C=32，W=4，M̃=8，Ñ=8；数字为块的全局执行顺序，一波 32 块）：</p>
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<pre><code>窗口0（N 正向） 窗口1（N 蛇形反向）
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ν0 ν1 ν2 … ν7 ν0 ν1 … ν7
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μ0 0 4 8 … 28 μ4 60 56 … 32
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μ1 1 5 9 … 29 μ5 61 57 … 33
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μ2 2 6 10 … 30 μ6 62 58 … 34
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μ3 3 7 11 … 31 μ7 63 59 … 35</code></pre>
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<p>块 31 = (μ3, ν7)，块 32 = (μ4, ν7)——相邻两个块共用同一条 B 列带（ν7），窗口切换几乎零增量。对比朴素行优先（Ñ=16 时）：一波横跨 2 个 A 行块 + 16 条 B 列带，足迹 (2·M^t + 16·N^t)·K·dtype；滑窗为 (4·M^t + 8·N^t)·K·dtype——M^t≈N^t 时足迹缩小 1/3。</p>
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<p><b>窗内为什么不蛇形</b>（对上例中"块 3=(μ3,ν0) → 块 4=(μ0,ν1) 而非 (μ3,ν1)"的说明）：蛇形的收益来自"相邻遍历段共享边界数据"，要分两种边界看：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>窗内列间边界</b>（ν0→ν1）：相邻两段共享的是同一组 A 行块（W 个），它们在整个窗口期间<b>全程驻留 L2</b>，无论按什么顺序扫，工作集不变——窗内蛇形零收益；</li>
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<li><b>窗口行边界</b>（窗口0→窗口1）：A 行整体换血（μ0..3 → μ4..7），此时 B 列带的连续性决定换血成本——不蛇形则下一窗口从 ν0 开始（LRU 上最久未用、早已被挤出 L2 的冷带），蛇形则延续上一窗口末尾的 ν7（最热线带）。<b>蛇形只标在窗口行号上</b>（源码 <code>BatchMatMulAswBlock::UpdateBasicIndex</code>：仅 <code>rowIdx</code> 为奇时 n 反向，窗内 m 最快序不反向），正是这个收益结构的直接实现。</li>
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</ul>
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<h3>5.6 L2 分组（工作集超 L2 时）</h3>
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<p><b>切的是什么</b>：将 mCnt×nCnt 个基本块划分为若干<b>执行组</b>——每组覆盖输出平面上一个连续矩形区域（若干 singleCoreM × singleCoreN 基本块的集合），使该组所需的 A 行带 + B 列带输入工作集 ≤ L2 可用读入空间；组内所有基本块算完再进下一组，输入只在跨组时换一次。</p>
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<p><b>为什么需要它</b>：滑窗压缩的只是"同一波"的足迹；若整个工作集超 128MB L2，跨波次复用落空——上一波窗口的 A 行早被挤出，下一波又得回 GM 读。且 L2 是<b>读写共用</b>的：输出经 fixpipe 写出时若驻留 L2（dirty），会压缩读入可用空间；若直写 GM，则占用与读共享的 1.6TB/s 总线。所以 L2 切分必须与写出策略联合决策。记输入总量 $S_{in} = B(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，输出总量 $S_{out} = B \cdot MN \cdot outB$。</p>
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<p><b>两个不变量</b>（一切分析的起点）：</p>
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<ul class="tight">
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<li>GM 流量下界 $= S_{in} + S_{out}$：输入至少读一遍、输出最终至少要写一遍到 GM，与 L2 策略无关；</li>
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<li>L2 读入可用空间：$L2_{read} = L2 - S_{out}^{resident}$（$S_{out}^{resident}$ 为驻留 L2 的输出量）——写出驻留 L2 会压缩读入空间，这是写出策略影响读入复用的通道。</li>
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</ul>
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<p><b>重复读倍率</b>：$r_{in}$ = GM 输入流量 / $S_{in}$。$r_{in} = 1$ 表示每个输入数据从 GM 只读一遍（后续复用全在 L2 命中）——这是 GM 输入流量的下界，L2 管理的全部目标就是让 $r_{in}$ 尽量接近 1。</p>
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<p><b>先判定写出会不会 Bound</b>。平均写出带宽需求：</p>
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<div class="math">$$
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BW_{out} = \frac{S_{out}}{T_{MMAD}} = \frac{B \cdot MN \cdot outB}{2BMNK\,/\,(C \cdot Q_{16})} = \frac{C \cdot Q_{16} \cdot outB}{2K}
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$$</div>
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<p>只与 K、outB 有关（K 越小，单位时间输出越密）。例（BF16 输出，C·Q₁₆=432 TFLOPS）：K=512 → 844 GB/s；K=256 → 1.69 TB/s，已超 GM 总线——此时<b>任何策略都写出 Bound</b>，L2 缓冲只能削峰（fixpipe 以 5.2TB/s 写 L2 吸收突发），平均速率仍受总线限制，应预期 Fixpipe 成为 $T_{total}$ 的 max 项。</p>
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<p><b>分场景决策</b>：</p>
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<p>**场景 A：$S_{in} + S_{out} \le L2$（全驻留）**。输入读一遍（$r_{in}=1$），输出驻留 L2（dirty）异步回写 GM——写出走 5.2TB/s L2 写口，不与读争，也削平了 GM 写突发。无需切分。</p>
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<p>**场景 B：$S_{in} \le L2$ 但 $S_{in} + S_{out} > L2$（输入能驻留，加上输出超了）<b>。策略：</b>输入驻留、输出直写 GM**。理由链：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$S_{in} \le L2$ ⇒ 全部输入可驻留 L2，跨波次复用全部命中 ⇒ $r_{in} = 1$（GM 输入流量达到下界 $S_{in}$）；</li>
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<li>输出在本算子内只写不读、零复用收益；若输出也驻留 L2（dirty），超出 L2 的部分会把输入挤出——被挤出的输入后续得回 GM 重读 ⇒ $r_{in} > 1$，GM 流量超出下界；</li>
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<li>故让输出直写 GM（fixpipe L0C→GM，不占 L2），把 128MB 全部留给输入，保住 $r_{in} = 1$——GM 总流量保持下界 $S_{in} + S_{out}$；</li>
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<li>代价是输出即刻占用 GM 写带宽（与读共享总线），须校验总线不爆：$(S_{in} + S_{out})/T_{MMAD} \le W_{GM}$。</li>
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</ol>
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<p>例：B=8、M=N=4096、K=512、BF16——$S_{in}$≈67MB ≤ L2，$S_{out}$≈268MB 直写 GM；T_MMAD≈318µs，总流量速率 (67+268)MB/318µs ≈ 1.05TB/s < 1.6TB/s ✓。</p>
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<p>**场景 C：$S_{in} > L2$（输入本身超）<b>。需要分组执行——把 mCnt×nCnt 个基本块划分为若干</b>执行组**，每组内所有基本块的输入工作集不超过 L2 可用空间。输出直写 GM（不占 L2 读入空间）。</p>
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<p><b>L2 的软件可控手段</b>：L2 是 Cache 而非 Buffer，软件无法精确控制"哪些数据在 L2 里"。可用的控制手段：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>Cache Hint</b>（<code>SetL2CacheHint</code>）：标记输入为 allocate（读入 L2）或 non-allocate（直读 GM 不过 L2）；标记输出为 non-allocate（直写 GM 不占 L2）；</li>
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<li><b>CMO</b>（Cache Maintenance Operation）：Prefetch/Writeback/Invalidate，在关键节点主动管理 L2 内容；</li>
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<li><b>执行顺序</b>（swizzle）：通过编排基本块的执行顺序，控制同一时刻的活跃工作集——<b>这是最主要的 L2 管理手段</b>。</li>
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</ul>
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<p><b>执行组的划分</b>：</p>
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<p>*问题*：mCnt×nCnt 个基本块（每块输出 singleCoreM×singleCoreN），按什么粒度分组，使每组的输入工作集 ≤ L2？</p>
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<p>*每组输入工作集*：一组覆盖 M 向 $m_{grp}$ 个基本块、N 向 $n_{grp}$ 个基本块，即覆盖输出区域 $[m_{grp} \cdot \text{singleCoreM},\; n_{grp} \cdot \text{singleCoreN}]$。该区域需要读入的输入：</p>
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<div class="math">$$
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WS_{grp} = B \cdot K \cdot \big(m_{grp} \cdot \text{singleCoreM} + n_{grp} \cdot \text{singleCoreN}\big) \cdot \text{dtype} \;\le\; L2
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$$</div>
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<p>*目标*：最小化组数（组数越少，输入从 GM 的重复读次数越少）。每行 A 被 $n_{grp}$ 个组各读一次，每列 B 被 $m_{grp}$ 个组各读一次：</p>
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<div class="math">$$
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r_{in} = \frac{n_{grp} \cdot M + m_{grp} \cdot N}{M + N}
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$$</div>
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<p>*求解*：约束 $m_{grp} \cdot \text{singleCoreM} + n_{grp} \cdot \text{singleCoreN} \le D$（其中 $D = L2/(B \cdot K \cdot \text{dtype})$），最小化 $n_{grp} \cdot M + m_{grp} \cdot N$。最优在组内 M/N 向基本块数与输出平面形状成正比时取到：</p>
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<div class="math">$$
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m_{grp} = \Big\lfloor \frac{D}{2 \cdot \text{singleCoreM}} \Big\rfloor,\qquad n_{grp} = \Big\lfloor \frac{D}{2 \cdot \text{singleCoreN}} \Big\rfloor
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$$</div>
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<p>总组数 $= \lceil mCnt/m_{grp} \rceil \times \lceil nCnt/n_{grp} \rceil$。</p>
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<p><b>组内 swizzle</b>：每组内部按 ASW 滑窗蛇形执行（窗口 $W = \max\{d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$，C=32 时 W=4），保证同一波 C 个核的活跃工作集最小。组间切换时输入整体换入——上一组的 A 行带和 B 列带全部失效，从 GM 重新读入下一组的数据。</p>
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<p>*例*（B=64、M=N=2048、K=1024、BF16、singleCoreM=singleCoreN=256）：$S_{in} = 64 \times (2048 \times 1024 + 1024 \times 2048) \times 2 = 537\text{MB} > 128\text{MB}$。$D = 128\text{MB}/(64 \times 1024 \times 2\text{B}) = 1024$ 元素。$m_{grp} = \lfloor 1024/(2 \times 256) \rfloor = 2$，$n_{grp} = 2$。每组覆盖 $[512, 512]$ 的输出区域，工作集 $= 64 \times 1024 \times (512+512) \times 2 = 128\text{MB} = L2$，恰好装满。总组数 $= (2048/256/2)^2 = 16$。$r_{in} = (2 \times 2048 + 2 \times 2048)/(2048+2048) = 2$——每行 A 被读 2 次，每列 B 被读 2 次。</p>
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<p>块内分配用<b>错位分核</b>（对角线分配）：线性块号先取 m，n 方向叠加随块号递增的相位偏移，使同一时刻各核落在 M×N 平面的不同对角线上——避免多核同一拍并发读同一行 A / 同一列 B 的同一地址（同地址并发读会串行化，等效带宽打折）。例（8 核、4×4=16 个基本块，k0~k7 为核号）：</p>
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<pre><code>行优先（不错位）： 错位分核（对角线）：
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n0 n1 n2 n3 n0 n1 n2 n3
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m0 k0 k1 k2 k3 m0 k0 k4 . .
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m1 k4 k5 k6 k7 m1 . k1 k5 .
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m2 . . . . m2 . . k2 k6
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m3 . . . . m3 k7 . . k3
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同一波：A 行带 m0 被 k0~k3 同读 同一波：每行带、每列带
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（4 路同地址冲突） 最多 2 核同读（冲突 4→2）</code></pre>
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<p>冲突度量与优选规则：</p>
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<div class="math">$$
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transConflict = \max\big(\lceil C / mCnt \rceil,\; \lceil C / nCnt \rceil\big) \le 6
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$$</div>
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<p>即同一时刻并发核访问同一 A/B 块的最大冲突数不超过阈值（经验值 6）；切分方案中优先选尾波不满载占比小（拖尾 < 一半）的。遍历大方向由 calOrder 决定（0=M 优先、1=N 优先），按形状选共享矩阵更能驻留 L2 的方向。</p>
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<p>补充：若输出会被后续算子立即消费（融合场景），输出驻留 L2 让下游读命中，场景 B/C 的策略反过来；本文按单算子边界分析。</p>
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<h3>5.7 核内 tiling（BaseM/BaseN/BaseK——L0 级 tile，受 L0 容量直接约束）</h3>
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<p>$\text{BaseM} \times \text{BaseN} \times 4\text{B} \times DB \le L0C$；$\text{BaseM} \times k_{L0} \times \text{dtype} \times 2 \le L0A$、$k_{L0} \times \text{BaseN} \times \text{dtype} \times 2 \le L0B$；内轴按 dValue 256B/512B 对齐。SingleCoreM/N 内部按 BaseM/BaseN 进一步切分为 L0 tile 逐个计算。L1 按容量开双缓冲，余量充足开 4 buffer。</p>
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<h3>5.8 内部特化（参数极限，不是独立分支）</h3>
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<p>单边无 batch 且该侧矩阵小（$M \le 256$、$MK\cdot\text{dtype}\cdot 2 \le L1$、对侧每核循环 ≥4 轮）时小侧整个常驻 L1、只搬一次（L1 全载）。</p>
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<h3>5.9 降核模式实现</h3>
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<p>tiling 时 <code>usedCoreNum = ⌈P⌉</code>（不强制 C），SingleCoreM/N 在 L0C 容量内取最大（$\text{singleCoreM} \times \text{singleCoreN} \times 4\text{B} \le L0C$），每核按标准核内流水（L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe）处理自己的输出块；核间无共享无依赖，无需 swizzle 与 L2 切分。降核后 GM 并发搬移核数若 < minCoreNum，带宽利用率上限被压低——这正是降核区 case 时延的瓶颈所在，也是"时延绝对值小、不再继续优化"的定量注脚。</p>
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<hr>
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<h2>六、与源码实现的对比</h2>
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<p>源码参考 [cann-ops-nn](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)（DAV_3510/arch35）。以下按实现方案的 Step 0-8 逐维度对比。</p>
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<h3>6.1 进入条件（IsCapable）</h3>
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<p><b>源码</b>（<code>batch_matmul_v3_asw_basic_tiling.cpp</code> IsCapable）：</p>
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<pre><code>// 源码：https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3
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1. A/B 非连续转置状态一致（混合则拒绝）
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2. BatchA == BatchB（广播由 ITER_BATCH_BROADCAST 承接）
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3. batchBias <= 1
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4. dtype 限 FP16/BF16
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// 无其他条件——兜底</code></pre>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th><th>差异</th></tr>
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<tr><td>并行度校验</td><td>$P = B \cdot MN \cdot 4B / L0C \ge C$</td><td><b>无</b></td><td>源码不检查 P，靠优先级序靠前分支截胡</td></tr>
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<tr><td>降核模式</td><td>$P < C$ → usedCoreNum = ⌈P⌉</td><td><b>无</b></td><td>GetNumBlocks() 固定返回 32 核</td></tr>
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<tr><td>batch 结构</td><td>无限制</td><td>BatchA == BatchB</td><td>源码排除广播（由分支 4 承接）</td></tr></table>
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<p><b>影响</b>：源码缺少降核分支。P < C 的 case 进入 ASW_Basic 后，所有 32 核仍参与调度，但部分核无实际工作——引入不必要的调度开销。理论上这些 case 应走降核模式（usedCoreNum = ⌈P⌉）。</p>
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<h3>6.2 BaseM / BaseN 确定（§5.1）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>目标</td><td>BaseM × BaseN = L0C/(2×4B) = 32768，先把 L0C 用满</td><td>baseM=256, baseN=256（硬编码 "256 is better base"）</td></tr>
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<tr><td>长宽比</td><td>跟随 M/N</td><td>由 cubeBound 模型寻优</td></tr>
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<tr><td>baseK</td><td>min(L0A/2·BaseM, L0B/2·BaseN)，无 dValue 要求</td><td>baseK = 128B/dtype（最小高效粒度）</td></tr></table>
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<p><b>源码的 cubeBound 模型</b>（<code>GetRebalanceBlock</code>，<code>matmul_v3_tiling_helper.cpp</code> L387-492）：</p>
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<div class="math">$$
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cubeBoundEdge = \frac{l2BW}{computePower} + l2CacheUsage \cdot \Big(1 - \frac{l2BW}{hbmBW}\Big) \cdot cmr - \frac{1 + l2BW/hbmBW}{kValue}
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$$</div>
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<p>三项含义：① L2 供数速率 ÷ Cube 耗数速率（理论阈值）；② 工作集超 L2 时的访存惩罚（抬高 edge，倾向更大 tile）；③ K 向复用修正（K 越大 edge 越小，偏 compute bound）。乘以 CUBE_BOUND_RATIO=0.85 余量。枚举 baseM/baseN 递减，balanceRate ≥ 0.9 剪枝。</p>
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<p><b>差异分析</b>：理论（修正前）按双缓冲取 L0C 满载的一半（32768 元素），源码用 256×256=65536 元素——<b>源码的 baseM×baseN 恰好等于 L0C 单缓冲上限</b>（256×256×4B = 256KB = L0C）。源码的 dbL0C 逻辑：<code>dbL0C = (baseM × baseN × 4B × 2 > L0C) ? 1 : 2</code>——baseM=baseN=256 时 512KB > 256KB，自动选 dbL0C=1（单缓冲）。</p>
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<p>这说明源码的 baseM/baseN 不是 L0 级 tile 尺寸，而是 SingleCoreM/N 级参数。源码中 L0 级 tile 由 stepM/stepN 二次切分决定（per-core tile = baseM × stepM）。理论的分层（SingleCoreM ≥ BaseM）在源码中无显式概念。</p>
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<p><b>UnitFlag 现状</b>：BMM ASW kernel 中 <code>unitFlag = 0</code>（<code>block_mmad_iterbatch.h</code> L315 注释："each l0 only process one block, disable unit flag"）——MMAD 与 Fixpipe 之间是<b>指令级同步</b>（整个 L0C tile 算完才写出）。若启用 UnitFlag，MMAD 每完成一个 16×16×16 块（512B），Fixpipe 立即写出——tile 内部细粒度流水替代 tile 间粗粒度流水，单缓冲即可达到双缓冲的流水效果。对计算 Bound 的 case，UnitFlag 可将单 tile 时延从 $T_{comp} + T_{write}$ 降至 $\max(T_{comp}, T_{write})$。</p>
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<h3>6.3 SingleCoreM / SingleCoreN 确定（§5.2）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>概念</td><td>独立于 L0，由 GM→L1 效率 + L2 复用决定</td><td>无显式概念，per-core tile = baseM × stepM</td></tr>
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<tr><td>约束</td><td>并行度 + L1 容量 + 搬移效率 + BaseM 整数倍</td><td>cubeBound 模型 + balanceRate ≥ 0.9</td></tr>
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<tr><td>选取策略</td><td>尽量大（搬移效率最大化）</td><td>枚举寻优（cubeBound + 尾块感知）</td></tr></table>
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<p><b>关键差异</b>：理论把 SingleCoreM/N 和 BaseM/N 分为两层（SingleCoreM ≥ BaseM），源码中 baseM=256 实际上已经是 SingleCoreM 级参数。理论的分层更清晰，源码更保守但经实测调优。</p>
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<h3>6.4 核间分配（§5.3）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>分配策略</td><td>B→M→N 线性映射</td><td>一致（<code>index = blockIdx + round × usedCoreNum</code>）</td></tr>
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<tr><td>B 优先分组</td><td>证明不优</td><td>源码确实采用线性映射</td></tr>
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<tr><td>尾轮</td><td>不重新切分</td><td>一致（balanceRate ≥ 0.9 剪枝）</td></tr></table>
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<p><b>结论</b>：核间分配策略与理论一致。源码的 <code>UpdateBasicIndex</code>（<code>batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h</code>）实现了 B→M→N 线性映射 + 划窗蛇形。</p>
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<h3>6.5 Swizzle（§5.5）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>窗口大小</td><td>$W = \max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$</td><td><code>GetAswWindowLen</code>：逻辑一致</td></tr>
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<tr><td>蛇形</td><td>窗口行间 N 向反向，窗内不蛇形</td><td>一致（<code>rowIdx % 2 != 0</code> 时 n 反向）</td></tr>
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<tr><td>尾窗</td><td>未提及</td><td>有 tailWindow 分支处理 mCnt 不整除窗长</td></tr></table>
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<p><b>结论</b>：swizzle 实现与理论一致。源码的窗长公式与理论 $W = \max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$ 完全相同。但源码对细长 shape（mCnt 小或 nCnt≫mCnt）的方形窗假设不成立时，退化为行优先（<code>mainWindow = min(aswWindowLen, mCnt)</code>），未按 shape 长宽比自适应窗形。</p>
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<h3>6.6 L2 管理（§5.6）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>启用条件</td><td>$S_{in} > L2$ 时分组</td><td>isBigSize(>100MB) && cBatchDimAll < usedCoreNum && transConflict ≤ 6</td></tr>
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<tr><td>冲突度量</td><td>transConflict ≤ 6</td><td>一致</td></tr>
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<tr><td>写出策略</td><td>$S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$ 时输出直写 GM</td><td>仅 enableL2Cache flag + SetL2CacheHint，无显式输出 non-allocate 决策链</td></tr>
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<tr><td>尾波控制</td><td>优先选尾波不满载占比小的方案</td><td>TAIL_CONFLICT_RATIO = 0.5</td></tr></table>
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<p><b>差异分析</b>：源码有两个额外限制：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>100MB 阈值</b>：小于 100MB 的 case 不启用 L2 cache 管理——理论上 $S_{in} \le L2 = 128$ MB 时不需要分组，100MB < 128MB 留有余量，合理但是经验值；</li>
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<li><b>cBatchDimAll < usedCoreNum</b>：batch 数小于核数时才启用——B ≥ C 时不做 L2 分块（由 ASW 承接时不分）。</li>
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</ol>
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<p>源码中理论要求的"输出直写 GM vs 驻留 L2"的写出策略联合决策（场景 B：$S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$）未见显式实现。</p>
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<h3>6.7 AL1 全载特化（§5.8）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>条件</td><td>M ≤ 256，batchA=1，A 驻留 L1，每核 ≥4 轮</td><td>一致（IsCapable L31-72）</td></tr>
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<tr><td>A 搬移</td><td>GM→L1 一次搬入</td><td>一致（Nd2Nz DataCopy 一次搬入）</td></tr>
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<tr><td>B 搬移</td><td>每基本块一次</td><td>一致</td></tr></table>
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<p><b>结论</b>：AL1 全载是理论与源码<b>最吻合的分支</b>。源码注释有笔误（"m should be larger than 256" 实为 ≤256），需注意。</p>
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<h3>6.8 尾轮处理（§5.3）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>尾轮重切</td><td>不重切（收益有限、工程代价真实）</td><td>一致（balanceRate ≥ 0.9 剪枝）</td></tr>
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<tr><td>尾轮量化</td><td>$\Delta T_{tail}/T_{total} \approx (1-r/C)/n_{wave}$</td><td><code>GetBalanceRateWithTail</code>（L223-246）</td></tr></table>
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<p><b>结论</b>：尾轮处理策略一致。源码通过选择使尾波占比尽量小的 mCnt/nCnt 组合来优化，而非重新切分尾轮。</p>
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<h3>6.9 降核模式（§5.9）</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>理论</th><th>源码</th></tr>
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<tr><td>实现</td><td>usedCoreNum = ⌈P⌉，其余核闲置</td><td><b>未实现</b>——GetNumBlocks() 固定返回 32</td></tr></table>
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<p><b>影响</b>：P < C 的 case（小 M/N、小 B）进入 ASW_Basic 后，所有 32 核参与调度但部分核无实际工作。理论上应只调度 ⌈P⌉ 核。这类 case 的时延绝对值小，但多余核的调度开销（tiling 计算、kernel 启动、上下文切换）是真实存在的。</p>
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<h3>6.10 综合评价</h3>
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<table><tr><th>维度</th><th>评价</th></tr>
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<tr><td>核间分配 + swizzle</td><td>✓ 与理论一致</td></tr>
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<tr><td>AL1 全载特化</td><td>✓ 与理论最吻合</td></tr>
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<tr><td>尾轮处理</td><td>✓ 一致（不重切，选小尾波组合）</td></tr>
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<tr><td>BaseM/BaseN 分层</td><td>⚠️ 源码无显式 SingleCore/Base 分层，baseM=256 实为 SingleCore 级</td></tr>
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<tr><td>L2 管理</td><td>⚠️ 比理论保守（100MB 阈值 + batch 数限制），缺输出写出策略联合决策</td></tr>
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<tr><td>降核模式</td><td>✗ 未实现</td></tr>
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<tr><td>经验常数</td><td>⚠️ CUBE_BOUND_RATIO=0.85、balanceRate=0.9、transConflict=6、TAIL_CONFLICT_RATIO=0.5 等无官方文档推导，边界 case 值得实测复核</td></tr></table>
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<p><b>总体判断</b>：源码的 ASW_Basic 实现在核间分配、swizzle、AL1 全载上与理论高度一致，是经实测调优的工程实现。理论分析的价值在于：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>补齐降核模式</b>——P < C 时 usedCoreNum = ⌈P⌉，避免无效核调度；</li>
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<li><b>显式分层</b>——SingleCoreM/N 与 BaseM/N 分开，约束链更清晰；</li>
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<li><b>写出策略联合决策</b>——$S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$ 时输出直写 GM 的显式判断；</li>
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<li><b>经验常数的理论依据</b>——cubeBound 模型的三项分解（L2 供数/溢出惩罚/K 向复用）可以从第一性原理推导。</li>
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</ol>
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<hr>
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||||
<h2>参考文献</h2>
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<ol class="tight">
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||||
<li>[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)，华为技术有限公司，2026</li>
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||||
<li>[cann-ops-nn 源码仓](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)</li>
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</ol>
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</div>
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</body>
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</html>
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