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v1.3：修正 T_MTE2 模型（kL1→K 稳态约掉）+ 三维主导项判定 + 面积型/周长型缩放分类 + §2.5 严格证明 + §4.3 符号交代

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668
BMM/BMM算子优化分析_Release/ASW_Basic分支分析/BMM尾轮处理策略对比分析_v1.3.md Normal file
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# BMM 尾轮处理策略对比分析：不重切 / 尾轮重切 / 整轮均匀重切
> 目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。
> 版本：v1.3，2026-08-31（修正 $T_{MTE2}$ 模型：分子 kL1→K（稳态流水约掉证明）；三维主导项判定取代单一 K* 判据；面积型/周长型缩放分类；§2.5 方形结论严格证明；§4.3 符号交代；§7.2 按修正模型全面刷新——主流场景 B1 零损失）
> 历史：v1.1 新增 §七 B1 无脑版门限与损失分析；v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
> 历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
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## 摘要
BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：**A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切）**，在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。
核心结论：
1. **A0 从来不是最优**（$r > 0$ 时 A1 或 B 严格优）；
2. **A1a 是 A1b 的真子集**（枚举空间包含关系），A1b 恒不劣于 A1a；
3. **计算 Bound**：A1b 与 B 理论时延严格相等（总计算量/C 守恒），A1b 搬移周长和恒 ≤ B（均值不等式）——时延打平、按工程权衡选择；
4. **访存 Bound**：$\rho \ge \rho_{dv}$（尾轮占比 ≥ dValue 平方阈值）时 A1b 严格优；$\rho < \rho_{dv}$ 时 A1b 被 dValue 卡死，B 严格优当且仅当 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$——**B 反超的唯一通道是 dValue**：A1b 的尾轮 tile 缩放 $\sqrt{\rho}$ 恒狠于 B 的 $1/\sqrt{g}$（$\rho < 1/g$ 恒成立），卡死更深时 B 胜出，该区间窄且临界实测打平；
5. 给出**基于 B/M/K/N/dtype 的闭式判定流程**：五步前置计算 + 决策表，无需逐项仿真；
6. **v1.1 新增 §七**：B 的简化形态 **B1**（无脑版：满足门限就直接整数轮满核切，门限闭式 $r>0 \land (K \ge K^* \lor g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2)$）与 **B0/B1 相对 A1b 的损失分析**；
7. **v1.2 重写 §7.2**：损失公式逐步推导链与主流场景分析；
8. **v1.3 修正时延模型**：$T_{MTE2}$ 分子 $k_{L1} \to K$（稳态流水下 $k_{L1}$ 约掉的完整证明——单块搬入总量 $K(sM+sN)dtype$ 与分次粒度无关）；**三维主导项判定**取代单一 $K^*$ 判据（MMAD vs MTE2 由 tile 决定、K 约掉；MMAD vs FIX 由 K 决定，临界 304）；按**主导项缩放类型**重新分类（面积型：MMAD/FIX ∝ 面积；周长型：MTE2 ∝ 周长）——**主流 prefill/decode case 恒为面积型 → B1 与 A1b 时延严格相等（零损失）**；decode 小 M 场景 B 因分解自由度不足常不可行 → A1b 是唯一可行重切方案；§2.5 方形结论严格证明（均值不等式，更正"L1 主导形状自由"的伪结论——那是 $k_{L1}$ 误置时延分子的建模残余）；v1.2 的"~30% 极端例损失"是 $k_{L1}$ 错误模型产物，修正后该例打平（<1%）。
---
## 一、问题背景与执行模型
### 1.1 BMM 的核间切分与数据流
BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。**适用范围说明**：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 $M \times N$ 被切为 $mCnt \times nCnt$ 个块，乘上 batch 维共 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个独立输出块，按序分配到 $C$ 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：
```
GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑
```
核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。
### 1.2 尾轮问题
块按序分配：核 $i$ 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 $N_{blk}$ 不能被 $C$ 整除时，最后一轮（尾轮）只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核有块可算，$C - r$ 个核空转一个整块时间。
**问题**：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？
### 1.3 硬件规格与符号定义
昇腾 950PR 关键规格（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)）：
| 符号 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
| $C$ | AIC 核数 | 32 |
| $Q_{16}$ | 单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/32 ≈ 15.2 TFLOPS |
| $W_{GM}$ | GM（HBM）总带宽 | 1.6 TB/s |
| $BW_{pc}$ | 单核 GM 带宽份额 | $W_{GM}/C = 50$ GB/s |
| $L1$ | L1 容量/核 | 512 KB |
| $L0C$ | L0C 容量/核 | 256 KB |
| $dtype$ / $outB$ | 输入/输出元素字节数 | BF16 → 2B |
*Tiling 符号*：$sM, sN$ = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；$k_{L1}$ = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。
*尾轮符号*：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。
---
## 二、基础模型
### 2.1 单块时延三项
单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延。先推导搬入项——这是本文的修正重点。
**搬入时延的推导（为什么分子是 K 而不是 $k_{L1}$）**：块 $[sM, sN]$ 的输入为 A 行带 $[sM, K]$ 与 B 列带 $[K, sN]$，总搬入量
$$
S_{blk} = K \cdot (sM + sN) \cdot dtype
$$
GM→L1 按 $k_{L1}$ 的 K 向粒度分 $K/k_{L1}$ 次搬入，每次搬 $k_{L1}(sM+sN) \cdot dtype$，与 MMAD 流水。稳态下总搬入时延 = 次数 × 单次时延：
$$
T_{MTE2} = \frac{K}{k_{L1}} \cdot \frac{k_{L1}(sM+sN) \cdot dtype}{BW_{eff}} = \frac{K(sM+sN) \cdot dtype}{BW_{eff}}
$$
**$k_{L1}$ 在稳态流水中约掉**——搬入总时延只取决于总数据量与有效带宽，与分次粒度无关。$k_{L1}$ 的真实角色是**搬移效率约束**（§2.3）：$k_{L1} \cdot dtype \ge 256$B（dValue 下限）与单次搬移量 ≥ 16KB 决定是否触发带宽打折，不满足时体现为 $BW_{eff}$ 下降，而不是出现在时延分子中。
**有效带宽 $BW_{eff}$ 的分层**：尾轮分析执行时，主轮已把输入工作集读入 L2——工作集 ≤ L2（128MB）时尾轮小块的搬入全部 L2 命中，$BW_{eff} = BW_{L2}/C = 5.2\text{TB/s}/32 \approx 162.5$ GB/s；工作集超 L2 时部分回 GM，$BW_{eff}$ 介于 $BW_{pc} = 50$ GB/s（GM 直读下界）与 162.5 GB/s 之间。
**三段时延汇总**：
$$
T_{MMAD} = \frac{2 \cdot sM \cdot sN \cdot K}{Q_{16}},\qquad T_{MTE2} = \frac{K(sM+sN) \cdot dtype}{BW_{eff}},\qquad T_{FIX} = \frac{sM \cdot sN \cdot outB}{BW_{pc}}
$$
单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$。
**三维主导项判定**（两两比值，取代此前单以 K 判定的不完整做法）：
| 对比 | 比值 | 判据 | 决定因素 |
|---|---|---|---|
| MMAD vs MTE2 | $\dfrac{2 sM \cdot sN \cdot BW_{eff}}{(sM+sN) \cdot dtype \cdot Q_{16}}$ | $\dfrac{sM \cdot sN}{sM+sN} \gtrless \dfrac{dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{eff}}$ | **tile 尺寸**（K 约掉） |
| MMAD vs FIX | $\dfrac{2K \cdot BW_{pc}}{outB \cdot Q_{16}}$ | $K \gtrless \dfrac{outB \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}$ | **K**（BF16 输出临界 ≈304） |
| MTE2 vs FIX | 由前两条推出 | — | — |
两个临界值（BF16、L2 命中 $BW_{eff}$=162.5GB/s）：tile 临界 $\dfrac{sM \cdot sN}{sM+sN} \approx 93.5$（方形 $sM=sN$ 时 $s \approx 187$；GM 直读 $BW_{eff}$=50GB/s 时临界 304、方形 $s \approx 608$）；K 临界 304。
**关键推论（缩放类型二分）**：三项中 MMAD 与 FIX 都 $\propto$ **面积** $sM \cdot sN$，MTE2 $\propto$ **周长** $(sM+sN)$。主导项的缩放类型决定尾轮分析的结构：
- **面积型主导**（MMAD 或 FIX 最大）：tile 大（方形 $s \ge 187$）且（$K \ge 304$ 时 MMAD、$K < 304$ 时 FIX）——**主流 case 均属此类**；
- **周长型主导**（MTE2 最大）：tile 小（$s < 187$）或工作集超 L2（GM 直读、$s < 608$）——边角 case。
注意：**"K 大计算 Bound"的准确含义是"K 大使 MMAD 超过 FIX"**（写出量与 K 无关）；MMAD 与 MTE2 的相对大小与 K 无关（两者都 $\propto K$）。此前版本以 $K^*$ 单一判据分类的做法混淆了这两个维度，本版更正。
### 2.2 块几何缩放律（全文分析的枢纽）
把块数放大 $g$ 倍（面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）时：
| 时延项 | 依赖 | 缩放律 |
|---|---|---|
| $T_{MMAD}$ | $\propto$ 面积 $sM \cdot sN$ | $\propto g^{-1}$ |
| $T_{MTE2}$ | $\propto$ 周长 $(sM + sN)$ | $\propto g^{-1/2}$ |
| $T_{FIX}$ | $\propto$ 面积 | $\propto g^{-1}$（总量与切分无关） |
**搬移随周长缩放是关键**：切分越多，计算缩 $g$ 倍而搬移只缩 $\sqrt{g}$ 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$）。
### 2.3 搬移效率约束
GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：
1. **dValue ≥ 256B**（DMA 硬件突发下限）：dValue 是 ND 排布中连续维的字节数——B 矩阵非转置 $[K, N]$ 时连续维为 N，dValue = $sN \cdot dtype$；B 转置 $[N, K]$ 时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$；A 非转置 $[M, K]$ 的 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$（**A 的 dValue 由 K 向保证，不约束 $sM$；B 非转置时 $sN$ 有 256B 下限——约束非对称**）；
2. **单次搬移量 ≥ min_TileSize**（推荐 16KB）：如 $k_{L1} \cdot sN \cdot dtype \ge 16$KB。
### 2.4 带宽模型声明
昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为**每核带宽上限 = 聚合带宽/核数**。该假设对 GM 与 L2 两层同构：GM 层每核 $BW_{pc} = W_{GM}/C = 50$ GB/s；L2 层每核 $BW_{L2}/C = 5.2\text{TB/s}/32 \approx 162.5$ GB/s（§2.1 的 $BW_{eff}$ 按工作集是否驻留 L2 在两层间取值）。尾轮 $r$ 核的聚合带宽 = $r \times$ 单核份额 < 满载聚合——尾轮搬移不加速，$r$ 个整块用 $r$ 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。
### 2.5 首轮切分基准（近方形的严格推导与证明）
首轮切分 $(mCnt, nCnt, sM, sN)$ 的确定是尾轮分析的前提。本节给出完整推导链：**问题 → 建模 → 证明 → 离散修正 → 结论**。
**问题**：$B < C$ 时须切分 M/N 填满 C 核。选什么样的 $(sM, sN)$ 使端到端时延最小？
**建模**：由 §2.1，主导项中唯一随切分变化的是搬入（MMAD/FIX 只依赖全量 B/M/N/K）。单核搬入总量 = 每核块数 × 单块搬入量：
$$
T_{MTE2}^{core} = \frac{B \cdot mCnt \cdot nCnt}{C} \cdot K(sM+sN) \cdot dtype
$$
代入 $mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$（连续近似下取等号）：
$$
T_{MTE2}^{core} = \frac{B \cdot M \cdot N \cdot K \cdot dtype}{C} \cdot \Big(\frac{1}{sM} + \frac{1}{sN}\Big)
$$
**目标函数**：$\min\; (1/sM + 1/sN)$（$B, M, N, K, dtype, C$ 均为常数）。约束：①并行度 $mCnt \cdot nCnt \ge \lceil C/B \rceil \triangleq P$；②L1 容量 $2(sM+sN) k_{L1} \cdot dtype \le L1$；③搬移效率（dValue、min_TileSize，§2.3）；④$sM, sN$ 为 16 倍数且为 BaseM/N 整数倍。
**证明（两步）**：
*第一步：块数最少原则*。目标函数展开为 $\dfrac{B \cdot K \cdot dtype}{C} \cdot \big(mCnt \cdot N + nCnt \cdot M\big)$——块数越多（$mCnt, nCnt$ 越大）搬入越多（重复读），故取**最少块数** $mCnt \cdot nCnt = P$（并行度下界取等）。此时单块面积固定：
$$
sM \cdot sN = \frac{M \cdot N}{P} \triangleq A_0 \quad \text{（常数）}
$$
*第二步：面积固定 → 方形严格最优*。目标函数改写为周长形式：
$$
\frac{1}{sM} + \frac{1}{sN} = \frac{sM + sN}{sM \cdot sN} = \frac{sM + sN}{A_0}
$$
面积 $A_0$ 固定时最小化周长 $sM + sN$。由均值不等式（或等周不等式——矩形面积固定时周长最小当且仅当方形）：
$$
sM + sN \ge 2\sqrt{sM \cdot sN} = 2\sqrt{A_0}, \qquad \text{等号} \iff sM = sN
$$
**严格成立**——无任何近似。物理本质：输出是面积、输入搬运是周长（A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$），方形使"边界/面积比"最小，即单位输出的输入搬运最少。
**离散修正**（连续最优 → 工程可行）：
1. **整数与对齐**：$sM = sN = \sqrt{A_0}$ 一般非 16 倍数，且 $mCnt = M/sM$ 须整数——在连续方形附近枚举满足约束 ④ 的整除组合，取目标函数最小者（枚举才是最终裁决者，方形是其连续极限的解析刻画）；
2. **dValue 非对称**：B 非转置时 $sN \cdot dtype \ge 256$B 卡 $sN$ 下限（A 的 dValue 由 $k_{L1}$ 保证、不卡 $sM$）——极端长宽比时方形可能违反，取满足 dValue 的最近组合；
3. **$B \ge C$（P=1）退化**：不切分，$sM = M, sN = N$——tile 跟随 M/N（此时"方形"无意义，零重复读优先）。
**对前一版本表述的更正**：v1.2 及之前版本曾以"K 全载 regime 方形最优、L1 主导 regime 仅面积相关、形状自由"描述方形结论的适用范围——该说法源自把 $k_{L1}$ 误置时延分子的建模（$(1/sM+1/sN) \cdot k_{L1}$ 中 $k_{L1} = L1/(2(sM{+}sN)dtype)$ 恰好抵消周长）。§2.1 已证 $k_{L1}$ 在稳态流水中约掉，正确目标函数为 $(1/sM+1/sN) \cdot K$——**形状敏感性在两个 regime 下统一存在，方形恒为连续最优**；$k_{L1}$ 只通过 dValue/min_TileSize 约束（§2.3）影响可行性，不影响目标函数的排序。
**小结**：
1. 首轮切分目标：$\min (1/sM + 1/sN)$（搬入时延最小化，唯一随切分变化的主导项）；
2. 最少块数原则：$mCnt \cdot nCnt = P = \lceil C/B \rceil$（$B \ge C$ 时不切分）；
3. **方形严格最优**（均值不等式，面积固定时周长最小）——离散修正仅来自 16 对齐/整数分解/dValue 非对称，由枚举裁决；
4. 方形结论不依赖任何 regime 假设——$K$ 作为公共因子不进排序。
---
## 三、四种策略定义与实现方式
### 3.1 策略定义
| 策略 | 做法 | 块大小 |
|---|---|---|
| **A0：不重切** | 尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转 | 主轮尾轮同大小 |
| **A1a：尾轮整数倍切分** | 尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核 | 主轮整块 + 尾轮 $1/s^*$ 小块 |
| **A1b：尾轮 tile 重选凑满核** | 尾轮 $r$ 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，凑满 C 核 | 主轮整块 + 尾轮小 tile |
| **B：整轮均匀重切** | 总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块 | 全部块同大小 |
**实现方式对比**：
| 策略 | host 侧 tiling | kernel 侧执行 | tile 参数套数 |
|---|---|---|---|
| A0 | 一套参数 | 线性映射 `index = blockIdx + round × usedCoreNum`，尾轮不满载核跳过 | 1 |
| A1a | 主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$） | 最后一轮切换小块尺寸 | 2 |
| A1b | 主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$） | 尾轮区域独立子网格映射 | 2 |
| B | 一套重切后参数 | 全程统一 tile，无尾轮分支 | 1 |
**对齐约束的平等性**：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，**四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数**，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。
### 3.2 A1b 的 tile 确定与 A1a ⊆ A1b 证明
A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：
$$
s_t^* = sM \cdot \sqrt{\frac{r}{C}} \quad (sM = sN \text{ 时})
$$
再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（$(sM_t, sN_t)$ 独立按 16 步进）选最贴合的组合。
**A1a 是 A1b 的真子集**：A1a 的尾轮 tile 为 $(sM, sN/s^*)$ 或 $(sM/s^*, sN)$（$s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\}$ 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、$sN_t = sN/s^*$ 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：
$$
T_{A1b} = \min_{\Omega_{A1b}} T \;\le\; \min_{\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}} T = T_{A1a}
$$
**A1b 恒不劣于 A1a**，且通常严格优：A1a 受"$s^*$ 整数"与"每块切同样份数"双重限制（$r > C/2$ 时 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 $r \le C/2$ 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。
### 3.3 三策略通用时延式
$$
T_{A0} = n_{wave} \cdot T_{block},\qquad T_{A1} = (n_{wave}-1) \cdot T_{block} + T_{tail},\qquad T_B = n_{wave} \cdot T_{block}'
$$
A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。
---
## 四、面积型主导完整推导（$T_{MMAD}$ 或 $T_{FIX}$ 最大）
**本章适用条件**：主导项为面积型（$\propto sM \cdot sN$）——MMAD 主导（$K \ge 304$ 且 tile 判据满足，§2.1）或 FIX 主导（$K < 304$）。两子型缩放律相同（都 $\propto$ 面积），推导中以 $T_{MMAD}$ 为记号；FIX 主导时将 $T_{MMAD}$ 替换为 $T_{FIX}$ 结论不变。**主流 prefill/decode case 均属本章范畴**。
### 4.1 A0 vs A1
A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。$r > C/2$ 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：
$$
\Delta_{A0 \to A1b}^{calc} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{r}{C}\Big)
$$
**A1 恒优于 A0**（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。
### 4.2 A0 vs B
代入 $T_{block}' = T_{MMAD}/g$ 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：
$$
\Delta_{A0 \to B}^{calc} = n_{wave} T_{MMAD} - T_{MMAD}\Big(n_{wave} - 1 + \frac{r}{C}\Big) = T_{MMAD} \cdot \frac{C - r}{C} > 0
$$
**B 恒优于 A0**（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。
### 4.3 A1 vs B
A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ **理论时延严格相等**——两者都是"总计算量/C"（面积型主导项下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。
结构性差异在**搬入总量**。先交代符号（v1.3 补充，避免误读）：
- $s$：**首轮方形 tile 的边长**（$sM = sN = s$ 的基准，不是 $sM + sN$）；
- **周长和** $S \triangleq \sum_{\text{块}} (sM_{blk} + sN_{blk})$——所有块的周长之和。由 §2.1，单块搬入量 $= K(sM+sN) \cdot dtype$，故**总搬入量 $= K \cdot dtype \cdot S$**。同一 case 下 $K, dtype$ 是公共常数，**比较周长和 $S$ 即比较搬入总量**（$K$ 作为公共因子约掉，故 $S$ 的表达式中不含 $K$——不是没有 $K$，而是 $K$ 被提出约掉了）。
两策略的周长和：
**A1b**：主轮 $(n_{wave}-1)C$ 块保持大 tile（周长 $2s$）+ 尾轮 C 块小 tile（边长 $s\sqrt{\rho}$，周长 $2s\sqrt{\rho}$）：
$$
S_{A1b} = 2sC\big(n_{wave} - 1\big) + 2s\sqrt{\rho} \cdot C = 2sC\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big)
$$
**B**：$n_{wave} C$ 块均匀 tile，边长 $s_B = s\sqrt{N_{blk}/(n_{wave}C)}$（总面积守恒 $n_{wave} C \cdot s_B^2 = N_{blk} \cdot s^2$）：
$$
S_B = n_{wave} C \cdot 2s_B = 2sC\sqrt{n_{wave}\Big(n_{wave} - 1 + \rho\Big)}
$$
比较（两边约去 $2sC$）：
$$
\big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big)^2 \le n_{wave}(n_{wave}-1+\rho) \iff 2\sqrt{\rho} \le 1 + \rho \iff (\sqrt{\rho}-1)^2 \ge 0 \quad \checkmark
$$
**均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B**（等号当 $\rho = 1$ 即无尾轮）。搬入总量少意味着 L2 重复读少、周长型项的掩盖余量更大。
**结论（面积型主导）**：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬入总量恒 ≤ B（结构性）。**工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。**
### 4.4 数值实例
*例 1（MMAD 主导，$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。单块 $T_{MMAD}=35.3\mu s$、$T_{MTE2}^{L2}=25.8\mu s$、$T_{FIX}=2.6\mu s$——MMAD 面积型主导 ✓。
- A0：$70.6\mu s$；A1a：$s^* = \lfloor 32/17 \rfloor = 1$ 失效；
- A1b 非方形枚举 $(sM_t, sN_t) = (224, 160)$：尾轮 32 块恰好凑满，$T_{A1b} = 35.3 + 19.3 = 54.6\mu s$；
- B：$N_{blk}'=64=8\times8$、$sM'=sN'=224$，$T_B = 54.1\mu s$。
A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%，纯离散对齐的数值依赖）。**相对 A0 均省约 23%**。
*例 2（MMAD 主导，$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。**A1a = B**（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。
*例 3（FIX 主导，$r$ 小、尾轮小块搬入翻出）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$。单块 $T_{FIX} = 2.62\mu s$、$T_{MMAD}=2.21\mu s$、$T_{MTE2}^{L2}=1.61\mu s$——**FIX 面积型主导**（$K=256 < 304$）。
- A0：$5.24\mu s$；A1a：$s^* = \min(8, 2) = 2$（dValue），$T_{A1a} = 2.62 + 2.62/2 = 3.93\mu s$；
- A1b：$s_t = 256\sqrt{0.125} = 90.5 \to 96$（16 对齐），尾轮 $\lceil 4 \times 256^2/96^2 \rceil = 29$ 块凑 29 核——但小块 $96^2$ 的搬入 $T_{MTE2} = 256 \times 192 \times 2/162.5\text{G} = 0.61\mu s$ **翻出为尾轮主导项**（$> T_{FIX,t} = 0.37\mu s$；tile 缩小使周长/面积比上升，见 §7.2.4），$T_{A1b} = 2.62 + 0.61 = 3.23\mu s$；
- B：$N_{blk}'=64=8\times8$、$sM'=sN'=192$，$T_{FIX}' = 1.47\mu s$ 仍主导（$T_{MTE2}' = 1.21\mu s$），$T_B = 2.95\mu s$。
**翻出效应下 B 微优 8.5%**——$r$ 小时 A1b 的尾轮 tile 缩得太小、搬入翻出，B 的全局 tile 缩得温和（$1/\sqrt{g} = 0.75 > \sqrt{\rho} = 0.35$）不翻出。
*例 4（FIX 主导，$r$ 大、不翻出，打平）*：M=N=2304、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=9$、$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。单块 $T_{FIX}=2.62\mu s$ 主导。
- A0：$7.86\mu s$；
- A1b：$s_t = 256\sqrt{0.53} = 186.6 \to 192$，尾轮 $\lceil 17 \times 256^2/192^2 \rceil = 31$ 块，小块 $T_{FIX,t} = 1.47\mu s$ 主导（$T_{MTE2,t} = 1.21\mu s$ 不翻出），$T_{A1b} = 2 \times 2.62 + 1.47 = 6.71\mu s$；
- B：$N_{blk}'=96$、分解 $(8,12)$（$sM'=288, sN'=192$），$T_{FIX}' = 2.21\mu s$，$T_B = 6.64\mu s$。
**打平**（6.71 vs 6.64，差 1%，离散对齐的数值依赖）——面积型主导且尾轮不翻出时 A1b 与 B 时延相等（总量守恒）的实证。
---
## 五、周长型主导完整推导（$T_{MTE2}$ 最大）
**本章适用条件**：主导项为周长型 $T_{MTE2}$（$\propto$ 周长 $(sM+sN)$）——小 tile（$sM \cdot sN/(sM+sN) < 93.5$，L2 命中）或工作集超 L2 的 GM 直读（$< 304$）场景。主导项 $T_{block} = T_{load} = K(sM + sN) \cdot dtype / BW_{eff}$（§2.1 修正后的 K 版；$K$ 在单 case 三策略比较中为公共因子，可约掉）。
### 5.1 A0 vs A1
A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（**A 行带 $[sM, k_{L1}]$ 每个小块都要完整搬一次，不随 $s^*$ 缩小**——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$：
$$
\Delta_{A0 \to A1a}^{mem} = \frac{T_{load}}{2}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big)
$$
受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。
A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：
$$
T_{tail}^{A1b} = \sqrt{\rho} \cdot T_{load},\qquad \Delta_{A0 \to A1b}^{mem} = T_{load}\big(1 - \sqrt{\rho}\big) > 0
$$
**A1 恒优于 A0**（dValue 允许时）。
### 5.2 A0 vs B
$$
\Delta_{A0 \to B}^{mem} = n_{wave} T_{load}\Big(1 - \frac{1}{\sqrt{g}}\Big) > 0 \quad (g > 1)
$$
**B 恒优于 A0**（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。物理解释：尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。
### 5.3 A1 vs B——完整分界推导
**（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：
$$
\frac{T_{A1b}^{mem}}{T_B^{mem}} = \frac{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}}{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}} \le 1
$$
**A1b 恒不劣于 B**，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%）。
**（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严**。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：
$$
\rho < \frac{1}{g} \iff \rho \cdot n_{wave} < n_{wave} - 1 + \rho \iff \rho(n_{wave} - 1) < n_{wave} - 1 \iff \rho < 1 \quad \checkmark \text{（} r < C \text{ 恒成立）}
$$
**物理含义**：A1b 只缩尾轮 $r$ 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。**这是 B 可能反超的唯一通道**。
**（iii）三区间判定**（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：
| 区间 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| I | $\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 $1/g > \rho \ge \rho_{dv}$ 故 B 也可行） | **A1b 恒优**（均值不等式） |
| II | $\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行） | 分界公式判定（下） |
| III | $\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死） | A0/A1a 兜底 |
区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 $s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}}$ 缩放）：
$$
T_{A1b}^{dv} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho_{dv}}\big),\qquad T_B = \frac{n_{wave}}{\sqrt{g}} \cdot T_{load}
$$
**B 严格优当且仅当**：
$$
\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave} \cdot \sqrt{\frac{n_{wave} - 1 + \rho}{n_{wave}}} - (n_{wave} - 1)
$$
物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 $\rho$ 减小；而 B 的 $n_{wave}/\sqrt{g}$ 随 $\rho$ 减小而降低（全局重切幅度减小）。$\rho$ 足够小（卡死足够深）时 B 反超。
### 5.4 数值实例
**访存 Bound 数值实例（周长型主导，v1.3 重新构造）**：
*例 3（工作集超 L2、GM 直读的周长型，B 不可行）*：B=34、M=N=1024、K=2048、BF16，tile $sM=sN=512$。输入总量 $34 \times 2 \times 1024 \times 2048 \times 2 = 285$MB > L2 128MB——工作集超 L2，搬入部分回 GM 直读（$BW_{eff} \to BW_{pc}=50$GB/s）。单块：$T_{MMAD} = 70.7\mu s$、$T_{MTE2} = 2048 \times 1024 \times 2/50\text{G} = 83.9\mu s$（**周长型主导** ✓：tile 判据 $512^2/1024 = 256 < 304$）、$T_{FIX} = 10.5\mu s$。$N_{blk} = 34 \times 4 = 136$、$n_{wave}=5$、$r=8$、$\rho=0.25 \ge \rho_{dv}=0.0625$。
- A0：$5 \times 83.9 = 419.5\mu s$；
- A1a：$s^* = \min(\lfloor 32/8 \rfloor, 512 \times 2/256\text{B}) = \min(4, 4) = 4$，$T_{A1a} = 4 \times 83.9 + 83.9 \times (1+1/4)/2 = 388\mu s$；
- A1b：$s_t = 512\sqrt{0.25} = 256$（dValue $=512$B ✓），尾轮 8 块 $512^2$ 区域重切为 $8 \times 4 = 32$ 块 $256^2$ 恰好凑满，$T_{tail} = 2048 \times 512 \times 2/50\text{G} = 41.9\mu s$，$T_{A1b} = 4 \times 83.9 + 41.9 = 377.5\mu s$（**省 10%**）；
- B：$N_{blk}' = 160$ 要求 $mCnt' \cdot nCnt' \cdot 34 = 160$——34 不整除 160，**B 不可行**（即使 batch 对齐，$M=N=1024$、dValue 下限 128 使 $nCnt' \le 8$、$mCnt' \le 8$，$B \times 64 = 2176$ 的分解也无法凑出 $n_{wave} C = 160$ 的整数轮——**周长型场景 B 常因分解自由度不足而不可行**，见 §7.2.3）。
*例 4（周长型、B 可行的打平区）*：B=8、M=N=2176、K=4096、BF16，tile $sM=sN=256$。输入 $8 \times 2 \times 2176 \times 4096 \times 2 = 285$MB 超 L2 → GM 直读周长型（tile 判据 $128 < 304$ ✓）。$T_{load} = 4096 \times 512 \times 2/50\text{G} = 83.9\mu s$。$N_{blk} = 8 \times 81 = 648$、$n_{wave}=21$、$r=8$、$\rho=0.038 < \rho_{dv}=0.25$（A1b 凑满卡死）。
- A1b：$s_t$ 下限 128（dValue），尾轮 8 块 $256^2$ 重切为 $8 \times 4 = 32$ 块 $128^2$ 恰好凑满，$T_{tail} = 4096 \times 256 \times 2/50\text{G} = 41.9\mu s$，$T_{A1b} = 20 \times 83.9 + 41.9 = 1720\mu s$；
- A0：$1762\mu s$；B：$N_{blk}'=672$ 要求 $mCnt'nCnt' = 84$ 且整除 $M=N=2176$（16 对齐）——$2176 = 16 \times 136$ 的因子分解受 dValue 约束后无可行组合，**B 不可行**，A1b 为最优（省 2.4%）。
**周长型场景的规律**：工作集超 L2 的 case 通常 $B$ 大或形状大 → $N_{blk}$ 大 → $n_{wave}$ 大 → 尾轮占比小（$\rho$ 小或 $w$ 大），损失/收益天然被稀释；且 $B$ 的分解可行性（$N_{blk}' = n_{wave} C$ 须分解为 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt'$ 且 16 对齐 + dValue）在此类场景常不满足。**周长型场景的"收益/损失"更多是可行性问题而非时延百分比问题**。
---
## 六、决策总表与基于 B/M/K/N 的判定流程
### 6.1 决策总表
主导项判定（§2.1 三维判据）：**面积型主导** = $T_{MMAD}$ 或 $T_{FIX}$ 最大（tile 判据 $\frac{sM \cdot sN}{sM+sN} \ge 93.5$（L2 命中）且 MMAD/FIX 间由 $K \gtrless 304$ 分）；**周长型主导** = $T_{MTE2}$ 最大（小 tile 或工作集超 L2 的 GM 直读）。
| 场景 | A0 vs A1 | A0 vs B | A1 vs B | 最优策略 |
|---|---|---|---|---|
| 面积型主导，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$ | A1a 优 | B 优 | A1a = B（选 A1a，搬移少） | A1a |
| 面积型主导，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$ | A1a 优 | B 优 | B 略优（取整损失） | A1a/B 皆可 |
| 面积型主导，$r > C/2$ | A1b 优（不退化） | B 优 | **时延严格相等**（总量守恒），离散打平 | A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b） |
| 面积型主导 + $r$ 小（$\rho < (187/s)^2$，尾轮翻出） | A1b 优但尾轮翻出 | B 优 | B 微优（~6-8%，翻出效应 §7.2.4） | B |
| 周长型主导，$\rho \ge \rho_{dv}$ 且 B 可行 | A1b 优 | B 优 | **A1b 恒优**（均值不等式） | A1b |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式成立且 B 可行 | A1b 部分凑满 | B 优 | **B 严格优** | B |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式不成立 | A1b 部分凑满 | B 优 | 打平 | A1b/B 皆可 |
| 周长型主导，B 不可行（分解自由度不足：decode 小 M、大 B 超 L2） | A1b 优 | B 不可行 | 不可比（A1b 唯一） | A1b |
| dValue 全面卡死（A1b 也不可凑满） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | B 不可行 | — | A1a/A0 |
### 6.2 基于 B/M/K/N/dtype 的直接判定流程
五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：
1. **首轮切分**：按 §2.5 搬入时延最小化枚举得 $mCnt, nCnt, sM, sN, k_{L1}$；
2. **尾轮参数**：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$，$r = N_{blk} \bmod C$，$\rho = r/C$；
3. **主导项判定**（§2.1 三维判据）：算 $T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX}$ 取最大；注意 $BW_{eff}$ 依工作集是否超 L2 取 162.5GB/s（命中）或 50GB/s（GM 直读）；
4. **dValue 可行性**：$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$；$g = n_{wave}C/N_{blk}$；$g_{dv} = (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$；**B 分解可行性**：$N_{blk}' = n_{wave} C$ 可分解为 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt'$ 且 16 对齐 + $sN' \cdot dtype \ge 256$B；
5. **单块主导项**：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$。
**决策表**：
| # | 条件 | 最优策略 | 端到端时延 |
|---|---|---|---|
| 1 | $r = 0$ | A0（无尾轮） | $n_{wave} \cdot T_{block}$ |
| 2 | 面积型主导，$0 < r \le C/2$，无翻出 | A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$ | $T_{block}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$ |
| 3 | 面积型主导，$r > C/2$，无翻出 | A1b 或 B——时延严格相等 | $T_{block}(n_{wave} - 1 + \rho)$ |
| 4 | 面积型主导，$\rho < (187/s)^2$（翻出） | B（翻出时 A1b 尾轮变周长型） | $T_{block} \cdot n_{wave}/g$（近似） |
| 5 | 周长型主导，$\rho \ge \rho_{dv}$，B 可行 | A1b | $T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$ |
| 6 | 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$ 且 B 可行 | B | $T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$ |
| 7 | 周长型主导，B 不可行 | A1b（凑不满则部分凑满）/ A1a / A0 | 按实际分解计算 |
**判定流程图**：
```
[B, M, K, N, dtype]
│
▼
<首轮枚举（§2.5）→ mCnt, nCnt, sM, sN>
│
▼
<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
│
├─ r = 0 ────────────────────▶ A0（无尾轮）
▼
<三维主导项判定（§2.1）>
│
├─ 面积型（MMAD 或 FIX 最大）
│ │
│ ├─ ρ < (187/s)²（尾轮翻出）? ── 是 ─▶ B
│ │ 否 ── r ≤ C/2 ? ── 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
│ │ 否 ─▶ A1b 或 B（时延严格相等）
│ │ （工程简洁选 B）
│
└─ 周长型（MTE2 最大）
│
├─ B 分解可行 ? ── 否 ─▶ A1b（唯一可行重切）/ A1a / A0
│
└─ 可行 ── ρ ≥ ρ_dv ? ── 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
└─ 否 ─▶ 分界公式判定：
√ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
└─ 否 ─▶ A1b/B 打平
```
---
## 七、B 方案的简化形态 B1 与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析
前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个**无脑版门限**（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？
### 7.1 B0 与 B1 的定义
- **B0（完整版 B）**：§三~§五的方案 B——与 A1b 做分界判定后选择（访存 Bound 且 $\rho \ge \rho_{dv}$ 时应选 A1b 而非 B）；
- **B1（无脑版 B）**：不做 A1b/B 分界，只要门限满足就**直接按整数轮满核切**（无论计算 Bound 还是访存 Bound）。
**B1 门限推导**：B1 要成立需两个条件——
*条件 1（有尾轮）*：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；
*条件 2（可行 + 值得）*：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。
合起来，**B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）**：
$$
\boxed{\; r > 0 \;\land\; \Big( K \ge K^* \;\lor\; g \le \Big(\frac{sN \cdot dtype}{256\text{B}}\Big)^2 \Big) \;}
$$
即：**计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切**。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。
### 7.2 B0/B1 相对 A1b 的损失分析（v1.3 按修正模型重写）
B0/B1 相对 A1b 的"损失"定义为 $T_B/T_{A1b} - 1$（B 更慢为正）。按 §2.1 的主导项缩放类型分两类讨论——**v1.3 修正模型（$T_{MTE2}$ 用全量 K、三维主导项判定）下，结论与 v1.2 有实质差异**。
#### 7.2.1 面积型主导：损失严格为 0（总量守恒）
面积型主导项（MMAD 或 FIX）的时延 $\propto$ 块面积。设主导项单块时延 $T_{block} = c \cdot sM \cdot sN$（$c$ 为与 tile 无关的系数：MMAD 时 $c = 2K/Q_{16}$，FIX 时 $c = outB/BW_{pc}$）。总量守恒：所有块的面积之和 = 总输出 $B \cdot M \cdot N$，与切分方式无关。轮轮满载时：
$$
T = \frac{\text{主导项总量}}{C} = \frac{c \cdot B \cdot M \cdot N}{C}
$$
A1b（主轮整块 + 尾轮凑满）与 B（全局均匀重切）都做到轮轮满载 → **时延严格相等，损失恒为 0**。
*证明*：$T_{A1b} = (n_{wave}-1) \cdot c \cdot A + \rho \cdot c \cdot A = cA(n_{wave}-1+\rho)$（尾轮凑满时尾轮小块面积 $= \rho A$、时延 $\rho \cdot cA$）；$T_B = n_{wave} \cdot c \cdot A/g = cA(n_{wave}-1+\rho)$（$n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$）。**严格相等**。
离散 16 对齐后互有胜负（<3%，数值依赖、无系统性方向）。**面积型主导下 B1 零损失**——这是 v1.3 相对 v1.2 最重要的修正（v1.2 用 $k_{L1}$ 版错误模型把大量面积型 case 误标为"访存 Bound"并算出 5.4%~30% 的虚假损失）。
#### 7.2.2 周长型主导：损失公式的逐步推导
周长型主导（MTE2 最大：小 tile 或工作集超 L2 的 GM 直读）时，时延 $\propto$ 周长和。分四步：
**第一步：两策略时延表达式**。A1b 主轮整块 + 尾轮 tile 缩 $\sqrt{\rho}$ 凑满 C 核：
$$
T_{A1b} = (n_{wave}-1) \cdot T_{load} + \sqrt{\rho} \cdot T_{load} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big)
$$
B：$N_{blk}' = n_{wave} C$ 块均匀重切、单块搬移缩 $\sqrt{g}$ 倍（$g = n_{wave} C/N_{blk}$）：
$$
T_B = \frac{n_{wave}}{\sqrt{g}} \cdot T_{load}
$$
**第二步：消元**。$N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$ 代入 $1/\sqrt{g} = \sqrt{N_{blk}/(n_{wave} C)}$：
$$
T_B = T_{load}\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave} - 1 + \rho\big)}
$$
**第三步：作比**。
$$
f(\rho, n_{wave}) \triangleq \frac{T_B}{T_{A1b}} = \frac{\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave}-1+\rho\big)}}{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}},\qquad \text{损失} = f - 1
$$
**第四步：最大值定位**。$f$ 对 $\rho$ 单调减、对 $n_{wave}$ 单调减（$\rho \to 1$ 或 $n_{wave} \to \infty$ 时 $f \to 1$），最大损失在 $\rho = \rho_{min} = \max(1/C, \rho_{dv})$、$n_{wave} = 2$ 处：
| $sN$（BF16） | $\rho_{dv}$ | $f_{max}-1$（理论，方形近似） |
|---|---|---|
| 256 | 0.25（r=8） | **5.4%** |
| 512 | 0.0625（r=2） | **16.6%** |
数值核验（$sN=256$、$r=8$、$n_{wave}=2$、$N_{blk}=40$、$g=1.6$）：$T_B = 2/\sqrt{1.6} = 1.581\,T_{load}$ vs $T_{A1b} = (1+\sqrt{0.25})\,T_{load} = 1.5\,T_{load}$ → $f = 1.054$ ✓。
#### 7.2.3 理论公式的可靠性：三个近似与 B 的可行性约束
损失公式建立在三个近似上，逐一审视：
**（1）方形近似与非方形惩罚**。$N_{blk}'$ 的整数分解偏离方形比例时周长和上升，惩罚因子 $p(\lambda) = (\sqrt{\lambda} + 1/\sqrt{\lambda})/2 \ge 1$（$\lambda$ 为分解长宽比）。修正后：
$$
\frac{T_B}{T_{A1b}} = \frac{n_{wave} \cdot p_B / \sqrt{g}}{(n_{wave}-1) + \sqrt{\rho} \cdot p_t}
$$
非方形惩罚同时作用于 $p_B$（B 全局分解）与 $p_t$（A1b 尾轮分解）——**损失方向由均值不等式的结构保持**（两策略在同一基准形状上缩放），但**大小偏离理论值**：$p_B > p_t$ 时放大、$p_B < p_t$ 时缩小甚至反超。理论值应视为**损失下界**。
**（2）$k_{L1}$ 的角色更正**（v1.3 修正）。$k_{L1}$ 不进时延分子（§2.1 已证稳态约掉），其影响通过 dValue/min_TileSize 约束体现：重切使周长缩小 → $k_{L1}$ 的 L1 容量上限放松，但 dValue 下限 $sN' \cdot dtype \ge 256$B 不变——**约束检查的对象是 tile 尺寸本身，$k_{L1}$ 不产生额外的时延放大**。v1.2 中"$k_{L1}$ 跨 regime 使搬移反升"的解释是 $k_{L1}$ 版错误建模的残余，本版删除。
**（3）B 的可行性约束（周长型场景的决定性因素）**。B 要求 $N_{blk}' = n_{wave} C$ 分解为 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt'$ 且 16 对齐 + dValue。三重约束叠加下，**周长型场景（工作集超 L2 的大 B 小形状、或 decode 小 M）中 B 常不可行**：
- decode $M$ 小（$M \le 128$）：$mCnt = 1$ 固定，B 只能沿 N 加密——$nCnt' = n_{wave} C / B$ 常使 $sN' = N/nCnt' < 16$ 或跌破 dValue 下限 → **B 不可行，A1b 是唯一可行的重切方案**（例：B=100、M=64、N=3328：$N_{blk}'=1312$ 要求 $sN'=2.5$，不可行）；
- 工作集超 L2 的大 B case：$N_{blk}'$ 大、$mCnt'nCnt'$ 分解受 dValue/整除约束 → 常不可行（§5.4 例 3/4）。
**此时"损失"问题转化为可行性问题——B 不可用，A1b/A1a/A0 承接。**
#### 7.2.4 尾轮小块的主导项翻转（面积型场景的边界修正）
面积型主导下 A1b 的尾轮 tile 缩到 $s_t = s\sqrt{\rho}$；tile 缩小使周长/面积比上升，$s_t$ 跌破搬入临界（$s_t \lesssim 187$，L2 命中）时**尾轮小块的主导项从面积型翻转为周长型**（搬入翻出），尾轮时延高于面积型公式 $\rho \cdot T_{block}$。翻转条件：
$$
s\sqrt{\rho} < 187 \iff \rho < \Big(\frac{187}{s}\Big)^2
$$
$s=256$ 时 $\rho < 0.533$（$r < 17$）即翻出。此时 A1b 尾轮时延按周长型计算（$T_{tail} = T_{load}(s_t)$），B 的全局 tile $s/\sqrt{g}$ 缩得更温和（$1/\sqrt{g} > \sqrt{\rho}$ 恒成立）更不易翻出——**$r$ 小的面积型 case 中 B 可微优（例：M=N=1536、K=256 的 FIX 主导 case，B 微优约 6%）**。
#### 7.2.5 主流 prefill/decode 场景的实际损失
大模型推理 BMM 典型形状：prefill B∈[2,128]、M∈[4k,128k]、K/N∈[128,10240]；decode B∈[2,128]、M∈[1,128]、K/N∈[128,10240]。
**（1）prefill（M 大）：面积型主导 + 大 $n_{wave}$ → 损失 0**
- $M, N$ 为 256 倍数（主流模型维度 4096/8192/14336 均是）：$mCnt = M/256$、$nCnt = N/256$ 含充足 2 的幂因子，$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 对 $B \ge 2$ 几乎恒为 32 倍数 → **$r=0$ 无尾轮，损失 0**；
- $M$ 奇异（seq_len 非 256 倍数，如 M=4224）：$N_{blk}$ 大、$n_{wave} \ge 9$ → 即使触发尾轮，面积型主导下 A1b 与 B 严格打平 → **损失 0**；
- tile 判据：$sM=sN=256$、$sM \cdot sN/(sM+sN) = 128 > 93.5$（L2 命中临界）→ 搬入不主导；K 任意时 MMAD（$K \ge 304$）或 FIX（$K < 304$）主导——**恒面积型**。
**（2）decode（M ≤ 128 小）：周长型主导但 B 常不可行 → A1b 主力**
- $M$ 小 → tile 面积小（$sM = M$）→ tile 判据 $M \cdot sN/(M+sN)$ 小（如 M=64、sN=256：$51.2 < 93.5$）→ **周长型主导**；
- 但 $mCnt=1$ 固定 → B 的全局重切只能沿 N 加密，$sN' = N/(n_{wave} C/B)$ 常跌破 16 或 dValue 下限 → **B 不可行**（§7.2.3(3)）；
- A1b 尾轮局部重切（tile $(M, sN_t)$ 只缩 N 向）可行 → **A1b 是唯一可行的重切方案，无损失可言（B 不在可选集）**；
- $w=1$（$N_{blk} < C$，如 B=8、N=512）：核填不满，属降核/并行度不足场景，不在尾轮讨论范围。
**（3）主流场景损失结论**
| 场景 | 主导项类型 | B 可行性 | B0/B1 相对 A1b 损失 |
|---|---|---|---|
| prefill，$M,N$ 为 256 倍数 | — | — | **0（$r=0$ 无尾轮）** |
| prefill，$M$ 奇异 | 面积型 | 可行 | **0（严格打平；离散 <3% 互有胜负）** |
| decode，$M \le 128$ | 周长型 | **常不可行** | 不可比（A1b 唯一可行） |
| 工作集超 L2 的大 B case | 周长型 | 常不可行 | 不可比 / A1b 优 |
| 周长型 + B 可行 + $\rho \ge \rho_{dv}$ + $n_{wave}=2$ | 周长型 | 可行 | ≤ **5.4%**（$sN=256$）/ 16.6%（$sN=512$，理论下界） |
| 面积型 + $r$ 小（$\rho < 0.53$） | 面积型（尾轮翻出周长型） | 可行 | ≤ 0（B 微优 ~6%，翻出效应） |
**v1.2 的"~30% 极端例损失"是 $k_{L1}$ 错误模型的产物**——正确模型（K 版 + 三维主导项）下该例（M=16896、N=512、K=140）为 FIX 面积型主导，A1b 与 B 打平（差异 <1%）。**主流 prefill/decode case 中 B1 零损失或不可比（B 不可行时 A1b 承接）——B1 在主流场景是安全的工程选择。**
### 7.3 损失汇总与工程建议
| 场景（修正模型：K 版 $T_{MTE2}$ + 三维主导项） | B0/B1 相对 A1b 的损失 | 说明 |
|---|---|---|
| 面积型主导（MMAD：$K \ge 304$；FIX：$K < 304$ 且 tile 大） | **0**（严格打平，总量守恒） | 主流 prefill/decode 均属此类；离散对齐 <3% 互有胜负 |
| 面积型主导 + $r$ 小（$\rho < (187/s)^2$，尾轮翻出） | ≤ 0（B 微优 ~6-8%） | 翻出效应（§7.2.4），A1b 尾轮 tile 太小 |
| 周长型主导（MTE2），B 可行，$\rho \ge \rho_{dv}$，$n_{wave}=2$ | ≤ **5.4%**（$sN=256$）/ 16.6%（$sN=512$，理论下界） | $f(\rho)-1$ 公式；实际 case 罕见 |
| 周长型主导，B 不可行（decode 小 M、大 B 超 L2） | 不可比（A1b 唯一可行） | 可行性问题而非损失问题 |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$（A1b dValue 卡死）且 B 可行 | ≤ 0（B 反超）或打平 | 分界公式 §5.3(iii) |
| 主流 prefill/decode case | **0 ~ 2.5%** | §7.2.5 |
**工程建议**（v1.3 刷新）：
1. **B1（无脑整数轮满核切）在主流场景是安全的**：面积型主导下与 A1b 时延严格相等（零损失）；prefill 大 M/N 场景 $r=0$ 居多（256 倍数）；
2. **decode 小 M 场景 B 常不可行**（$mCnt=1$、分解自由度不足）——A1b 是唯一可行的重切方案，B1 门限须包含分解可行性检查，不可行时回落 A1b；
3. **周长型 + B 可行 + $n_{wave}=2$ + $\rho=\rho_{dv}$ 的边角 case**损失理论 5.4%~16.6%（下界），此类 case 应落到 A1b 或按 §5.3 分界公式精确判定（B0）；
4. v1.2 的"~30% 极端例损失"是 $k_{L1}$ 错误模型产物，修正模型下该例打平（<1%）——**不存在 30% 量级的真实损失场景**；
5. B1 门限闭式（§7.1），host 端零成本。
## 八、边界说明
1. **带宽模型敏感性**：访存 Bound 结论依赖"每核 MTE2 带宽上限 $BW_{pc}$"假设。若 HBM 为全局共享池（尾轮 $r$ 核可吃满 $W_{GM}$），A0 尾轮搬移时延已是 $\rho \cdot T_{load}$ 接近理想，A1b/B 的搬移增量无带宽补偿，结论反转。昇腾 950PR 的 MTE2 为每核独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，采用固定份额结论；临界 case 建议实测复核。
2. **A1b 的工程代价**：需两套 tile 参数（主轮大 tile + 尾轮小 tile）与尾轮区域的边界处理（$r$ 个原块的并一般为 L 形，按矩形分解重切）；host 端多一次枚举，NPU 侧 kernel 需支持尾轮 tile 尺寸切换。这些复杂度不改变时延结论，但影响实现成本。
3. **方形基准的适用条件**：§2.5 已述——K 全载时方形严格最优、L1 主导时仅面积相关。非方形分解的实际收益由同一目标函数评估，例 5 的非方形惩罚即此体现。
4. **B 不整除 $N_{blk}'$**：$B \nmid N_{blk}'$ 时按 batch 分组切分、部分 batch 多一块，收益略降，判定不变。
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## 参考文献
1. [昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)，华为技术有限公司，2026
2. [cann-ops-nn 源码仓（BatchMatMulV3）](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)：kernel 侧尾轮线性映射见 `op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h`（`UpdateBasicIndex`：`index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum`，`if (index < totalCnt)` 跳过空转核——即本文的策略 A0）