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<title>BMM 算子优化分析 v0.6 — 昇腾 950PR</title>
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<div class="page">
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<h1>BMM 算子优化分析（v0.6）</h1>
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<blockquote>基于 issue#3 扩展。目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。所有分支进入条件只含 case 形状参数（B、M、N、K、dtype）与芯片规格参数。</blockquote>
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<h2>一、算子功能与接口说明</h2>
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<p>完成带 batch 的矩阵乘：<code>C = A @ B + bias</code>。</p>
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<ul class="tight">
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<li>左矩阵 A：<code>[BatchA, M, K]</code>，dtype，典型 ND，可带转置</li>
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<li>右矩阵 B：<code>[BatchB, K, N]</code>，dtype，典型 ND，可带转置</li>
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<li>偏置 bias：<code>[B, 1, N]</code>，固定 ND，可为空</li>
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<li>输出 C：<code>[BatchC, M, N]</code>，BatchC = broadcast(BatchA, BatchB)</li>
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</ul>
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<hr>
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<h2>二、符号与芯片参数约定</h2>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>950PR 取值</th></tr>
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<tr><td>C</td><td>AIC 核数（aicNum）</td><td>32</td></tr>
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<tr><td>L1</td><td>每核 L1 Buffer</td><td>512KB</td></tr>
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<tr><td>L0A / L0B</td><td>每核 L0A / L0B</td><td>64KB / 64KB</td></tr>
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<tr><td>L0C</td><td>每核 L0C（FP32 累加，4B/元素）</td><td>256KB</td></tr>
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<tr><td>L2</td><td>L2 Cache 容量 / 带宽</td><td>128MB / 5.2TB/s</td></tr>
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<tr><td>W_GM</td><td>GM 带宽（读写共享）</td><td>1.6TB/s</td></tr>
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<tr><td>R₁₆</td><td>16bit 对应位宽算存比</td><td>≈607.5 FLOP/元素</td></tr>
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<tr><td>dValue</td><td>单数据块内数据连续排布长度</td><td>推荐 256B/512B，不建议 <128B</td></tr>
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<tr><td>min_TileSize</td><td>确保高带宽利用率的单块搬移数据量最小值</td><td>16KB</td></tr>
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<tr><td>min_DatamountPerCore</td><td>确保高带宽利用率的单核搬移数据量最小值</td><td>480KB</td></tr>
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<tr><td>minCoreNum</td><td>确保高带宽利用率的并行搬移核数最小值</td><td>≈0.8C = 26</td></tr></table>
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<p>以上数值基于 950PR 实测分析总结；对搬移带宽利用率的影响重要性排序为：<b>核数 > 单核搬移总数据量 > 单分块大小 > dValue</b>。不同 NPU 芯片数值可能略有差异，换芯片时逻辑结构不变、只换常数表。</p>
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<hr>
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<h2>三、最优实现分析</h2>
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<h3>3.1 性能模型</h3>
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<p>BMM 的执行是核内多级硬件流水的并行——Cube 计算（MMAD）、GM/L2→L1（MTE2）、L1→L0（MTE1）、L0C 写出（Fixpipe），各流水级时延可被双缓冲相互掩盖：</p>
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<div class="math">$$
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T_{total} = \max\big(T_{MMAD},\; T_{MTE2},\; T_{MTE1},\; T_{Fixpipe}\;[,\;T_{Reduce}]\big)
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$$</div>
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<p><b>总时延 = 最慢一级流水</b>，优化的关键是对瓶颈级的优化。由此得到设计自由度——<b>瓶颈交换</b>：搬移是瓶颈时可牺牲算力（冗余计算）换搬移效率；计算是瓶颈时可牺牲搬移（重复读取）换计算效率。MergeBatch 是前者的典型，ASW_Basic 切 M/N 是后者的典型。</p>
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<p>case 固有算存比与 16bit 位宽平衡点：</p>
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<div class="math">$$
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AI = \frac{2MN}{M+N},\qquad AI_{full} = \frac{2MNK}{MK+KN+MN},\qquad R_{16} = \frac{486 \times 2}{1.6} \approx 607.5
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$$</div>
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<p>$AI < R_{16}$ → 访存 Bound（瓶颈在 MTE2）；反之计算 Bound（瓶颈在 MMAD）。</p>
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<h3>3.2 实现本质逻辑</h3>
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<p>BMM 的实现本质是：把数据分块（tile），由全部 AIC 核并行 + 串行完成这些分块的计算，再组合成最终结果：</p>
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<div class="math">$$
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C[B,M,N] = \Big\{\,C[B_u, M_i, N_j] = \sum_k A[B_u, M_i, K_k] \cdot B[B_u, K_k, N_j]\,\Big\}
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$$</div>
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<p>分块有 4 个维度：B、M、N、K。<b>核间怎么分这 4 个维度，就是分支划分的第一性问题</b>（核内分块是第二性问题，属于各分支内部 tiling）。</p>
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<p>四个维度的核间切分特征（后续一切推导的基石）：</p>
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<table><tr><th>切分维度</th><th>读入特征</th><th>计算特征</th><th>写出特征</th></tr>
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<tr><td>切 B</td><td>核间零重复读（每个数据块只被 1 个核读取）；<b>核内是否重复读另有条件</b>——若 L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维可切段放入，kL1<K），单 batch 计算中切 M 会重复读 B、切 N 会重复读 A</td><td>每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖</td><td>只写最终结果，无中间结果</td></tr>
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<tr><td>切 M / 切 N</td><td>切 M 则同一右矩阵块被多核<b>重复读</b>；切 N 则同一左矩阵块被多核重复读</td><td>每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖</td><td>只写最终结果，无中间结果</td></tr>
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<tr><td>切 K</td><td>每个数据块只被固定的 1 个核读取，零重复读</td><td>每个输出块由<b>多核共同</b>完成，存在核间依赖</td><td><b>有中间结果写出，需核间 Reduce 归约</b></td></tr></table>
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<p>差异的根本原因：B 维在数学上独立（逐 batch 独立矩阵乘），切 B 核间天然零重复、零依赖；K 维有 L0C 累加机制——核内切 K 时多轮 mmad 在 L0C 原地累加、中间结果不出核，一旦切到核间，部分和必须写出 workspace 再归约——<b>切 K 是唯一同时破坏"累加不出核"和"输出独占"的切法</b>。</p>
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<p>4 维的任意非空子集共 $2^4-1=15$ 种切分组合，任何实现方案必属其一（完备）：</p>
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<table><tr><th>组</th><th>组合</th><th>共同特征</th><th>优化重心</th></tr>
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<tr><td>纯 B</td><td>{B}</td><td>核间零重复读（核内重复读取决于 L1 驻留形态）；无中间写出</td><td>搬移效率 / 计算效率</td></tr>
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<tr><td>含 M/N 不含 K</td><td>{M},{N},{M,N},{B,M},{B,N},{B,M,N}</td><td>核间可能有重复读</td><td>重复读尽量少（L2+swizzle 吸收）+ 搬移/计算效率</td></tr>
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<tr><td>含 K</td><td>其余 8 种</td><td>有中间结果写出 + 归约</td><td>计算效率，且归约时延不能成为新瓶颈</td></tr></table>
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<p>核间切分价格严格排序：cost(切 B) = 0 < cost(切 M/N) ≪ cost(切 K)。切 B 核间免费；切 M/N 的重复读可被 128MB L2（5.2TB/s vs GM 1.6TB/s）+ swizzle 大部分吸收；切 K 的归约流量 ∝ grid_K×输出量且引入核间同步，是结构性代价。<b>整条分支决策树就是：按价格从低到高购买并行度，买不够才加价。</b></p>
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<h3>3.3 分支推导</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>问题规约</b>：BatchA=1 或 BatchB=1 → 折叠转普通 Matmul（转Matmul）；K=0 / K=1 → Cube 无用，走 AIV 向量通路（特殊分支，与切分正交的前置判断）；</li>
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<li><b>先买免费的 B</b>：B ≥ C 时切 B 可满核。单 batch M×N 够大 → 逐 batch 算（IterBatch）；M×N 太小 → 多 batch 合并成大 tile 算，冗余算力换搬移效率（MergeBatch）；</li>
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<li><b>B 买不满，加价买 M/N</b>：切 M/N 或混合切，重复读交给 L2 + swizzle（ASW_Basic）；</li>
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<li><b>B/M/N 都买不满，才买昂贵的 K</b>：核间切 K + 归约（StreamK）。</li>
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</ol>
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<p>由此得 6 大分支：<b>转Matmul、特殊分支、IterBatch、MergeBatch、ASW_Basic、StreamK</b>。重叠区（如 B≥C 且 M×N 中等时 MergeBatch 与 IterBatch 都合法）由端到端时延模型 $T_{total}$ 仲裁；分支体系保证候选集完备无冗余。</p>
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<hr>
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<h2>四、可转 Matmul 分支</h2>
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<h3>进入分支条件</h3>
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<div class="math">$$
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BatchA = 1 \;\lor\; BatchB = 1
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$$</div>
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<p>解释：单边 batch=1 的 BMM 与 Matmul 只差一个维度标签，直接复用 Matmul 的成熟优化体系。</p>
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<h3>实现方案</h3>
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<ul class="tight">
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<li><b>BatchB=1</b>：左矩阵 <code>[B,M,K]</code> 的 batch 维与 M 维在 ND 下内存相邻紧排，直接视图为 <code>[B·M,K]</code>，输出布局逐元素一致——零重排、零 split，免费转换；</li>
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<li><b>BatchA=1</b>：右矩阵折叠为 <code>[K, B·N]</code> 需一次真实转置重排（O(B·K·N)），且输出存在置换需 scatter——有代价。A 较小（$MK\cdot\text{dtype} \le L1$）时优先 A 常驻 L1、留在 BMM 分支内（广播友好形态）；A 较大时按广播扩展后分别预估"BMM 分支"与"重排+转Matmul"的时延，择优。</li>
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</ul>
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<hr>
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<h2>五、MergeBatch 分支</h2>
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<p>核间切 B（每核 $b_{core}$ 个 batch，核间无同步）；核内把 b 个 batch 合并计算：$[b,M,K]@[b,K,N] \Rightarrow [bM,K]@[K,bN]=[bM,bN]$，BlockTrace 取块对角线得 $[b,M,N]$。交叉项被算出但丢弃（浪费比例 (b−1)/b）——进入该分支的 case 必然访存 Bound（条件 5 保证），浪费的算力被搬移时延掩盖。</p>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<p>同时满足（b0 = 单次合并计算的 batch 数下限，b0 ≥ 2）：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = B/C \ge 2b_0$</li>
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<li>$2 \cdot (b_0 M)(b_0 N) \cdot 4\text{B} \le L0C$</li>
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<li>$b_{core} \cdot (MK + KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_DatamountPerCore$</li>
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<li>$\max(MK,\; KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize$</li>
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<li>$\dfrac{2MN}{M+N} < \dfrac{R_{16}}{b_0}$</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>batch 关系与每核份额</b>：无广播才能逐 batch 对应合并；每核至少分到 $2b_0$ 个 batch——$b_0$ 是合并搬移有收益的最小合并数（取 2），2 组起步才能构成合并组间乒乓流水（即 $b_{core} \ge 4$）。</li>
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<li><b>L0C 容量</b>：合并 $b_0$ 个 batch 的输出块 $[b_0M, b_0N]$（FP32 累加、双缓冲两份）必须放得下 L0C；连最小合并都放不下，合并无从谈起。</li>
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<li><b>单核搬移总量</b>：单核搬移数据总量低于 min_DatamountPerCore 时，GM 带宽利用率上不去（重要性第 2 位的经验约束）。</li>
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<li><b>搬移 tile 大小</b>：单 batch 单矩阵的最大连续搬移块须达到 min_TileSize；合并是在此之上进一步放大，不是替代。</li>
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<li><b>访存 Bound</b>：合并把单次计算的算存比放大 $b_0$ 倍后仍须低于 16bit 对应位宽算存比 $R_{16}$，保证瓶颈留在搬移侧，冗余算力被掩盖而非成为新瓶颈。</li>
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</ol>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>Step 1：合并数 b（L0C + 算存比双上限）</b></p>
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<div class="math">$$
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b \le \sqrt{\frac{L0C}{2 \cdot MN \cdot 4\text{B}}},\qquad b < \frac{R_{16}(M+N)}{2MN}
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$$</div>
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<div class="math">$$
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b = \min\big(\text{两上限},\; b_{core}\big),\quad b_{L0} = b
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$$</div>
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<p>b 尽量取 $b_{core}$ 的因子（每次合并数均匀，负载与功耗更优）。</p>
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<p>**Step 2：L0 级 K 粒度 $k_{L0}$**</p>
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<div class="math">$$
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k_{L0} = \min\Big(\frac{L0A}{2\,bM\cdot\text{dtype}},\; \frac{L0B}{2\,bN\cdot\text{dtype}}\Big)\ \text{向下 16 对齐，且 } k_{L0}\cdot\text{dtype} \ge 128\text{B}
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$$</div>
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<p>解释：L0A/L0B 各 64KB、双缓冲两份，装入合并后 $bM$ 行（$bN$ 列）× $k_{L0}$ 的 fractal；末项是 dValue 下限。</p>
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<p>**Step 3：L1 级 $k_{L1}$、$b_{L1}$**</p>
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<div class="math">$$
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k_{L1} \ge \min\big(k_{L0\_max},\; 256\text{B}/\text{dtype}\big),\qquad
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2\,b_{L1}(M k_{L1} + k_{L1} N)\cdot\text{dtype} \le L1,\qquad
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b_{L1} = \min(b_{L1\_max},\; b_{core}) \;\ge\; b
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$$</div>
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<p>解释：$k_{L1}$ 是 GM→L1 的 K 向粒度，按 dValue 推荐值 256B 取；L1 双缓冲两份，每份驻留 $b_{L1}$ 个 batch 的 A/B 各一块；$b_{L1} \ge b$ 保证合并不断供。</p>
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<hr>
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<h2>六、IterBatch 分支</h2>
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<p>核间切 B（每核 $b_{core} \ge 1$ 个 batch，核间无同步）；核内逐个 batch 做标准 Matmul 分块计算。无算力浪费、无跨 batch 依赖，是"切 B"最朴素的形态。</p>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<p>同时满足：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = \lceil B/C \rceil \ge 1$</li>
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<li>$B \bmod C = 0 \;\lor\; B \bmod C \ge minCoreNum$</li>
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<li>L1 容量约束，五选一（Step 为 >1 的整数）：</li>
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<ul class="tight">
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<li>a) $b_{core}=1 \;\land\; (MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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<li>b) $b_{core}>1 \;\land\; 2(MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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<li>c) $b_{core}=1 \;\land\; (MK+\tfrac{KN}{Step})\cdot\text{dtype} \le L1 \;\lor\; (\tfrac{MK}{Step}+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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<li>d) $b_{core}>1 \;\land\; (MK+\tfrac{KN}{Step})\cdot\text{dtype} \le \tfrac{L1}{2} \;\lor\; (\tfrac{MK}{Step}+KN)\cdot\text{dtype} \le \tfrac{L1}{2}$</li>
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<li>e) $(M\cdot\tfrac{K}{Step}+\tfrac{K}{Step}\cdot N)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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</ul>
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<li>c/d/e 切分后：搬移分块 $\ge min\_TileSize \;\land\; dValue \ge 128\text{B}$</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>batch 关系与每核份额</b>：无广播；每核至少 1 个 batch。</li>
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<li><b>负载均衡</b>：切 B 核间零共享零依赖，唯一系统性风险是负载不均。整除时完全均衡；不整除时尾波活跃核数须 ≥ minCoreNum，保证尾波仍有足够核并发搬移（重要性第 1 位的约束是核数）。</li>
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<li><b>L1 容量——核心要求：单 batch 计算不重复读</b>。</li>
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</ol>
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<p> 重复读发生在<b>单 batch 内部</b>：L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维允许切段放入，kL1<K）时，核内切 M 会在 K 循环中重复读 B、切 N 会重复读 A。IterBatch 进入与否不由算存比判定——即使 case 是计算 Bound，重复读引入的额外搬移也可能把它重新拖回访存 Bound。所以进入条件直接由 L1 驻留形态刻画：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>a)</b> 每核 1 batch，左右矩阵同时驻留 L1，零重复读；</li>
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<li><b>b)</b> 每核多 batch，L1 放下 2 个 batch 构成 batch 间乒乓；</li>
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<li><b>c)</b> 单 batch 装不下：一侧完整驻留（只搬一次、零重复读），对侧按 K 切 Step 段流水；</li>
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<li><b>d)</b> 多 batch 时 (c) 的乒乓版：每 batch 只占 L1/2，另一半预取下一 batch 的驻留侧（详见下文流水分析）；</li>
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<li><b>e)</b> 两侧都按 K 切 Step 段，A/B 成段配套搬入，batch 间无缝。</li>
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</ul>
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<ol class="tight">
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<li><b>搬移效率下限</b>：切分把粒度切小，必须守住 min_TileSize 与 dValue，否则切分本身把带宽打崩。</li>
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</ol>
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<h3>batch 间流水掩盖分析（c/d/e 的分工）</h3>
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<p>先明确流水结构：fixpipe 开 unitflag 后，写出由硬件随路完成（每个 16×16×16 fractal 算完即自动搬出），<b>写出侧不需要软件排流水</b>；要掩盖的只有"读入（MTE2: GM→L1）↔ 计算（Cube）"。</p>
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<ul class="tight">
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<li>**(c)（$b_{core}=1$）**：每核只有 1 个 batch，不存在 batch 边界；驻留侧全程复用，对侧 K 段双缓冲，段间无缝。</li>
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<li>**$b_{core}>1$ 直接套 (c) 会断流**：全量 L1 给了当前 batch，到 batch 边界时下一 batch 的驻留侧矩阵（如 A，$MK\cdot\text{dtype}$）必须整体换入，而当前 batch 尾部只剩几个 K 段的计算，掩盖不了整个驻留侧的换入 → 气泡。</li>
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<li><b>(d) 的修正</b>：每 batch 只占 L1/2（驻留侧 + 对侧 K 段都在这一半），另一半在计算当前 batch 期间预取下一 batch 的驻留侧。无气泡条件自然成立：驻留侧换入量 $MK\cdot\text{dtype} \le$ 当前 batch 总搬入量 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，访存 Bound 下计算时间 ≥ 搬入时间，当前 batch 的尾部窗口足够完成预取。上一 batch 做最后一个分块时，下一 batch 的首个 K 段（连同其驻留侧已就绪）即可搬入另一半 L1。</li>
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<li><b>(e) 是兜底</b>：K 段槽位在 batch 间完全同质连续（上一 batch 最后一段计算时搬下一 batch 第一段），天然无缝；当驻留侧单矩阵 > L1/2 时 (d) 不成立，只能走 (e)，代价是两侧都有 K 段级重复读。</li>
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</ul>
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<p>结论：(c)(d) 是同族（一侧驻留 + 对侧切 K），仅 L1 预算不同——$b_{core}=1$ 用全量 L1，$b_{core}>1$ 用 L1/2 换 batch 间乒乓；<b>两者不宜合并</b>（合并会丢失 batch 边界预取这一关键差异），(e) 在驻留侧超 L1/2 时接管。</p>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>(a)</b>：每核 1 batch 直接搬入 L1。L1→L0 先看 L0C 能否放下完整单 batch 输出：</p>
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<pre><code>if (L0C >= M*N*4B): # L0C 放得下完整输出：不切 M/N，只切 K
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BaseM = M; BaseN = N
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BaseK = min(align(L0A/M, 16), align(L0B/N, 16))
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||
else: # L0C 放不下：按较小维切
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if M < N: BaseM = align(M,16); BaseN = floor(L0C/4B / BaseM)
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else: BaseN = align(N,16); BaseM = floor(L0C/4B / BaseN)
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||
BaseK = min(floor_align(L0A/BaseM,16), floor_align(L0B/BaseN,16))</code></pre>
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<p><b>(b)</b>：L1 双 batch 乒乓，核内 GM→L1→L0→Cube→L0C→GM/L2 流水；L1→L0 分块同理，但各级预算减半（L0C/L0A/L0B 按 2 份）。</p>
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<p><b>(c)/(d)</b>：一侧驻留 + 对侧切 K。假设驻留左矩阵，右矩阵搬入的 K 向长度：</p>
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<div class="math">$$
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k_{L1\_b} = \min\Big(\frac{L1_{budget} - MK\cdot\text{dtype}}{N\cdot\text{dtype}},\; K\Big),\qquad L1_{budget} = L1\ (\text{c})\ \text{或}\ L1/2\ (\text{d})
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$$</div>
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<p>(d) 中另一半 L1 在计算期间预取下一 batch 的驻留侧，实现 batch 间无气泡衔接；fixpipe 开 unitflag。</p>
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<p><b>(e)</b>：两侧都切 K 段，$k_{L1}$ 取满足容量与 dValue 的最大值；L0C 按 batch 乒乓（各占 L0C/2），batch 边界由硬件 fixpipe 自动排空、下一 batch 立即在另一半 L0C 累加。</p>
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<hr>
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<h2>七、StreamK 分支</h2>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<ol class="tight">
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<li>$P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} < C$</li>
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<li>$\dfrac{K}{grid_K} \ge \dfrac{256\text{B}}{\text{dtype}}$</li>
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<li>$K \ge grid_K^{\,2} \cdot \theta$，其中 $\theta = \dfrac{2\,\alpha \cdot 4\text{B} \cdot Q_{16}}{W_{eff}} \approx 1.7\times10^{3}$（$\alpha = 10$）</li>
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<li>工程约束：确定性等级 ≤ 1（核间归约顺序不定）；ND 格式</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>并行缺口</b>：P 以"L0C 满载的输出基本块"为粒度估计不切 K 的最大并行度——基本块按 L0C 最大利用率取（$M^t N^t \cdot 4\text{B} = L0C$），免去预先估计 M/N 具体切分。P < C 意味着即使按最大块切，B/M/N 三维也填不满 32 核，唯一剩余的并行维度是 K。</li>
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<li><b>单核 K 段下限</b>：每核 K 段内轴连续长度不小于 dValue 推荐值 256B（BF16 为 128 元素），保证段内搬移效率不崩。</li>
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<li><b>归约代价可接受</b>：每核计算时延与归约时延分别为</li>
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</ol>
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<div class="math">$$
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T_{MMAD/core} = \frac{2MNK}{grid_K \cdot Q_{16}},\qquad
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T_{Reduce} = \frac{2 \cdot grid_K \cdot MN \cdot 4\text{B}}{W_{eff}}
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$$</div>
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<p>其中 $Q_{16}$ = 单核 BF16 算力 ≈ 13.5 TFLOPS；归约流量 = grid_K 份部分和写出 + 读回归约共 2 遍，$W_{eff}$ 取 GM 有效带宽 ≈ 0.4 × 1.6TB/s（归约是多核小块读写，达不到满带宽）。要求 $T_{MMAD/core} \ge \alpha \cdot T_{Reduce}$——安全系数 α=10 的含义是归约新增流水级的占比压到 ~10% 以内、不改变瓶颈归属。代入得：</p>
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<div class="math">$$
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K \ge \alpha \cdot grid_K^2 \cdot \frac{2 \cdot 4\text{B} \cdot Q_{16}}{W_{eff}} = grid_K^2 \cdot \theta,\qquad
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\theta = \frac{10 \times 2 \times 4 \times 13.5}{0.64} \approx 1.7\times10^{3}
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$$</div>
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<p>数值上：grid_K=2 → K≥6.8K；4 → K≥27K；8 → K≥108K；32 → K≥1.7M。<b>对 K 的要求随 grid_K 平方增长——grid 搜索自然淘汰归约过重的配置。</b></p>
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<ol class="tight">
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<li><b>工程约束</b>：归约顺序不定引入浮点非确定性，确定性等级 2/3 的业务禁用。</li>
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</ol>
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<p><b>源码对照</b>：<code>batch_matmul_v3_basic_streamk_tiling.cpp</code> 中 K 的固定门槛为 <code>CeilAlign(K,256) ≥ max(8192, aicNum×256B/dtype)</code>。其含义：<code>aicNum×256B/dtype</code>（2048bit/核）= 全部 AIC 参与切 K 时每核至少分到 256B 的 K 向内轴数据——正是条件 2 的 dValue 推荐值；<code>8192</code> = C×256 元素是绝对下限，保证每核至少 256 个 K 元素（BF16 512B），摊薄切 K 的固定开销（workspace 建立、归约同步）。源码用固定门槛，是条件 2/3 的保守近似；本文的 grid_K 平方式给出随切份数变化的解析门槛，更细。</p>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>核间组织</b>：先按 B/M/N 切出输出块，剩余核预算折成 K 向份数：</p>
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<div class="math">$$
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blocksPerBatch = \Big\lfloor \frac{C}{B} \Big\rfloor,\qquad
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grid_K = \frac{blocksPerBatch}{mCnt \cdot nCnt}
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$$</div>
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<p>mCnt、nCnt 收拢为 blocksPerBatch 的因子（避免碎核尾块）；由条件 1 知 $mCnt \cdot nCnt \le blocksPerBatch/2$，故 $grid_K \ge 2$。归约组内核 c 负责 K 段 $[cK/grid_K,\; (c{+}1)K/grid_K)$。</p>
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<p><b>核内流水</b>：对自己的 K 段做标准分块流水（MTE2→L1→L0→mmad），段内多轮在 L0C 原地累加；段完部分和经 Fixpipe 写出。</p>
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<p><b>归约</b>：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>workspace + AIV 归约（确定性）</b>：部分和写 GM workspace（每核 256×256×4B，另加 20MB 核间通信区），AIV 读出各段累加输出（AIC:AIV=1:2）；</li>
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<li><b>AtomicAdd（非确定性）</b>：部分和直接原子累加到输出 GM，省一遍读回；确定性等级 >1 禁用。</li>
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</ul>
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<p><b>参数搜索</b>：$grid_K$ 从 2 起按 2 的幂递增，取同时满足条件 2/3 的最小值；都不满足则退为降核 ASW_Basic。</p>
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<hr>
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<h2>八、ASW_Basic 分支</h2>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<ol class="tight">
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<li>$P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} \ge C$</li>
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<li>无 batch 结构限制（BatchA=BatchB、交叉广播均可）；典型进入路径：$B < C$（切 B 买不满核），或 $B \ge C$ 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时的兜底</li>
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<li><b>降核模式</b>：$P < C$ 且不满足 StreamK 进入条件 → 只用 $\lceil P \rceil$ 个核，其余核闲置</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>并行度补齐</b>：以 L0C 满载为基本块粒度，B×M×N 能切出至少 C 个独立输出块，则切 M/N（或混合切）并行度够用。切 M/N 的固有代价是共享矩阵被多核重复读，但共享部分驻留 128MB L2 时重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM，代价大部分被吸收。</li>
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<li><b>兜底性质</b>：ASW_Basic 是实践中最常命中的分支——B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。</li>
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<li><b>降核模式</b>：P < C 且 K 也不够格走 StreamK 时，并行度凑不满核。此时与其强行把 M/N 切得更碎（tile 跌破 min_TileSize、dValue 跌破 128B，搬移效率崩塌，反而更慢），不如<b>只用 ⌈P⌉ 个核</b>、每核承担一个完整输出块（L0C 满载粒度），其余核闲置。这类 case 的时延绝对值小，继续切分引入的调度与搬移效率损失大于并行收益——降核是理性选择而非偷懒。</li>
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</ol>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>1、核间切分维度选择（按共享代价从低到高）</b>：切 B（零共享，先试）→ 切 M（右矩阵 $KN\cdot\text{dtype} \le L2$ 则驻留 L2）→ 切 N（对称）→ 混合切（靠 swizzle + L2 切分管理）→ 降核（见第 6 条）。</p>
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<p><b>2、swizzle：ASW 滑窗蛇形</b></p>
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<p><b>问题</b>：核间切 M/N 后，同一时刻 C 个核各算一个输出块，它们所需的 A 行块与 B 列块集合就是当前"活跃工作集"。若按行优先顺序朴素分配，一波 C 个块横跨的 A 行、B 列很宽，活跃工作集超过 L2 就回 GM 读（1.6TB/s），重复读代价真实发生。<b>swizzle 要做的就是编排输出块的执行顺序，把每一波核的活跃工作集压到最小。</b></p>
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<p><b>做法</b>：把 M 向每 W 个基本块划为一个"窗口"，遍历顺序为"窗口内先扫 M、扫满 W 行再进下一列 N；一个窗口扫完再进下一个窗口"，且奇数窗口行 N 向反向（蛇形）。效果有二：</p>
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<ul class="tight">
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<li>同一波 C 个核的块集中在同一个窗口内 ⇒ 活跃 A 行块只有 W 个、活跃 B 列块只有 C/W 条带；</li>
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<li>蛇形反向使相邻窗口行首尾相接——上一窗口末尾的 B 列带与下一窗口开头的 B 列带是同一条，跨窗口切换时工作集增量最小。</li>
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</ul>
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<p><b>W 怎么取</b>：一波 C 个块的 L2 足迹约为</p>
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<div class="math">$$
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footprint \approx \big(W \cdot M^t K + \tfrac{C}{W} \cdot K N^t\big) \cdot \text{dtype}
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$$</div>
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<p>由均值不等式，$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处取最小——窗口越接近"方形"（W 行 × C/W 列），足迹越小。同时 W 须整除 C，保证每个窗口恰好被整数波核覆盖、窗口边界不把波次切碎。合起来即：</p>
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<div class="math">$$
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W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\,\}
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$$</div>
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<p>C=32 时 $\sqrt{32} \approx 5.66$，因子 {1,2,4,8,…} 中不超过它的最大者是 4，故 W=4。</p>
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<p><b>实例</b>（C=32，W=4，M̃=8，Ñ=8；数字为块的全局执行顺序，一波 32 块）：</p>
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<pre><code>窗口0（N 正向） 窗口1（N 蛇形反向）
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ν0 ν1 ν2 … ν7 ν0 ν1 … ν7
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μ0 0 4 8 … 28 μ4 60 56 … 32
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μ1 1 5 9 … 29 μ5 61 57 … 33
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μ2 2 6 10 … 30 μ6 62 58 … 34
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μ3 3 7 11 … 31 μ7 63 59 … 35</code></pre>
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<p>块 31 = (μ3, ν7)，块 32 = (μ4, ν7)——相邻两个块共用同一条 B 列带（ν7），窗口切换几乎零增量。对比朴素行优先（Ñ=16 时）：一波横跨 2 个 A 行块 + 16 条 B 列带，足迹 (2·M^t + 16·N^t)·K·dtype；滑窗为 (4·M^t + 8·N^t)·K·dtype——M^t≈N^t 时足迹缩小 1/3。</p>
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<p><b>窗内为什么不蛇形</b>（对上例中"块 3=(μ3,ν0) → 块 4=(μ0,ν1) 而非 (μ3,ν1)"的说明）：蛇形的收益来自"相邻遍历段共享边界数据"，要分两种边界看：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>窗内列间边界</b>（ν0→ν1）：相邻两段共享的是同一组 A 行块（W 个），它们在整个窗口期间<b>全程驻留 L2</b>，无论按什么顺序扫，工作集不变——窗内蛇形零收益；</li>
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<li><b>窗口行边界</b>（窗口0→窗口1）：A 行整体换血（μ0..3 → μ4..7），此时 B 列带的连续性决定换血成本——不蛇形则下一窗口从 ν0 开始（LRU 上最久未用、早已被挤出 L2 的冷带），蛇形则延续上一窗口末尾的 ν7（最热线带）。<b>蛇形只标在窗口行号上</b>（源码 <code>BatchMatMulAswBlock::UpdateBasicIndex</code>：仅 <code>rowIdx</code> 为奇时 n 反向，窗内 m 最快序不反向），正是这个收益结构的直接实现。</li>
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</ul>
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<p><b>3、L2 切分（工作集超 L2 时）</b></p>
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<p><b>问题</b>：滑窗压缩的只是"同一波"的足迹；若整个工作集超 128MB L2，跨波次复用落空——上一波窗口的 A 行早被挤出，下一波又得回 GM 读。且 L2 是<b>读写共用</b>的：输出经 fixpipe 写出时若驻留 L2（dirty），会压缩读入可用空间；若直写 GM，则占用与读共享的 1.6TB/s 总线。所以 L2 切分必须与写出策略联合决策。记输入总量 $S_{in} = B(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，输出总量 $S_{out} = B \cdot MN \cdot outB$。</p>
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<p><b>两个不变量</b>（一切分析的起点）：</p>
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<ul class="tight">
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<li>GM 流量下界 $= S_{in} + S_{out}$：输入至少读一遍、输出最终至少要写一遍到 GM，与 L2 策略无关；</li>
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<li>L2 读入可用空间：$L2_{read} = L2 - S_{out}^{resident}$（$S_{out}^{resident}$ 为驻留 L2 的输出量）——写出驻留 L2 会压缩读入空间，这是写出策略影响读入复用的通道。</li>
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</ul>
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<p><b>先判定写出会不会 Bound</b>。平均写出带宽需求：</p>
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<div class="math">$$
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BW_{out} = \frac{S_{out}}{T_{MMAD}} = \frac{B \cdot MN \cdot outB}{2BMNK\,/\,(C \cdot Q_{16})} = \frac{C \cdot Q_{16} \cdot outB}{2K}
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$$</div>
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<p>只与 K、outB 有关（K 越小，单位时间输出越密）。例（BF16 输出，C·Q₁₆=432 TFLOPS）：K=512 → 844 GB/s；K=256 → 1.69 TB/s，已超 GM 总线——此时<b>任何策略都写出 Bound</b>，L2 缓冲只能削峰（fixpipe 以 5.2TB/s 写 L2 吸收突发），平均速率仍受总线限制，应预期 Fixpipe 成为 $T_{total}$ 的 max 项。</p>
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<p><b>分场景决策</b>：</p>
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<p>**场景 A：$S_{in} + S_{out} \le L2$（全驻留）**。输入读一遍（$r_{in}=1$），输出驻留 L2（dirty）异步回写 GM——写出走 5.2TB/s L2 写口，不与读争，也削平了 GM 写突发。无需切分。</p>
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<p>**场景 B：$S_{in} \le L2$ 但 $S_{in} + S_{out} > L2$（输入能驻留，加上输出超了）<b>。</b>输入驻留、输出直写 GM**（fixpipe L0C→GM，不占 L2），保住 $r_{in}=1$；校验总线：$(S_{in} + S_{out})/T_{MMAD} \le W_{GM}$。例：B=8、M=N=4096、K=512、BF16——$S_{in}$≈67MB ≤ L2，$S_{out}$≈268MB 直写 GM；T_MMAD≈318µs，总流量速率 (67+268)MB/318µs ≈ 1.05TB/s < 1.6TB/s ✓。</p>
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<p>**场景 C：$S_{in} > L2$（输入本身超）**。必须 L2 切分。输出直写 GM 以最大化 $L2_{read}$，切分数满足</p>
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<div class="math">$$
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mL2TileNum \times nL2TileNum \;\ge\; \frac{S_{in}}{L2_{read}}
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$$</div>
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<p>每块输入工作集 ≤ $L2_{read}$，逐块计算——块内滑窗复用充分，块间只发生一次性换入。块内分配用<b>错位分核</b>（对角线分配）：线性块号先取 m，n 方向叠加随块号递增的相位偏移，使同一时刻各核落在 M×N 平面的不同对角线上——避免多核同一拍并发读同一行 A / 同一列 B 的同一地址（同地址并发读会串行化，等效带宽打折）。冲突度量与优选规则：</p>
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<div class="math">$$
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transConflict = \max\big(\lceil C / mCnt \rceil,\; \lceil C / nCnt \rceil\big) \le 6
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$$</div>
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<p>即同一时刻并发核访问同一 A/B 块的最大冲突数不超过阈值（经验值 6）；切分方案中优先选尾波不满载占比小（拖尾 < 一半）的。遍历大方向由 calOrder 决定（0=M 优先、1=N 优先），按形状选共享矩阵更能驻留 L2 的方向。例：B=64、M=N=2048、K=1024、BF16——$S_{in}$≈537MB > L2，输出直写（$L2_{read}$=128MB），切 3×2=6 块（每块输入约 89MB ≤ 128MB）；总流量约 1.07GB，T_MMAD≈1.27ms，速率 844GB/s < 1.6TB/s ✓。</p>
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<p>补充：若输出会被后续算子立即消费（融合场景），输出驻留 L2 让下游读命中，场景 B/C 的策略反过来；本文按单算子边界分析。</p>
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<p><b>4、核内 tiling</b>：$M^t N^t \cdot 4\text{B} \cdot DB \le L0C$；$M^t K^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0A$、$K^t N^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0B$；内轴按 dValue 256B/512B 对齐；L1 按容量开双缓冲，余量充足开 4 buffer。</p>
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<p><b>5、内部特化（参数极限，不是独立分支）</b>：单边无 batch 且该侧矩阵小（$M \le 256$、$MK\cdot\text{dtype}\cdot 2 \le L1$、对侧每核循环 ≥4 轮）时小侧整个常驻 L1、只搬一次（L1 全载）。</p>
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<p><b>6、降核模式实现</b>：tiling 时 <code>usedCoreNum = ⌈P⌉</code>（不强制 C），基本块在 L0C 容量内取最大（$M^t N^t \cdot 4\text{B} \le L0C$），每核按标准核内流水（L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe）处理自己的输出块；核间无共享无依赖，无需 swizzle 与 L2 切分。降核后 GM 并发搬移核数若 < minCoreNum，带宽利用率上限被压低——这正是降核区 case 时延的瓶颈所在，也是"时延绝对值小、不再继续优化"的定量注脚。</p>
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<hr>
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<h2>九、特殊分支</h2>
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<ul class="tight">
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<li><b>K=0</b>：无任何计算，C = bias 或 0，纯 AIV 写值；</li>
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<li><b>K=1</b>：退化为逐元素乘 <code>C = A ⊙ B</code>，无累加深度，Cube 的 16×16×16 粒度浪费 15/16，走 AIV 向量通路（GM→UB→Mul→GM）优于 Cube 通路。触发需 $B \ge 2 \times 64$（AIV 核数×2，开 UB 乒乓）且单 batch 输入输出能驻留 UB。</li>
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</ul>
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<hr>
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<h2>十、case 遍历：各分支的覆盖区域</h2>
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<p>对 $B \in [1, 2048]$、$M,N,K \in [1, 10240]$ 按对数网格采样 20736 个 case，严格按上述进入条件分类（BF16），结果：</p>
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<h3>分支覆盖统计</h3>
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<table><tr><th>分支</th><th>case 数</th><th>占比</th><th>B 范围</th><th>区域特征</th></tr>
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<tr><td>ASW_Basic</td><td>7290</td><td>35.2%</td><td>2 ~ 2048</td><td>通用：B<C 且 P≥C；或 B≥C 但 L1 五形态不满足（M/N 大）</td></tr>
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<tr><td>IterBatch</td><td>4544</td><td>21.9%</td><td>32 ~ 2048</td><td>B≥C、负载均衡、L1 五形态之一满足</td></tr>
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<tr><td>降核 ASW_Basic</td><td>3190</td><td>15.4%</td><td>2 ~ 128</td><td>P<C 且 K 不满足 StreamK 阈值 → 只用 ⌈P⌉ 核（定义与实现见 §八.6）</td></tr>
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<tr><td>特殊分支</td><td>1728</td><td>8.3%</td><td>任意</td><td>K=0 / K=1</td></tr>
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<tr><td>MergeBatch</td><td>1674</td><td>8.1%</td><td>128 ~ 2048</td><td>$b_{core}\ge 4$ 且 $MN \le L0C/(2b_0^2\cdot4\text{B})=8192$ 等五条全过</td></tr>
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<tr><td>转Matmul</td><td>1584</td><td>7.6%</td><td>B=1</td><td>单边 batch=1</td></tr>
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<tr><td>StreamK</td><td>726</td><td>3.5%</td><td>2 ~ 128</td><td>P<C 且 K≥8192</td></tr></table>
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<h3>IterBatch 五形态命中分布</h3>
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<table><tr><th>形态</th><th>命中数</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>b) 双 batch 乒乓</td><td>1787</td><td>最多：B 大且单 batch 较小</td></tr>
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<tr><td>e) 两侧切 K</td><td>1456</td><td>次之：K 可切段的通用兜底</td></tr>
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<tr><td>a) 单 batch 全驻留</td><td>528</td><td>B=C 附近</td></tr>
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<tr><td>d) 半容量驻留+预取</td><td>522</td><td>多 batch 且单 batch 偏大</td></tr>
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<tr><td>c) 单侧驻留</td><td>251</td><td>最少（b_core=1 且单侧可驻留的窄区）</td></tr></table>
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<h3>典型边界 case</h3>
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<table><tr><th>B</th><th>M</th><th>N</th><th>K</th><th>分支</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>1</td><td>2048</td><td>2048</td><td>2048</td><td>转Matmul</td><td>单 batch 纯 Matmul</td></tr>
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<tr><td>128</td><td>64</td><td>64</td><td>512</td><td><b>MergeBatch</b></td><td>五条全过：$b_{core}$=4，MN=4096≤8192，单核搬移 512KB≥480KB，AI=64<304</td></tr>
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<tr><td>128</td><td>64</td><td>64</td><td>256</td><td>IterBatch</td><td>与上行仅 K 不同：单核搬移 256KB < 480KB，条件 3 不满足 → 落 IterBatch（形态 b）</td></tr>
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<tr><td>512</td><td>128</td><td>128</td><td>128</td><td>IterBatch</td><td>MN=16384 > 8192，MergeBatch 条件 2 不满足 → 落 IterBatch</td></tr>
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<tr><td>32</td><td>4096</td><td>4096</td><td>4096</td><td>ASW_Basic</td><td>L1 五形态均不满足（M/N 太大），切 M/N</td></tr>
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<tr><td>2</td><td>8192</td><td>8192</td><td>1024</td><td>ASW_Basic</td><td>B<C，P=2048 ≥ 32</td></tr>
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<tr><td>16</td><td>256</td><td>256</td><td>128</td><td>降核 ASW</td><td>P=4 < 32 且 K=128 不满足 StreamK → 用 4 核，其余闲置</td></tr>
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<tr><td>4</td><td>128</td><td>128</td><td>10240</td><td>StreamK</td><td>P=0.25 < 32，K≥8192</td></tr>
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<tr><td>2048</td><td>1024</td><td>1024</td><td>512</td><td>IterBatch</td><td>大 batch，形态 b</td></tr>
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<tr><td>8</td><td>512</td><td>512</td><td>512</td><td>ASW_Basic</td><td>B<C，P=32 恰好满核</td></tr>
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<tr><td>64</td><td>64</td><td>64</td><td>8192</td><td>IterBatch</td><td>小 M×N 但 K 大，形态 e</td></tr></table>
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<h3>遍历结论</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>六个分支全部有真实 case 命中</b>，无空分支；覆盖矩阵无空洞（P<C 且 K 小的残余由降核 ASW_Basic 兜底——此时时延绝对值小，调度开销主导，分支选择不敏感）；</li>
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<li>**MergeBatch 的区域由条件 2（$MN \le 8192$）与条件 3（min_DatamountPerCore）夹出**：小 M×N 且单核搬移量足够的大 batch case，两个条件缺一不可。典型分界对照：B=128/M=N=64 时 K=256 → 单核搬移 256KB 不达标落 IterBatch，K=512 → 512KB 达标进 MergeBatch；</li>
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<li><b>IterBatch 与 ASW_Basic 的分界就是 L1 五形态是否满足</b>：单 batch 输入 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$ 相对 L1 的比例决定归属——这正是"核内零重复读"原则的定量体现；</li>
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<li><b>StreamK 的区域为 P<C 且 K≥8192</b>：B 小、M/N 小、K 大的"细长" case，与理论预期一致；</li>
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<li><b>降核 ASW_Basic 是 P<C 且 K 小区域的理性归宿</b>（B∈[2,128]，占 15.4%）：并行度凑不满、切 K 又不划算时，只用 ⌈P⌉ 个核、每核一个 L0C 满载输出块，比强行碎切（tile 跌破搬移效率下限）更快。</li>
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</ol>
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</body>
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