# MergeBatch 分支理论

> 整理自《BMM算子优化分析 v0.98》§五 + 《MergeBatch_vs_IterBatch分析 v1.1》§三/§四.
> 对应软件实现: `bmm_theory/branches/merge_batch.py`.

## 1. 一句话本质

核间切 B（每核 b_core = B/C 个 batch），核内把 **b₀ 个 batch 合并成大矩阵**做单次 DMA 搬入、一次计算、一次写回：

$$[b_0 M, K] @ [K, b_0 N] = [b_0 M, b_0 N],\quad \text{BlockTrace 取对角线得 } [b_0, M, N]$$

交叉项被算出但丢弃（冗余比例 (b₀−1)/b₀）——**冗余算力换搬移效率**，进入条件 5 保证 case 为访存 Bound，冗余被搬移时延掩盖。

## 2. 进入条件（5 条同时满足）

| # | 条件 | 物理含义 |
|---|---|---|
| 1 | BatchA = BatchB 且 b_core = B/C ≥ 2b₀ (≥4) | 无广播才能逐 batch 对应合并；每核至少 2 组构成合并组间乒乓 |
| 2 | 2·(b₀M)(b₀N)·4B ≤ L0C (256KB) | 合并后输出放得下 L0C 双缓冲；连最小合并都放不下则无从谈起 |
| 3 | b_core·(MK+KN)·dtype ≥ 480KB | 单核搬移总量足够，GM 带宽利用率才上得去 |
| 4 | max(MK, KN)·dtype ≥ 16KB | 单 batch 单矩阵最大连续搬移块达到 min_TileSize |
| 5 | 2MN/(M+N) < R₁₆/b₀ | 合并放大算存比 b₀ 倍后仍访存 Bound，瓶颈留在搬移侧 |

## 3. 实现方案（4 步）

**Step 1: 合并数 b₀**（L0C + 算存比双上限，尽量取 b_core 的因子）

$$b_0 = \min\Big(\sqrt{\frac{L0C}{2\cdot MN\cdot 4B}},\; \frac{R_{16}(M+N)}{2MN},\; b_{core}\Big)$$

**Step 2: L0 级 K 粒度** k_L0 = min(L0A/(2·b₀M·dt), L0B/(2·b₀N·dt)) 向下 16 对齐

**Step 3: L1 级 k_L1**（先反推再截断）

$$k_{L1}^* = \frac{L1}{2\cdot b_0\cdot(M+N)\cdot dt},\qquad k_{L1} = \min(k_{L1}^*,\; K,\; 512B/dt)$$

不超过 K（K 截断），不超过 dValue 推荐值 512B（更大无额外收益）。

**Step 4: b_L1 最大化**

$$b_{L1} = \min\Big(\frac{L1}{2\cdot k_{L1}\cdot(M+N)\cdot dt},\; b_{core}\Big) \ge b_0$$

k_L1 被 512B 截断省出的 L1 空间容纳更多 batch，提升 batch 间流水深度。

## 4. 时延模型（v1.1 §4）

符号：T_load = k_L1(M+N)·dt/BW_pc（每 K 分块搬移）、T_comp = 2MN·k_L1/Q₁₆（每 K 分块计算）、T_write = MN·outB/W_GM（单 batch 写回）、T_cmd（单次 GM→L1 DMA 固定开销，~50ns）。

$$T_{mb} = \underbrace{\frac{b_{core}}{b_0}\cdot n_K^m\cdot(T_{load}^m + T_{cmd})}_{\text{搬移(合并)}} + \underbrace{b_0(T_{comp}+T_{write})}_{\text{末合并 batch drain}}$$

两种经典情形 (v1.1 §4.3/§4.4) 与第三情形 (issue#35):

| 情形 | k_L1^m | n_K^m | 每核搬移命令数 (⌈b_core/b₀⌉·n_K^m) | 结论 |
|---|---|---|---|---|
| **K 截断** (k_L1^m=K) | K | 1 | ⌈b_core/b₀⌉（比 IterBatch 少 b₀ 倍） | MergeBatch 可胜 |
| **L1 绑定** (k_L1^m=k_L1^iter/b₀) | k_L1^iter/b₀ | b₀·n_K | b_core·n_K（与 IterBatch 相同） | **MergeBatch 恒劣** |
| **dValue cap 截断** (k_L1^m=512B/dt, 文档二分未覆盖) | 512B/dt | ⌈K/k_L1^m⌉ | 按实际比较 (可与 IterBatch 打平或少) | 按泛化分界判定 |

L1 绑定理想情形搬移次数、单次搬移量都与 IterBatch 相同，只放大 drain——证明见 v1.1 §4.4。
第三情形例: IterBatch 走 a/b 形态 (k_L1=K) 而合并侧被 512B 推荐值截断时, n_K^m=n_K,
命令数打平 (既不省 b₀ 倍也不放大), 合并仅剩 drain 惩罚 -> 恒劣; 反之若 IterBatch 走
c/d 形态切 K 而合并侧每核命令数更少, 则按实际节省判定。

> **每核命令数口径 (issue#35)**: 真实命令数 = **合并组数 × 每组 K 段数** =
> ⌈b_core/b₀⌉·⌈K/k_L1^m⌉。注意 v1.1 §4.4 "命令数与 IterBatch 相同 = b_core·n_K" 中的
> n_K 是**未合并**粒度 (⌈K/k_L1^iter⌉); 误代入合并后段数 ⌈K/k_L1^m⌉ 会多计 b₀ 倍
> (修复前 evaluate 即此错, L1 绑定情形命令时延虚高 b₀ 倍, 可把仲裁方向翻错)。

> **GM 数据量口径 (issue#31)**: 各 (合并组, K段) 的数据互不重叠, 每个输入字节恰好从 GM
> 读一次 —— K 截断与 L1 绑定两种情形的**芯片 GM 读取量都 = V_in** (末段按实际剩余计,
> 无 padding 上取)。上式的 T_load 级联只用于刻画命令/双缓冲调度结构: 数据时延按
> V_in/W_GM 计, n_K 只放大 DMA 命令项 ⌈b_core/b₀⌉·n_K^m × T_cmd (issue#35 口径)。

## 5. MergeBatch vs IterBatch 净收益

泛化分界 (issue#35, 覆盖三种情形): 直接比较两分支**实际每核 DMA 命令数** ——

$$\text{净收益} = \underbrace{(cmds_{iter}-cmds_{mb})\,T_{cmd}}_{\text{搬移命令节省}} - \underbrace{(b_0-1)(T_{comp}+T_{write})}_{\text{drain 惩罚}},\qquad \begin{array}{l}cmds_{iter}=b_{core}\lceil K/k_{L1}^{iter}\rceil\\ cmds_{mb}=\lceil b_{core}/b_0\rceil\lceil K/k_{L1}^m\rceil\end{array}$$

K 截断时严格退化为 v1.1 §4.5 闭式 b_core > b₀(T_comp+T_write)/T_cmd；L1 绑定理想情形命令数打平、净收益恒负。大 B（b_core 大）且小 MN（T_comp 小）时 MergeBatch 最优。T_cmd 的物理成因：Nd2Nz 描述符配置（7 字段写 DMA 寄存器）+ 地址生成 + 突发启动 + L1 同步握手。

## 6. 与源码的差异（v1.1 §5.1）

源码 MergeBatch 进入条件偏宽——缺搬移量/tile 大小/算存比三条约束，可能把计算 Bound 的 case 误捕获（冗余计算成为新瓶颈）。本软件以理论 5 条件为准。