v1.1：新增 §七 B1 无脑版门限 + B0/B1 相对 A1b 损失分析；兜底分支适用范围说明
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<title>BMM 尾轮处理策略对比分析 v1.1</title>
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<h1>BMM 尾轮处理策略对比分析：不重切 / 尾轮重切 / 整轮均匀重切</h1>
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<blockquote>目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。<br>版本：v1.1，2026-08-31（新增 §七 B1 无脑版门限与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析；§1.1 补充兜底分支适用范围说明）<br>历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）</blockquote>
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<h2>摘要</h2>
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<p>BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：<b>A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切）</b>，在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。</p>
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<p>核心结论：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>A0 从来不是最优</b>（$r > 0$ 时 A1 或 B 严格优）；</li>
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<li><b>A1a 是 A1b 的真子集</b>（枚举空间包含关系），A1b 恒不劣于 A1a；</li>
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<li><b>计算 Bound</b>：A1b 与 B 理论时延严格相等（总计算量/C 守恒），A1b 搬移周长和恒 ≤ B（均值不等式）——时延打平、按工程权衡选择；</li>
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<li><b>访存 Bound</b>：$\rho \ge \rho_{dv}$（尾轮占比 ≥ dValue 平方阈值）时 A1b 严格优；$\rho < \rho_{dv}$ 时 A1b 被 dValue 卡死，B 严格优当且仅当 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$——<b>B 反超的唯一通道是 dValue</b>：A1b 的尾轮 tile 缩放 $\sqrt{\rho}$ 恒狠于 B 的 $1/\sqrt{g}$（$\rho < 1/g$ 恒成立），卡死更深时 B 胜出，该区间窄且临界实测打平；</li>
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<li>给出<b>基于 B/M/K/N/dtype 的闭式判定流程</b>：五步前置计算 + 决策表，无需逐项仿真；</li>
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<li><b>v1.1 新增 §七</b>：B 的简化形态 <b>B1</b>（无脑版：满足门限就直接整数轮满核切，门限闭式 $r>0 \land (K \ge K^* \lor g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2)$）与 <b>B0/B1 相对 A1b 的损失分析</b>——计算 Bound 零损失；访存 Bound 损失公式 $f(\rho)-1$，典型 $sN=256$ 时 ≤5.4%，极端长宽比 + 窄 $K$ 区间的边角 case 理论 16.6%、实际（kL1 跨 regime + 非方形分解）可达 ~30%。</li>
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</ol>
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<h2>一、问题背景与执行模型</h2>
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<h3>1.1 BMM 的核间切分与数据流</h3>
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<p>BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。<b>适用范围说明</b>：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 $M \times N$ 被切为 $mCnt \times nCnt$ 个块，乘上 batch 维共 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个独立输出块，按序分配到 $C$ 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：</p>
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<pre><code>GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
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↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑</code></pre>
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<p>核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。</p>
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<h3>1.2 尾轮问题</h3>
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<p>块按序分配：核 $i$ 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 $N_{blk}$ 不能被 $C$ 整除时，最后一轮（尾轮）只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核有块可算，$C - r$ 个核空转一个整块时间。</p>
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<p><b>问题</b>：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？</p>
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<h3>1.3 硬件规格与符号定义</h3>
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<p>昇腾 950PR 关键规格（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)）：</p>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>取值</th></tr>
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<tr><td>$C$</td><td>AIC 核数</td><td>32</td></tr>
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<tr><td>$Q_{16}$</td><td>单核 Cube BF16 峰值算力</td><td>486/32 ≈ 15.2 TFLOPS</td></tr>
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<tr><td>$W_{GM}$</td><td>GM（HBM）总带宽</td><td>1.6 TB/s</td></tr>
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<tr><td>$BW_{pc}$</td><td>单核 GM 带宽份额</td><td>$W_{GM}/C = 50$ GB/s</td></tr>
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<tr><td>$L1$</td><td>L1 容量/核</td><td>512 KB</td></tr>
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<tr><td>$L0C$</td><td>L0C 容量/核</td><td>256 KB</td></tr>
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<tr><td>$dtype$ / $outB$</td><td>输入/输出元素字节数</td><td>BF16 → 2B</td></tr></table>
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<p>*Tiling 符号*：$sM, sN$ = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；$k_{L1}$ = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。</p>
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<p>*尾轮符号*：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。</p>
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<hr>
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<h2>二、基础模型</h2>
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<h3>2.1 单块时延三项</h3>
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<p>单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延：</p>
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<div class="math">$$
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T_{MMAD} = \frac{2 \cdot sM \cdot sN \cdot K}{Q_{16}},\qquad T_{MTE2} = \frac{(sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype}{BW_{pc}},\qquad T_{FIX} = \frac{sM \cdot sN \cdot outB}{BW_{pc}}
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$$</div>
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<p>其中 $k_{L1} = \min\big(K,\; \lfloor L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype) \rfloor_{16}\big)$（L1 双缓冲容量约束）。单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$（三段流水掩盖，瓶颈项决定）。</p>
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<p><b>Bound 判据</b>（由 $T_{MMAD} = T_{MTE2}$ 解出）：</p>
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<div class="math">$$
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K^* = \frac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 \cdot BW_{pc}}\Big(\frac{1}{sM} + \frac{1}{sN}\Big)
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$$</div>
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<p>$K \ge K^*$ 为计算 Bound，否则访存 Bound（例：$sM=sN=256$、$k_{L1}=256$、BF16 时 $K^* \approx 608$）。</p>
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<h3>2.2 块几何缩放律（全文分析的枢纽）</h3>
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<p>把块数放大 $g$ 倍（面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）时：</p>
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<table><tr><th>时延项</th><th>依赖</th><th>缩放律</th></tr>
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<tr><td>$T_{MMAD}$</td><td>$\propto$ 面积 $sM \cdot sN$</td><td>$\propto g^{-1}$</td></tr>
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<tr><td>$T_{MTE2}$</td><td>$\propto$ 周长 $(sM + sN)$</td><td>$\propto g^{-1/2}$</td></tr>
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<tr><td>$T_{FIX}$</td><td>$\propto$ 面积</td><td>$\propto g^{-1}$（总量与切分无关）</td></tr></table>
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<p><b>搬移随周长缩放是关键</b>：切分越多，计算缩 $g$ 倍而搬移只缩 $\sqrt{g}$ 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$）。</p>
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<h3>2.3 搬移效率约束</h3>
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<p>GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>dValue ≥ 256B</b>（DMA 硬件突发下限）：dValue 是 ND 排布中连续维的字节数——B 矩阵非转置 $[K, N]$ 时连续维为 N，dValue = $sN \cdot dtype$；B 转置 $[N, K]$ 时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$；A 非转置 $[M, K]$ 的 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$（**A 的 dValue 由 K 向保证，不约束 $sM$；B 非转置时 $sN$ 有 256B 下限——约束非对称**）；</li>
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<li><b>单次搬移量 ≥ min_TileSize</b>（推荐 16KB）：如 $k_{L1} \cdot sN \cdot dtype \ge 16$KB。</li>
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</ol>
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<h3>2.4 带宽模型声明</h3>
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<p>昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为**每核带宽上限 $BW_{pc} = W_{GM}/C$**。该假设下尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc} < W_{GM}$，尾轮搬移不加速——$r$ 个整块用 $r$ 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。</p>
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<h3>2.5 首轮切分基准（近方形的来源与适用条件）</h3>
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<p>尾轮策略建立在首轮切分 $(mCnt, nCnt, sM, sN)$ 之上。首轮由<b>搬入时延最小化</b>确定：$T_{MTE2}^{total} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$，在块数约束下枚举取最优。其连续极限为<b>方形</b>（$sM = sN$）：$k_{L1} = K$（K 全载）时，面积固定使周长最小化 → 均值不等式给出方形严格最优；$k_{L1}$ 被 L1 容量压低（K 大）时，$(1/sM+1/sN) \cdot L1/(2(sM{+}sN)dtype) = L1/(2 \cdot sM \cdot sN \cdot dtype)$——<b>只与面积有关、与长宽比无关</b>，形状自由度释放。本文的缩放律以近方形为基准形态（线性尺寸 $\sqrt{g}$ 缩放）；非方形分解的实际收益由同一目标函数另行评估（§四的"非方形惩罚"即此体现）。</p>
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<hr>
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<h2>三、四种策略定义与实现方式</h2>
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<h3>3.1 策略定义</h3>
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<table><tr><th>策略</th><th>做法</th><th>块大小</th></tr>
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<tr><td><b>A0：不重切</b></td><td>尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转</td><td>主轮尾轮同大小</td></tr>
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<tr><td><b>A1a：尾轮整数倍切分</b></td><td>尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核</td><td>主轮整块 + 尾轮 $1/s^*$ 小块</td></tr>
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<tr><td><b>A1b：尾轮 tile 重选凑满核</b></td><td>尾轮 $r$ 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，凑满 C 核</td><td>主轮整块 + 尾轮小 tile</td></tr>
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<tr><td><b>B：整轮均匀重切</b></td><td>总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块</td><td>全部块同大小</td></tr></table>
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<p><b>实现方式对比</b>：</p>
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<table><tr><th>策略</th><th>host 侧 tiling</th><th>kernel 侧执行</th><th>tile 参数套数</th></tr>
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<tr><td>A0</td><td>一套参数</td><td>线性映射 <code>index = blockIdx + round × usedCoreNum</code>，尾轮不满载核跳过</td><td>1</td></tr>
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<tr><td>A1a</td><td>主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$）</td><td>最后一轮切换小块尺寸</td><td>2</td></tr>
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<tr><td>A1b</td><td>主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$）</td><td>尾轮区域独立子网格映射</td><td>2</td></tr>
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<tr><td>B</td><td>一套重切后参数</td><td>全程统一 tile，无尾轮分支</td><td>1</td></tr></table>
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<p><b>对齐约束的平等性</b>：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，<b>四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数</b>，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。</p>
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<h3>3.2 A1b 的 tile 确定与 A1a ⊆ A1b 证明</h3>
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<p>A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：</p>
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<div class="math">$$
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s_t^* = sM \cdot \sqrt{\frac{r}{C}} \quad (sM = sN \text{ 时})
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$$</div>
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<p>再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（$(sM_t, sN_t)$ 独立按 16 步进）选最贴合的组合。</p>
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<p><b>A1a 是 A1b 的真子集</b>：A1a 的尾轮 tile 为 $(sM, sN/s^*)$ 或 $(sM/s^*, sN)$（$s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\}$ 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、$sN_t = sN/s^*$ 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：</p>
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<div class="math">$$
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T_{A1b} = \min_{\Omega_{A1b}} T \;\le\; \min_{\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}} T = T_{A1a}
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$$</div>
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<p><b>A1b 恒不劣于 A1a</b>，且通常严格优：A1a 受"$s^*$ 整数"与"每块切同样份数"双重限制（$r > C/2$ 时 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 $r \le C/2$ 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。</p>
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<h3>3.3 三策略通用时延式</h3>
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<div class="math">$$
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T_{A0} = n_{wave} \cdot T_{block},\qquad T_{A1} = (n_{wave}-1) \cdot T_{block} + T_{tail},\qquad T_B = n_{wave} \cdot T_{block}'
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$$</div>
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<p>A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。</p>
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<hr>
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<h2>四、计算 Bound 完整推导（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$）</h2>
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<h3>4.1 A0 vs A1</h3>
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<p>A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。$r > C/2$ 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：</p>
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<div class="math">$$
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\Delta_{A0 \to A1b}^{calc} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{r}{C}\Big)
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$$</div>
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<p><b>A1 恒优于 A0</b>（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。</p>
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<h3>4.2 A0 vs B</h3>
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<p>代入 $T_{block}' = T_{MMAD}/g$ 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：</p>
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<div class="math">$$
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||||
\Delta_{A0 \to B}^{calc} = n_{wave} T_{MMAD} - T_{MMAD}\Big(n_{wave} - 1 + \frac{r}{C}\Big) = T_{MMAD} \cdot \frac{C - r}{C} > 0
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$$</div>
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<p><b>B 恒优于 A0</b>（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。</p>
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<h3>4.3 A1 vs B</h3>
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<p>A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ <b>理论时延严格相等</b>——两者都是"总计算量/C"（计算 Bound 下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。</p>
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<p>结构性差异在搬移量（周长和）：A1b 主轮保持大 tile、只缩尾轮；B 全局均匀缩小。设方形 tile 边长 $s$：</p>
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<div class="math">$$
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S_{A1b} = 2sC\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big),\qquad S_B = 2sC\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave} - 1 + \rho\big)}
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$$</div>
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<div class="math">$$
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\big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big)^2 \le n_{wave}(n_{wave}-1+\rho) \iff 2\sqrt{\rho} \le 1 + \rho \iff (\sqrt{\rho}-1)^2 \ge 0 \quad \checkmark
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$$</div>
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<p><b>均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B</b>（等号当 $\rho = 1$ 即无尾轮）。搬移少意味着 L2 重复读少、掩盖余量更大。</p>
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<p><b>结论（计算 Bound）</b>：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬移周长和恒 ≤ B（结构性）。<b>工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。</b></p>
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<h3>4.4 数值实例</h3>
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<p>*例 1（$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。$T_{MMAD}=35.3\mu s$。</p>
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<ul class="tight">
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<li>A0：$70.6\mu s$；A1a：$s^* = \lfloor 32/17 \rfloor = 1$ 失效；</li>
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<li>A1b 非方形枚举 $(sM_t, sN_t) = (224, 160)$：尾轮 $\lceil 17 \times 256^2/35840 \rceil = 32$ 块恰好凑满，尾轮时延 $19.3\mu s$，$T_{A1b} = 54.6\mu s$；</li>
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||||
<li>B：$N_{blk}'=64=8\times8$、$sM'=sN'=224$，$T_B = 54.1\mu s$。</li>
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||||
</ul>
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<p>A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%）；周长和此例恰好持平（28672 = 28672）。<b>相对 A0 均省约 23%</b>。</p>
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<p>*例 2（$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。<b>A1a = B</b>（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。</p>
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<hr>
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<h2>五、访存 Bound 完整推导（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$）</h2>
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<p>主导项 $T_{block} = T_{load} = (sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。</p>
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<h3>5.1 A0 vs A1</h3>
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<p>A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（**A 行带 $[sM, k_{L1}]$ 每个小块都要完整搬一次，不随 $s^*$ 缩小**——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$：</p>
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<div class="math">$$
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\Delta_{A0 \to A1a}^{mem} = \frac{T_{load}}{2}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big)
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$$</div>
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<p>受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。</p>
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<p>A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：</p>
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<div class="math">$$
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T_{tail}^{A1b} = \sqrt{\rho} \cdot T_{load},\qquad \Delta_{A0 \to A1b}^{mem} = T_{load}\big(1 - \sqrt{\rho}\big) > 0
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$$</div>
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<p><b>A1 恒优于 A0</b>（dValue 允许时）。</p>
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<h3>5.2 A0 vs B</h3>
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<div class="math">$$
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\Delta_{A0 \to B}^{mem} = n_{wave} T_{load}\Big(1 - \frac{1}{\sqrt{g}}\Big) > 0 \quad (g > 1)
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$$</div>
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<p><b>B 恒优于 A0</b>（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。物理解释：尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。</p>
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<h3>5.3 A1 vs B——完整分界推导</h3>
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<p>**（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：</p>
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<div class="math">$$
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\frac{T_{A1b}^{mem}}{T_B^{mem}} = \frac{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}}{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}} \le 1
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$$</div>
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<p><b>A1b 恒不劣于 B</b>，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%）。</p>
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<p><b>（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严</b>。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：</p>
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<div class="math">$$
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\rho < \frac{1}{g} \iff \rho \cdot n_{wave} < n_{wave} - 1 + \rho \iff \rho(n_{wave} - 1) < n_{wave} - 1 \iff \rho < 1 \quad \checkmark \text{（} r < C \text{ 恒成立）}
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$$</div>
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<p><b>物理含义</b>：A1b 只缩尾轮 $r$ 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。<b>这是 B 可能反超的唯一通道</b>。</p>
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<p><b>（iii）三区间判定</b>（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：</p>
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<table><tr><th>区间</th><th>条件</th><th>结论</th></tr>
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<tr><td>I</td><td>$\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 $1/g > \rho \ge \rho_{dv}$ 故 B 也可行）</td><td><b>A1b 恒优</b>（均值不等式）</td></tr>
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||||
<tr><td>II</td><td>$\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行）</td><td>分界公式判定（下）</td></tr>
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<tr><td>III</td><td>$\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死）</td><td>A0/A1a 兜底</td></tr></table>
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<p>区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 $s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}}$ 缩放）：</p>
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<div class="math">$$
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T_{A1b}^{dv} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho_{dv}}\big),\qquad T_B = \frac{n_{wave}}{\sqrt{g}} \cdot T_{load}
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$$</div>
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<p><b>B 严格优当且仅当</b>：</p>
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<div class="math">$$
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\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave} \cdot \sqrt{\frac{n_{wave} - 1 + \rho}{n_{wave}}} - (n_{wave} - 1)
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$$</div>
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<p>物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 $\rho$ 减小；而 B 的 $n_{wave}/\sqrt{g}$ 随 $\rho$ 减小而降低（全局重切幅度减小）。$\rho$ 足够小（卡死足够深）时 B 反超。</p>
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<h3>5.4 数值实例</h3>
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<p>*例 3（$\rho$ 小、dValue 卡死，临界打平）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$、$\rho_{dv}=0.25$。$T_{load} = 5.24\mu s$。</p>
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<ul class="tight">
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<li>A0：$10.5\mu s$；A1a：$s^* = 2$（dValue 卡死），$T_{A1a} = 9.2\mu s$；</li>
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<li>A1b：$s_t^* = 256\sqrt{0.125} = 90.5 < 128$（dValue 下限）<b>卡死</b>，只能 $s_t = 128$，尾轮 16 块（半满载），$T_{A1b} = 7.9\mu s$（理论无约束值 $7.1\mu s$ 达不到）；</li>
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<li>B：$N_{blk}'=64$、$sM'=sN'=192$，$T_B = 7.9\mu s$。</li>
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</ul>
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<p>分界公式核验：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2/\sqrt{1.78} - 1 = 0.5$——<b>两侧精确相等</b>，实测 A1b = B = 7.9μs 打平 ✓（公式精确捕捉临界点）。</p>
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<p>*例 4（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 优）*：M=N=2304、K=256、BF16。$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype = 373\text{B} \ge 256\text{B}$ ✓。</p>
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<ul class="tight">
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<li>A0：$15.7\mu s$；A1a：$s^* = 1$ 失效；</li>
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<li>A1b：$s_t = 192$，尾轮 32 块，$T_{A1b} = 2 \times 5.24 + 3.93 = 14.4\mu s$；</li>
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||||
<li>B：$N_{blk}'=96$、$(8,12)$ 分解（$sM'=288, sN'=192$），$T_B = 14.7\mu s$。</li>
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</ul>
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<p><b>A1b 优 2.2%</b>（周长和 $45056 < 46080$）。</p>
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<p>*例 5（$\rho$ 更小、临界区）*：M=1280、N=1792、K=256、BF16。$mCnt=5, nCnt=7$、$N_{blk}=35$、$n_{wave}=2$、$r=3$、$\rho=0.094$。</p>
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<ul class="tight">
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<li>A1b：$s_t^* = 78.4 < 128$ 卡死，$s_t=128$、尾轮 12 块，$T_{A1b} = 5.24 + 2.62 = 7.9\mu s$；</li>
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<li>B：$N_{blk}'=64$、$(8,8)$ 分解（$sM'=160, sN'=224$），$T_B = 7.9\mu s$。</li>
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</ul>
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<p>分界公式：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2\sqrt{1.094/2} - 1 = 0.479$——公式判定 B 微优（理论差 0.11μs），实际 B 的非方形分解惩罚（周长 384 vs 方形 379）抵消理论优势，实测打平。<b>B 优的区间存在但窄，且实际分解的非方形惩罚会进一步压缩</b>。</p>
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<hr>
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<h2>六、决策总表与基于 B/M/K/N 的判定流程</h2>
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<h3>6.1 决策总表</h3>
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<table><tr><th>场景</th><th>A0 vs A1</th><th>A0 vs B</th><th>A1 vs B</th><th>最优策略</th></tr>
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<tr><td>计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$</td><td>A1a 优</td><td>B 优</td><td>A1a = B（选 A1a，搬移少）</td><td>A1a</td></tr>
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||||
<tr><td>计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$</td><td>A1a 优</td><td>B 优</td><td>B 略优（取整损失）</td><td>A1a/B 皆可</td></tr>
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||||
<tr><td>计算 Bound，$r > C/2$</td><td>A1b 优（不退化）</td><td>B 优</td><td>时延理论相等，离散打平（A1b 周长和 ≤ B）</td><td>A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b）</td></tr>
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||||
<tr><td>访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$</td><td>A1b 优</td><td>B 优</td><td><b>A1b 恒优</b>（均值不等式）</td><td>A1b</td></tr>
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||||
<tr><td>访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式成立</td><td>A1b 部分凑满</td><td>B 优</td><td><b>B 严格优</b></td><td>B</td></tr>
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||||
<tr><td>访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式不成立</td><td>A1b 部分凑满</td><td>B 优</td><td>打平</td><td>A1b/B 皆可</td></tr>
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||||
<tr><td>dValue 全面卡死（B 也不可行）</td><td>A1a（$s^* \ge 2$）或 A0</td><td>B 不可行</td><td>—</td><td>A1a/A0</td></tr></table>
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<h3>6.2 基于 B/M/K/N/dtype 的直接判定流程</h3>
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<p>五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>首轮切分</b>：按搬入时延最小化枚举得 $mCnt, nCnt, sM, sN, k_{L1}$；</li>
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||||
<li><b>尾轮参数</b>：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$，$r = N_{blk} \bmod C$，$\rho = r/C$；</li>
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||||
<li><b>Bound 判定</b>：$K^* = \dfrac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}\Big(\dfrac{1}{sM} + \dfrac{1}{sN}\Big)$，$K \ge K^*$ → 计算 Bound；</li>
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||||
<li><b>dValue 可行性</b>：$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$；$g = n_{wave}C/N_{blk}$；$g_{dv} = (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$；</li>
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||||
<li><b>单块主导项</b>：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{load})$。</li>
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||||
</ol>
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||||
<p><b>决策表</b>：</p>
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<table><tr><th>#</th><th>条件</th><th>最优策略</th><th>端到端时延</th></tr>
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||||
<tr><td>1</td><td>$r = 0$</td><td>A0（无尾轮）</td><td>$n_{wave} \cdot T_{block}$</td></tr>
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||||
<tr><td>2</td><td>计算 Bound，$0 < r \le C/2$</td><td>A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$</td><td>$T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$</td></tr>
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||||
<tr><td>3</td><td>计算 Bound，$r > C/2$</td><td>A1b 或 B——时延理论相等</td><td>$T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$</td></tr>
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||||
<tr><td>4</td><td>访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$</td><td>A1b</td><td>$T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$</td></tr>
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||||
<tr><td>5</td><td>访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$ 且 $g \le g_{dv}$</td><td>B</td><td>$T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$</td></tr>
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||||
<tr><td>6</td><td>访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 但分界公式不满足</td><td>A1b（部分凑满）或 B，打平</td><td>$T_{load}(n_{wave}-1+\sqrt{\rho_{dv}}) \approx T_B$</td></tr>
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||||
<tr><td>7</td><td>访存 Bound，B 也不可行（$g > g_{dv}$）</td><td>A1a（$s^* \ge 2$）或 A0</td><td>$T_{load}(n_{wave}-1) + T_{load}(1+1/s^*)/2$</td></tr></table>
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||||
<p><b>判定流程图</b>：</p>
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<pre><code>[B, M, K, N, dtype]
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│
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▼
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<首轮枚举 → mCnt, nCnt, sM, sN, kL1>
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│
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▼
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<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
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||||
│
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├─ r = 0 ────────────────▶ A0（无尾轮）
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||||
▼
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||||
<K ≥ K* ?（计算 Bound）>
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│
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||||
├─ 是 ── r ≤ C/2 ? ──┬─ 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
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||||
│ └─ 否 ─▶ A1b（s_t = sM√ρ ↓16，可非方形枚举）或 B
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||||
│ （时延相等；工程简洁选 B）
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||||
│
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||||
└─ 否（访存 Bound）── ρ ≥ ρ_dv ? ──┬─ 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
|
||||
└─ 否 ─▶ 分界公式判定：
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√ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
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||||
└─ 否 ─▶ A1b/B 打平</code></pre>
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<hr>
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<h2>七、B 方案的简化形态 B1 与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析</h2>
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<p>前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个<b>无脑版门限</b>（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？</p>
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<h3>7.1 B0 与 B1 的定义</h3>
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<ul class="tight">
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<li><b>B0（完整版 B）</b>：§三~§五的方案 B——与 A1b 做分界判定后选择（访存 Bound 且 $\rho \ge \rho_{dv}$ 时应选 A1b 而非 B）；</li>
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||||
<li><b>B1（无脑版 B）</b>：不做 A1b/B 分界，只要门限满足就<b>直接按整数轮满核切</b>（无论计算 Bound 还是访存 Bound）。</li>
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</ul>
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||||
<p><b>B1 门限推导</b>：B1 要成立需两个条件——</p>
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<p>*条件 1（有尾轮）*：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；</p>
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<p>*条件 2（可行 + 值得）*：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。</p>
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||||
<p>合起来，<b>B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）</b>：</p>
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<div class="math">$$
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\boxed{\; r > 0 \;\land\; \Big( K \ge K^* \;\lor\; g \le \Big(\frac{sN \cdot dtype}{256\text{B}}\Big)^2 \Big) \;}
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$$</div>
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||||
<p>即：**计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切**。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。</p>
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<h3>7.2 B0/B1 相对 A1b 的损失分析</h3>
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<p><b>计算 Bound：损失严格为 0</b>。§4.3 已证 $T_{A1b} = T_B = T_{MMAD}(n_{wave}-1+\rho)$（总计算量/C 守恒）——B1 在计算 Bound 下零损失。唯一差异是搬移量（周长和 A1b ≤ B），但计算 Bound 下搬移被掩盖，不体现为时延。</p>
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||||
<p>**访存 Bound：损失集中在区间 I（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**。由 §5.3(i)：</p>
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<div class="math">$$
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||||
\text{损失} = \frac{T_B}{T_{A1b}} - 1 = \frac{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}}{n_{wave}-1+\sqrt{\rho}} - 1 \triangleq f(\rho) - 1
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||||
$$</div>
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||||
<p>*损失对 $\rho$ 单调减*（$\rho \to 1$ 时 $f \to 1$），故**最大损失在 $\rho$ 最小处取得**，且 $n_{wave}$ 越小损失越大：</p>
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||||
<div class="math">$$
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||||
f_{max} = f(\rho_{min}), \qquad \rho_{min} = \max\Big(\frac{1}{C},\; \rho_{dv}\Big), \qquad n_{wave} = 2
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||||
$$</div>
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||||
<table><tr><th>$sN$（BF16）</th><th>$\rho_{dv}$</th><th>$\rho_{min}$</th><th>$f_{max}-1$（理论，方形近似）</th></tr>
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<tr><td>256</td><td>0.25</td><td>0.25（r=8）</td><td><b>5.4%</b></td></tr>
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||||
<tr><td>512</td><td>0.0625</td><td>0.0625（r=2）</td><td><b>16.6%</b></td></tr>
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||||
<tr><td>≥1024</td><td>≤0.016</td><td>0.031（r=1）</td><td>22.0%（理论值，但访存 Bound 不存在，见下）</td></tr></table>
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||||
<p>**注意大 $sN$ 场景的访存 Bound 自消失**：$K^*$ 与 tile 周长成反比（§2.1），$sM=sN=s$ 时访存 Bound 要求 $K < K^*$；$K$ 全载 regime 下该不等式化简为 $1/sM + 1/sN > 2 BW_{pc}/(dtype \cdot Q_{16}) = 0.00329$，即 $s < 608$；L1 主导 regime 下 $K^* = L1 \cdot Q_{16}/(4 BW_{pc} \cdot s^2)$ 且需 $K > k_{L1}$——$s=512$ 时区间已收窄至 $K \in (128, 152)$，$s \ge 608$ 时区间为空。**$sN \ge 1024$ 的 case 恒为计算 Bound，B1 零损失**——表中 22% 的理论最大值实际不可达。</p>
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||||
<p>*实际损失可超理论值（kL1 跨 regime 与非方形惩罚）*：缩放律假设 $k_{L1}$ 不变，但重切使周长缩小 → L1 约束放松 → $k_{L1}$ 可能从 L1 主导值升至 $K$（全载），每块搬移量反升；同时 $N_{blk}'$ 的整数分解偏离方形时周长和高于理论值。</p>
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<p>*最大损失实例*：M=16896、N=512、K=140、BF16（$mCnt=33, nCnt=1$、$sM=sN=512$、$N_{blk}=34$、$n_{wave}=2$、$r=2$、$\rho=\rho_{dv}=0.0625$）：</p>
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<ul class="tight">
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<li>A0：$2 \times 5.24 = 10.5\mu s$（$k_{L1}=128$）；</li>
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<li>A1b：$s_t = 128$（恰好 dValue 下限），尾轮 $2 \times 512^2/128^2 = 32$ 块恰好凑满，尾轮 $k_{L1}$ 升至 140（K 全载），$T_{tail} = 1.43\mu s$，$T_{A1b} = 6.7\mu s$；</li>
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||||
<li>B0/B1：$N_{blk}' = 64$、分解 $(64, 1)$（$sM'=264, sN'=512$，另一可行分解 $(32,2)$ 的 $sN'=256$ 周长更大），$k_{L1}' = 140$（K 全载），$T_{load}' = 4.34\mu s$，$T_B = 8.7\mu s$。</li>
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||||
</ul>
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||||
<p><b>B1 相对 A1b 损失 30%</b>（理论方形近似仅 16.6%，$k_{L1}$ 跨 regime 从 128→140 与非方形分解 (264,512) 共同放大了损失）。注意该例是极端长宽比（M/N=33）+ 窄访存 Bound 区间的边角 case。</p>
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||||
<p>**访存 Bound 区间 II（$\rho < \rho_{dv}$，A1b 卡死）**：B 反超或打平（§5.3(iii) 分界公式），B1 无损失（甚至优于 A1b）。</p>
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<h3>7.3 损失汇总与工程建议</h3>
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<table><tr><th>场景</th><th>B1 相对 A1b 的损失</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>计算 Bound（任意 $r$）</td><td><b>0</b></td><td>时延严格相等（§4.3）</td></tr>
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<tr><td>访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=256$</td><td>≤ <b>5.4%</b></td><td>典型场景（方形 tile、$w=2$、$r=8$ 时取到）</td></tr>
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<tr><td>访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=512$</td><td>≤ 16.6%（理论）/ ~30%（实际极端例）</td><td>需极端长宽比 + 窄 $K$ 区间，罕见</td></tr>
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||||
<tr><td>访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$</td><td>≤ 0（B 反超或打平）</td><td>§5.3(iii) 分界公式</td></tr>
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<tr><td>$sN \ge 608$</td><td>0（该场景恒计算 Bound）</td><td>$K^*$ 区间为空</td></tr></table>
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<p><b>工程建议</b>：</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>计算 Bound 为主力的场景直接上 B1</b>——零损失、实现最简（host 一次枚举、kernel 无尾轮分支）；</li>
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<li>**访存 Bound 且 tile 小（$sN \le 256$）时 B1 损失 ≤5.4%**，实现简洁性通常值得这点损失；</li>
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<li>**访存 Bound 且 $sN \approx 512$、$n_{wave}=2$、$r$ 小的 case 损失可达 ~30%**（极端例），此类 case 应落到 A1b（或按 §5.3 分界公式精确判定，即 B0）；</li>
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<li>B1 的判定门限全部闭式（B/M/K/N/dtype → $r$、$g$、$K^*$、$sN$），host 端零成本。</li>
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<h2>八、边界说明</h2>
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<li><b>带宽模型敏感性</b>：访存 Bound 结论依赖"每核 MTE2 带宽上限 $BW_{pc}$"假设。若 HBM 为全局共享池（尾轮 $r$ 核可吃满 $W_{GM}$），A0 尾轮搬移时延已是 $\rho \cdot T_{load}$ 接近理想，A1b/B 的搬移增量无带宽补偿，结论反转。昇腾 950PR 的 MTE2 为每核独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，采用固定份额结论；临界 case 建议实测复核。</li>
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<li><b>A1b 的工程代价</b>：需两套 tile 参数（主轮大 tile + 尾轮小 tile）与尾轮区域的边界处理（$r$ 个原块的并一般为 L 形，按矩形分解重切）；host 端多一次枚举，NPU 侧 kernel 需支持尾轮 tile 尺寸切换。这些复杂度不改变时延结论，但影响实现成本。</li>
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<li><b>方形基准的适用条件</b>：§2.5 已述——K 全载时方形严格最优、L1 主导时仅面积相关。非方形分解的实际收益由同一目标函数评估，例 5 的非方形惩罚即此体现。</li>
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<li>**B 不整除 $N_{blk}'$**：$B \nmid N_{blk}'$ 时按 batch 分组切分、部分 batch 多一块，收益略降，判定不变。</li>
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<h2>参考文献</h2>
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<li>[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)，华为技术有限公司，2026</li>
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<li>[cann-ops-nn 源码仓（BatchMatMulV3）](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)：kernel 侧尾轮线性映射见 <code>op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h</code>（<code>UpdateBasicIndex</code>：<code>index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum</code>，<code>if (index < totalCnt)</code> 跳过空转核——即本文的策略 A0）</li>
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