diff --git a/BMM/BMM算子优化分析_Release/ASW_Basic分支分析/ASW_Basic分支分析_v1.8.md b/BMM/BMM算子优化分析_Release/ASW_Basic分支分析/ASW_Basic分支分析_v1.8.md new file mode 100644 index 0000000..60a5301 --- /dev/null +++ b/BMM/BMM算子优化分析_Release/ASW_Basic分支分析/ASW_Basic分支分析_v1.8.md @@ -0,0 +1,1551 @@ +# ASW_Basic 分支：BMM 兜底分支的理论最优实现分析 + +> 目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文为 ASW_Basic 分支的独立分析（v1.8 修订 §5.10：A1 扩展为尾轮 tile 重选凑满核形态，新增基于 B/M/K/N 的三策略直接判定表），自包含完整推导链。历史：v1.7 新增 §5.10 三策略两两对比；v1.6 新增 §7 程序实现流程图；v1.5 扩充 §6 源码对比、修正 dValue 定义与尾轮重切约束。 + +## 摘要 + +ASW_Basic 是 BMM 的兜底分支——核间切 M/N（或混合切），不做 batch 合并或 K 维切分。本文给出完整的时延建模、核间分配策略分析（证明 B 优先分组在任何场景下都不优于线性映射）、实现方案的逐步推导（含尾轮重切的 Bound 类型分级策略），以及与源码实现的逐维度对比。 + +v1.8 修订 §5.10：**A1 扩展为两种形态——A1a 整数倍切分（r≤C/2）与 A1b 尾轮 tile 重选凑满核（r>C/2 时 tile 按 16 步进缩小凑满 C 核，不再退化为 A0）**；新增**基于 B/M/K/N/dtype 的三策略直接判定表**（闭式前置计算 + 决策表）；修正 A1 vs B 结论——计算 Bound 下 A1b 与 B 理论时延相等（总计算量/C 守恒），离散 16 对齐使 A1b 尾轮 tile 上取整产生 ≤2% 覆盖浪费；访存 Bound 下周长和均值不等式证明 A1b 恒 ≤ B（数值例 2.2%），dValue 卡死时退化打平。v1.7 新增 §5.10：尾轮处理三策略（A0 不重切 / A1 仅尾轮差异化重切 / B 整轮均匀重切）的两两对比与适用分界。计算 Bound 与访存 Bound 下分别推导 A0 vs A1、A0 vs B、A1 vs B 的完整时延公式：计算 Bound 下 B 恒不劣于 A1（$\Delta = T_{MMAD}(1/s^* - r/C)$），$r \mid C$ 完美重切时等价、$r > C/2$ 时 A1 失效 B 收益达 $T_{MMAD}(1-r/C)$（数值例 23.4%）；访存 Bound 下搬移随块周长缩放（$\sqrt{g}$），A1 收益被 dValue 与 A 行带不缩小双重压缩，A1 vs B 的分界为 $n_{wave}(1-1/\sqrt{g})$ vs $(1-1/s^*)/2$（数值例：$n_{wave}=2$ 时 B 省 14.3%、$n_{wave}=4$ 时临界打平、$r=17$ 时 B 省 6.2%）。**总体结论：A0 从来不是最优；$r > C/2$ 时 B 唯一可重切；其余按分界公式判定。**v1.6 新增 §7 程序实现流程图：**从 case 输入（B/M/K/N/dtype）出发，分别给出源码 ASW_Basic（`BatchMatMulV3AswBasicTiling` 六阶段：进入判定 → ResetBase → cubeBound 枚举 → CalL1Tiling → 参数打包 → kernel 滑窗蛇形）与理论最优实现（八阶段：分支判定 → BaseM/N/K → SingleCoreM/N 有界枚举 → 核间分配 → 尾轮重切 → swizzle → L2 分组 → 端到端校验）两张完整流程图**，每步标注计算公式与产出参数，并给出两图差异对照。v1.5 扩充 §6 源码对比：cubeBound 模型三项的物理推导（工作集超 L2 倾向更小 tile、K 大倾向更大 tile）、**源码 singleCore = base 不分层导致过度切分**（K 小时搬入时延可达理论 2 倍）、尾轮不实际重切。核心结论：**B 优先分组不优于线性映射；理论的最少切分原则 + SingleCore/Base 分层 + 尾轮重切是相对源码的三条实质改进；源码的 cubeBound 解析模型与平台自适应值得理论吸收。** + +--- + +## 一、问题定义与执行模型 + +### 1.1 分支定位 + +BMM 中，当 B ≥ C（batch 数 ≥ AIC 核数）时核间切 B 是免费的（每核独立处理若干 batch，无共享无依赖），由 IterBatch/MergeBatch 承接。当 B < C 或 B ≥ C 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时，需要切 M/N 来填满所有核——这就是 ASW_Basic。 + +ASW_Basic 是实践中最常命中的分支：B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。 + +### 1.2 执行模型 + +``` +核间：B × mCnt × nCnt 个输出块，按 B→M→N 线性映射分配到 C 核 +核内：每核处理若干 [singleCoreM, singleCoreN] 输出块 + └── 每块内部：GM→L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe 标准流水 + └── K 维不切（singleCoreK = K），按 kL1 分块搬入 L1 +``` + +数据流： + +``` +GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM + ↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑ +``` + +### 1.3 符号定义 + +| 符号 | 含义 | 表达式/取值 | +|---|---|---| +| $B$ | batch 数 | 输入参数 | +| $M, N, K$ | 矩阵维度 | 输入参数 | +| $C$ | AIC 核数 | 32 | +| $dtype$ | 输入元素字节数 | BF16 → 2B | +| $outB$ | 输出元素字节数 | BF16 → 2B | +| $L0C$ | L0C 容量/核 | 256KB | +| $L0A, L0B$ | L0A/L0B 容量/核 | 各 64KB | +| $L1$ | L1 容量/核 | 512KB | +| $L2$ | L2 容量（共享） | 128MB | +| $BW_{pc}$ | 单核 GM 带宽份额 | $W_{GM}/C = 50$ GB/s | +| $Q_{16}$ | 单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/32 ≈ 15.2 TFLOPS | +| $W_{GM}$ | GM 带宽 | 1.6 TB/s | +| $BW_{L2}$ | L2 读带宽 | 5.2 TB/s | + +*Tiling 参数*： + +| 符号 | 含义 | 约束层级 | +|---|---|---| +| $\text{BaseM}, \text{BaseN}$ | L0 级 tile 的 M/N 维度 | L0C 容量直接约束 | +| $baseK$ | L0 级 tile 的 K 维度 | L0A/L0B 容量约束 | +| $\text{singleCoreM}, \text{singleCoreN}$ | 每核输出 tile 的 M/N 维度 | L1 容量 + 并行度 + 搬移效率 | +| $k_{L1}$ | GM→L1 的 K 向粒度 | dValue ≥ 256B | +| $mCnt, nCnt$ | 单 batch 内 M/N 向块数 | $\lceil M/\text{singleCoreM} \rceil$ | +| $W$ | swizzle 窗口宽度 | $\max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$ | + +层次关系：$K = \text{singleCoreK} \ge k_{L1} \ge baseK$，$\text{singleCoreM} \ge \text{BaseM}$，$\text{singleCoreN} \ge \text{BaseN}$。 + +**搬移效率：dValue 与 min_TileSize** + +GM→L1 搬移使用 Nd2Nz DMA，每次搬移的关键参数： + +| 参数 | 含义 | A 矩阵 [singleCoreM, $k_{L1}$] | B 矩阵 [$k_{L1}$, singleCoreN] | +|---|---|---|---| +| nValue | 行数（非连续维） | singleCoreM | $k_{L1}$ | +| dValue | 每行连续字节数（连续维） | $k_{L1} \cdot dtype$ | $\text{singleCoreN} \cdot dtype$ | +| 总搬移量 | nValue × dValue | $\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot dtype$ | $k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype$ | + +**dValue 是 ND 排布中连续维的字节数**——对 ND 格式的右矩阵 B：非转置时连续维为 N，dValue = $\text{singleCoreN} \cdot dtype$；转置时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$。**dValue 不是两个维度的乘积**。 + +两级搬移效率阈值： + +1. **dValue ≥ 256B**（DMA 硬件突发下限）：每行连续数据量不足 256B 时，DMA 突发效率急剧下降； +2. **总搬移量 ≥ min_TileSize**（推荐 16KB）：单次搬移量太小则带宽利用率不足（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)推荐 dValue 256B/512B 对齐）。 + +--- + +## 二、进入条件 + +同时满足： + +1. $P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} \ge C$（并行度补齐） +2. 无 batch 结构限制（BatchA=BatchB、交叉广播均可）；典型进入路径：$B < C$（切 B 买不满核），或 $B \ge C$ 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时的兜底 +3. **降核模式**：$P < C$ 且不满足 StreamK 进入条件 → 只用 $\lceil P \rceil$ 个核，其余核闲置 + +逐条解释： + +1. **并行度补齐**：以 L0C 满载为基本块粒度，B×M×N 能切出至少 C 个独立输出块，则切 M/N（或混合切）并行度够用。切 M/N 的固有代价是共享矩阵被多核重复读，但共享部分驻留 128MB L2 时重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM，代价大部分被吸收。 +2. **兜底性质**：ASW_Basic 是实践中最常命中的分支——B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。 +3. **降核模式**：P < C 且 K 也不够格走 StreamK 时，并行度凑不满核。此时与其强行把 M/N 切得更碎（tile 跌破 min_TileSize、dValue 跌破 256B，搬移效率崩塌，反而更慢），不如**只用 ⌈P⌉ 个核**、每核承担一个完整输出块（L0C 满载粒度），其余核闲置。这类 case 的时延绝对值小，继续切分引入的调度与搬移效率损失大于并行收益——降核是理性选择而非偷懒。 + +--- + +## 三、时延建模 + +### 3.1 端到端时延 + +$$ +T = \max(T_{MTE2},\; T_{MMAD},\; T_{FIX}) + T_{drain} +$$ + +| 项 | 含义 | 公式 | +|---|---|---| +| $T_{MTE2}$ | GM→L1 搬移时延 | $r_{in} \cdot S_{in} / (C \cdot BW_{pc})$ | +| $T_{MMAD}$ | Cube 计算时延 | $2BMNK / (C \cdot Q_{16})$ | +| $T_{FIX}$ | 输出写回时延 | $B \cdot MN \cdot outB / (C \cdot W_{pc})$ | +| $T_{drain}$ | 末块排空时延 | $O(T_{comp} + T_{write})$ | + +其中 $S_{in} = B(MK + KN) \cdot dtype$ 为输入总量，$r_{in} \ge 1$ 为重复读倍率（GM 输入流量 / 输入总量）。$r_{in} = 1$ 表示每字节只从 GM 读一次（后续复用全命中 L2）——**这是 GM 输入流量的下界**。 + +**关键观察**：$T_{MMAD}$ 和 $T_{FIX}$ 与核间分配策略无关——**分配策略只影响 $T_{MTE2}$**（通过 L2 命中率影响 $r_{in}$）。优化目标：让 $r_{in}$ 尽量接近 1。 + +### 3.2 并行度约束的正确形式 + +总输出块数 $= B \cdot mCnt \cdot nCnt$。并行度约束的正确形式是： + +$$ +B \cdot mCnt \cdot nCnt \ge C +$$ + +即总块数至少能填满 C 核。这与 $mCnt \cdot nCnt \ge \lceil C/B \rceil$ 等价（两边同乘 B 后取整）。 + +**不应要求 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C = 0$**（整除）。整除是充分不必要条件——不整除时产生尾轮，尾轮的处理见 §五。 + +--- + +## 四、核间分配策略分析 + +### 4.1 两种候选策略 + +- **B 优先分组**：C 核分为 B 组，每组 $C_g = \lfloor C/B \rfloor$ 或 $\lceil C/B \rceil$ 核独立处理一个 batch 的 $mCnt \times nCnt$ 个块，组内做 swizzle +- **线性映射**：块按 (b, m, n) 字典序编号（block 0 = (0,0,0)，block 1 = (0,0,1)，…，block $mCnt \cdot nCnt$ = (1,0,0)，…），核 i 依次处理块 i, i+C, i+2C, … + +### 4.2 L2 工作集对比 + +每波活跃核所需的 A 行带 + B 列带： + +$$ +WS_{wave} = \big(W \cdot sM + \tfrac{C}{W} \cdot sN\big) \cdot K \cdot dtype +$$ + +其中 $sM$ = singleCoreM，$sN$ = singleCoreN，$W$ 为 swizzle 窗口宽度。 + +| 维度 | B 优先分组 | B→M→N 线性映射 | +|---|---|---| +| 每波活跃 batch 数 | B 个（每组一个） | 1 个（$mCnt \cdot nCnt \ge C$ 时） | +| 每组/每波 swizzle 窗口 | $W_g = \max\{d \mid d \mid C_g,\; d \le \sqrt{C_g}\}$ | $W = \max\{d \mid d \mid C,\; d \le \sqrt{C}\}$ | +| 每波 L2 工作集 | $B \cdot (W_g \cdot sM + \frac{C_g}{W_g} \cdot sN) \cdot K \cdot dtype$ | $(W \cdot sM + \frac{C}{W} \cdot sN) \cdot K \cdot dtype$ | +| C 不整除 B | 组间核数不等 → 负载不均 | 无影响（总块数任意） | + +**数值例**（C=32、B=4、sM=sN=256、K=1024、BF16）：分组 $C_g=8$、$W_g=2$（8 的最大因子 ≤ √8≈2.83），总工作集 = $4 \times (2 \times 256 + 4 \times 256) \times 1024 \times 2 = 12$ MB；线性 $W=4$，工作集 = $(4 \times 256 + 8 \times 256) \times 1024 \times 2 = 6$ MB——**线性映射的工作集是分组方案的一半**。 + +**为什么线性映射工作集更小**： + +1. **更多核参与同一 batch 的 swizzle** → $W = \sqrt{C} > W_g = \sqrt{C/B}$ → 工作集更接近"方形"下限（均值不等式：$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处最小）； +2. **同一时刻只有 1 个 batch 的数据活跃** → L2 只需缓存 1 份 A/B 数据，而非 B 份。 + +### 4.3 分场景严格比较 + +**场景 I：$mCnt \cdot nCnt \ge C$ 且单波工作集 ≤ L2**（最常见） + +线性映射：每波 C 个块在同一 batch 内，L2 命中率高。B 分组：B 个 batch 同时活跃，总工作集 $B$ 倍。**线性严格更优。** + +**场景 II：$S_{in} \le L2$（全部输入放得下 L2）** + +两种策略的 GM 流量相同（$r_{in} = 1$，每字节只读一次）。但 B 分组在 C % B ≠ 0 时负载不均（组间核数不等）。**线性不劣于分组。** + +**场景 III：$mCnt \cdot nCnt < C$（单 batch 块数不够填满所有核）** + +线性映射：每波横跨 $\lceil C/(mCnt \cdot nCnt) \rceil$ 个 batch——这些 batch 的数据同时活跃。B 分组：每组 $C_g$ 核但只有 $mCnt \cdot nCnt < C_g$ 个块 → **组内有空闲核**。线性映射至少所有核都有活干。**线性严格更优。** + +**场景 IV：$mCnt \cdot nCnt < C/B$（每组连自己的核都填不满）** + +B 分组每组空闲 $C_g - mCnt \cdot nCnt$ 个核，总算力浪费 $C - B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个核。线性映射无此问题。**线性严格更优。** + +### 4.4 结论 + +**B 优先分组在任何场景下都不优于线性映射。** 根本原因： + +1. L2 是共享 Cache，工作集越小命中率越高——线性映射同一时刻只激活 1 个 batch 的数据，工作集最小； +2. swizzle 窗口 $W \propto \sqrt{\text{参与核数}}$——更多核参与同一 batch 的 swizzle，窗口更大，工作集更方形； +3. 线性映射对 B 与 C 的关系无要求，B 不整除 C 时无负载不均。 + +因此 ASW_Basic 采用 **B→M→N 线性映射**作为核间分配策略。 + +--- + +## 五、实现方案 + +### 5.1 BaseM / BaseN 的确定（L0 级 tile，先把 L0C 用满） + +L0C 是 Cube 的累加器，BaseM × BaseN 是每次 Cube 计算的输出 tile。BaseM/N 应**尽量把 L0C 用满**——L0C 利用率越高，每次 Cube 计算的输出越大，单位计算的启动/排空开销摊得越薄。 + +**L0C 双缓冲 vs UnitFlag 单缓冲**： + +传统做法用 L0C 双缓冲实现 tile 间流水——计算 tile N+1 时，fixpipe 同时写出 tile N： + +$$ +\text{BaseM} \times \text{BaseN} = \frac{L0C}{2 \times 4\text{B}} = 32768 \text{ 元素（双缓冲）} +$$ + +但昇腾 950PR 的 Fixpipe 支持 **UnitFlag**——MMAD 每完成一个 16×16×16 基本块（512B 结果），Fixpipe 立即将其写出，无需等整个 L0C tile 算完。UnitFlag 提供的是 **tile 内部的细粒度流水**（16×16×16 粒度），替代双缓冲的 **tile 间粗粒度流水**（BaseM×BaseN 粒度）。 + +UnitFlag 单缓冲下，L0C 只需一份 buffer： + +$$ +\text{BaseM} \times \text{BaseN} = \frac{L0C}{4\text{B}} = 65536 \text{ 元素（单缓冲）} +$$ + +BaseM/N 可放大 $\sqrt{2}$ 倍（如 256→362），mCnt/nCnt 相应减小，**L2 重复读率降低**（单 batch 块数减少 → 每行 A 被更少的组读取）。 + +*时延对比*（单 tile 粒度，BF16 输出）： + +| 方案 | tile 大小 | tile 间流水 | tile 内流水 | 单 tile 时延 | +|---|---|---|---|---| +| 双缓冲 | 181×181（32761 元素） | ✓（tile N 写出 ∥ tile N+1 计算） | ✗ | max($T_{comp}$, $T_{write}$) | +| UnitFlag 单缓冲 | 256×256（65536 元素） | ✗ | ✓（16×16×16 粒度） | max($T_{comp}$, $T_{write}$) | + +两种方案的稳态时延相同（都是 max($T_{comp}$, $T_{write}$)），但 UnitFlag 单缓冲的 tile 更大 → 总 tile 数更少 → 循环开销更小。**但当前 BMM ASW kernel 未启用 UnitFlag**（`unitFlag = 0`，注释 "each l0 only process one block, disable unit flag"），且源码在 baseM=baseN=256 时已自动选 dbL0C=1（256×256×4B×2 > L0C）——即**源码已经是单缓冲 + 无 UnitFlag**，tile 到顶但无流水交叠。 + +*建议*：对计算 Bound 的 case 启用 UnitFlag（MMAD 与 Fixpipe 流水并行），可将单 tile 时延从 $T_{comp} + T_{write}$ 降至 $\max(T_{comp}, T_{write})$。对访存 Bound 的 case（MTE2 Bound），UnitFlag 收益小（[CANN 文档](https://www.hiascend.com/document/detail/zh/CANNCommunityEdition/920beta1/API/ascendcopapi/atlasascendc_api_07_0003.html)：MTE2 Bound 时 MMAD/FIX 流水可被搬移掩盖）。 + +BaseM/BaseN 的长宽比**应尽量方形**（而非跟随 M/N），对齐 16 的倍数。**推导**： + +**1. GM→L1 搬移与 BaseM/N 无关**：GM→L1 搬移的是 $[\text{singleCoreM}, k_{L1}]$（A）和 $[k_{L1}, \text{singleCoreN}]$（B），其 dValue 由 $k_{L1}$（A）和 $\text{singleCoreN}$（B）决定——BaseM/N 的长宽比不参与 GM→L1 搬移参数。**长宽比跟随 M/N 不会改善 GM→L1 效率。** + +**2. L0A = L0B = 64KB 等容量 → 方形 tile 用满两侧**：L0A 装 $\text{BaseM} \times baseK$，L0B 装 $baseK \times \text{BaseN}$。若长宽比跟随 M/N（如 M/N = 4：BaseM=512、BaseN=128），则： + +$$ +baseK = \min\Big(\frac{L0A}{2 \cdot \text{BaseM} \cdot dtype},\; \frac{L0B}{2 \cdot \text{BaseN} \cdot dtype}\Big) = \min(32,\; 128) = 32 +$$ + +L0A 装满（512×32×2×2 = 64KB）而 **L0B 只用了 25%**（32×128×2×2 = 16KB）——一半 L0 容量闲置。 + +方形 tile（BaseM=BaseN=256）： + +$$ +baseK = \min\Big(\frac{64\text{KB}}{2 \cdot 256 \cdot 2\text{B}},\; \frac{64\text{KB}}{2 \cdot 256 \cdot 2\text{B}}\Big) = 64 +$$ + +L0A 和 L0B **同时装满**，且 baseK = 64 是长宽比跟随方案（baseK=32）的 **2 倍**——K 维迭代次数减半，Cube 的 K 向流水切换和 SetFlag/WaitFlag 同步次数减半（L1→L0 搬移本身不是瓶颈，但更少的迭代意味着更少的同步握手和更少的 MMAD 启动/排空轮次）。 + +**3. 方形 tile 是 L0C 面积约束下的最优**：L0C 约束 $\text{BaseM} \times \text{BaseN} \le 65536$ 只限制面积。在面积固定下，方形使 $\min(\text{BaseM}, \text{BaseN})$ 最大——baseK 的上限由 $\min(\text{BaseM}, \text{BaseN})$ 决定（公式见上），所以方形最大化 baseK。 + +**4. 例外**：当 M 或 N 小于方形边长时，tile 被迫非方形： + +$$ +\text{BaseM} = \min(\lfloor\sqrt{65536}\rfloor_{16},\; M),\qquad \text{BaseN} = \min\Big(\frac{65536}{\text{BaseM}},\; N\Big) \text{ 向下 16 对齐} +$$ + +例：M=128、N=4096 → BaseM=128（M 限制）、BaseN=512（L0C 面积限制）——此时长宽比跟随 M/N 是**被迫的**（M 太小），而非主动选择。 + +**结论**：BaseM/N 长宽比跟随 M/N 的切分方法**站不住脚**——它使 L0A/L0B 容量利用率失衡（一侧闲置）、baseK 减半（K 迭代翻倍）、且对 GM→L1 搬移无任何收益。正确做法是**方形 tile 优先**，仅当 M 或 N 小于方形边长时被迫跟随。 + +baseK 由 L0A/L0B 容量决定（L1→L0 搬移无 dValue 要求，dValue 约束的是 GM→L1 的 $k_{L1}$）： + +$$ +baseK = \min\Big(\frac{L0A}{2 \cdot \text{BaseM} \cdot \text{dtype}},\; \frac{L0B}{2 \cdot \text{BaseN} \cdot \text{dtype}}\Big) \text{ 向下 16 对齐} +$$ + +核间不切 K 时 K 维度层次关系：$K = \text{singleCoreK} \ge k_{L1} \ge baseK$——$k_{L1}$ 是 GM→L1 的 K 向粒度（须 $k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}$），baseK 是 L1→L0 的 K 向粒度（仅受 L0A/L0B 容量约束）。 + +*BaseM/N 的具体确定过程*（host 端枚举，16 对齐遍历）： + +1. 从 BaseM = BaseN = $\lfloor\sqrt{L0C/4\text{B}}\rfloor_{16} = 256$ 开始（方形，L0C 单缓冲上限，L0A/L0B 同时满载） +2. baseK 取 L0A/L0B 容量允许的最大值：baseK = $\min(L0A/(2 \cdot \text{BaseM} \cdot dtype),\; L0B/(2 \cdot \text{BaseN} \cdot dtype))$ 向下 16 对齐（**16 对齐是 Cube K 向粒度要求，不是搬移效率要求**——L1→L0 搬移不是瓶颈，可被 GM→L1 或 Cube 计算掩盖。baseK 取大值的意义在 L0 容量利用率和 K 迭代次数，而非搬移效率） +3. 若 M < 256（或 N < 256），BaseM = $\lfloor M \rfloor_{16}$（或 BaseN = $\lfloor N \rfloor_{16}$），另一维取 $\min(65536/\text{BaseM},\; N)$（或对称）向下 16 对齐——此时 tile 被迫跟随 M/N，但这是 M 太小的结果，不是主动选择 +4. 方形 tile 的 L0C 面积利用率：$256 \times 256 / 65536 = 100\%$；被迫非方形时面积利用率 = $\text{BaseM} \times \text{BaseN} / 65536$（M 或 N 小时必然 < 100%，不可优化） + +*与源码的差异*：源码默认 baseM=baseN=256（硬编码 "256 is better base"），再由 cubeBound 模型（L2 供数能力 + 溢出惩罚 + K 向复用）枚举收缩。理论直接从 L0C 容量出发，cubeBound 的三项修正可从第一性原理推导：①L2 供数速率 vs Cube 耗数速率 → 访存 Bound 时应缩 tile；②工作集超 L2 → 增大 tile 减少重复读；③K 越大越偏 compute bound → 可放大 tile。两者方向一致，源码多了实测调优的余量（CUBE_BOUND_RATIO=0.85）。 + +### 5.2 SingleCoreM / SingleCoreN 的确定（每核输出 tile，≥ BaseM/N） + +SingleCoreM × SingleCoreN 是每核每次处理的输出区域，**不受 L0 容量直接约束**——一个 [SingleCoreM, SingleCoreN] tile 内部由若干 [BaseM, BaseN] L0 tile 组成（$\text{SingleCoreM} \ge \text{BaseM}$，$\text{SingleCoreN} \ge \text{BaseN}$）。SingleCoreM/N 的核心影响是 **GM→L1 搬移效率和 L2 重复读率**： + +- SingleCoreM/N 越大 → 单次 GM→L1 搬移量越大，dValue 越有保障，L2 中同一份 A 行带/B 列带被更多核复用 +- SingleCoreM/N 越小 → 总块数 mCnt×nCnt 越多，并行度越高，但搬移效率降低 + +**SingleCoreM/N 对 L2 重复读的定量影响**： + +每行 A 行带 $[\text{singleCoreM}, K]$ 被该行的 $nCnt$ 个列块各读一次，每列 B 列带被 $mCnt$ 个行块各读一次。L2 层的总读取次数： + +$$ +T_{L2} = \big(nCnt \cdot M + mCnt \cdot N\big) \cdot K \cdot dtype +$$ + +SingleCoreM/N 越小 → $mCnt = \lceil M/\text{singleCoreM} \rceil$、$nCnt = \lceil N/\text{singleCoreN} \rceil$ 越大 → $T_{L2}$ 越大。 + +但这不直接等于 GM 重复读——L2 命中时重复读由 L2 吸收（5.2TB/s），不消耗 GM 带宽。**GM 重复读倍率 $r_{in}$ 取决于执行组划分**（§5.6）：只有当工作集超 L2 时才需要分组，此时 + +$$ +r_{in} = \frac{\lceil nCnt/n_{grp} \rceil \cdot M + \lceil mCnt/m_{grp} \rceil \cdot N}{M + N} +$$ + +$m_{grp}$、$n_{grp}$ 由 L2 容量约束反推（$m_{grp} \cdot \text{singleCoreM} + n_{grp} \cdot \text{singleCoreN} \le D$，$D = L2/(B \cdot K \cdot dtype)$）。SingleCoreM/N 减小时 $m_{grp}$、$n_{grp}$ 按比例增大，$\lceil mCnt/m_{grp} \rceil$ 和 $\lceil nCnt/n_{grp} \rceil$ 的变化取决于具体数值——**但 L2 带宽不是瓶颈**（5.2TB/s ≫ GM 1.6TB/s），所以 SingleCoreM/N 对性能的主要影响不在 L2 重复读，而在 **GM→L1 搬移效率**（dValue 和 min_TileSize）和**并行度**（$mCnt \cdot nCnt \ge \lceil C/B \rceil$）之间的权衡。 + +*约束链*： + +**约束 1——并行度下限**：总块数须填满 C 核。 + +$$ +B \cdot mCnt \cdot nCnt \ge C \iff mCnt \cdot nCnt \ge \Big\lceil \frac{C}{B} \Big\rceil +$$ + +**约束 2——L1 容量**（双缓冲下驻留当前 tile 的输入）： + +$$ +2 \cdot (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}) \cdot k_{L1} \cdot \text{dtype} \le L1,\qquad k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B} +$$ + +**约束 3——搬移效率**（dValue 见 §1.4）： + +$$ +\underbrace{k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}}_{\text{A 矩阵 dValue}},\qquad \underbrace{\text{singleCoreN} \cdot \text{dtype} \ge 256\text{B}}_{\text{B 矩阵 dValue（非转置）}} +$$ + +$$ +\underbrace{\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize}_{\text{A 单次搬移量}},\qquad \underbrace{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize}_{\text{B 单次搬移量}} +$$ + +**约束 4——SingleCoreM/N 是 BaseM/N 的整数倍**（工程实现要求，保证 L0 tile 边界对齐）。 + +*选取策略*：**最少切分原则 + 切分时方形分配**。 + +*建模*：每 batch 有 $mCnt \cdot nCnt$ 块，每块的 GM→L1 搬入（A 块 $[\text{singleCoreM}, k_{L1}]$ + B 块 $[k_{L1}, \text{singleCoreN}]$）时延为 $(\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW$。每核处理 $B \cdot mCnt \cdot nCnt / C$ 块，单核总搬入时延： + +$$ +T_{MTE2} = \frac{MN}{C/B} \cdot \Big(\frac{mCnt}{M} + \frac{nCnt}{N}\Big) \cdot \frac{k_{L1} \cdot dtype}{BW} +$$ + +（展开验证：每 batch 总搬入 = $(M \cdot nCnt + N \cdot mCnt) \cdot k_{L1} \cdot dtype$——A 矩阵每 batch 被 $nCnt$ 个列块共享读 $nCnt$ 次、B 矩阵被 $mCnt$ 个行块共享读 $mCnt$ 次，与直觉一致。） + +目标函数 $mCnt/M + nCnt/N$ 在 $mCnt = nCnt = 1$ 时取得**全局最小值**（$1/M + 1/N$）——**不切分时每 batch 的 A/B 只搬一次，零重复读**。因此第一步是**尝试最少切分**： + +$$ +mCnt \cdot nCnt = \Big\lceil \frac{C}{B} \Big\rceil \triangleq P +$$ + +（多切无益：切分越多重复读越多，搬入量单调增大。） + +**情形 1：B ≥ C（P = 1）**——不切分，$mCnt = nCnt = 1$，$\text{singleCoreM} = M$、$\text{singleCoreN} = N$。**tile 跟随 M/N，非方形**。前提是 L1 容量与 dValue 满足（约束 2/3）；不满足时须 K 分块（$k_{L1} < K$）或退化为情形 2。 + +**情形 2：B < C（P > 1）**——必须切分。在 $mCnt \cdot nCnt = P$ 下最小化 $mCnt/M + nCnt/N$： + +$$ +\frac{\partial}{\partial mCnt}\Big(\frac{mCnt}{M} + \frac{P}{mCnt \cdot N}\Big) = 0 \Rightarrow mCnt^* = \sqrt{\frac{P \cdot M}{N}},\; nCnt^* = \sqrt{\frac{P \cdot N}{M}} +$$ + +$$ +\frac{mCnt^*}{nCnt^*} = \frac{M}{N} \Rightarrow \text{singleCoreM} = \text{singleCoreN} = \sqrt{\frac{MN}{P}} +$$ + +——**方形**（连续松弛下的理论最优）。整数 + BaseM/N 对齐约束下取离方形最近的可行组合。 + +*数值验证*（M=2048、N=512、C=32）： + +| B | P = ⌈C/B⌉ | 最优 (mCnt, nCnt) | sM × sN | 形状 | +|---|---|---|---|---| +| 32 | 1 | (1, 1) | 2048 × 512 | 跟随 M/N（不切分） | +| 16 | 2 | (2, 1) | 1024 × 512 | 2:1（整数约束偏离方形） | +| 8 | 4 | (4, 1) | 512 × 512 | 方形（M/N=4 与 P=4 匹配） | +| 4 | 8 | (4, 2) | 512 × 256 | 2:1 | + +B=32 时不切分 cost = 0.002441 < B=8 时方形 0.003906——**切分越少搬入越少，方形只是"被迫切分"时的次优选择**。用户反例成立：M=2048、N=512、B≥32 时 SingleCoreM=2048、SingleCoreN=512 优于方形 512×512（每 batch 零重复读）。 + +*此前推导的错误*：把 $mCnt \cdot nCnt = P$ 当作固定等式且未讨论 P=1 的情形——方形结论只适用于 B < C 的强制切分场景，不适用于 B ≥ C 的不切分场景。 + +*SingleCoreM/N 的具体确定过程*（host 端枚举，与尾轮处理联动）： + +1. 计算最少切分 $P = \lceil C/B \rceil$ +2. **若 P = 1（B ≥ C）**：先试不切分 $mCnt = nCnt = 1$、$\text{singleCoreM} = M$、$\text{singleCoreN} = N$；由约束 2 求 $k_{L1} = \min(K,\; \lfloor L1/(2(M{+}N) \cdot dtype) \rfloor_{16})$，检查约束 3（$k_{L1} \cdot dtype \ge 256\text{B}$ 等）；满足则确定。不满足（L1 放不下且 $k_{L1}$ 降无可降）则进入步骤 3 强制切分 +3. **若 P > 1（必须切分）——完整枚举**。枚举不是随意挑几个组合试，而是**遍历整个可行空间、每个候选计算搬入时延、取最优**： + + **a. 枚举空间（有界）**：由约束 4 给出上界 $mCnt \le \lceil M/\text{BaseM} \rceil$、$nCnt \le \lceil N/\text{BaseN} \rceil$（SingleCore 不能小于 Base），约束 1 给出 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \ge C$。候选数最多 $\lceil M/\text{BaseM} \rceil \times \lceil N/\text{BaseN} \rceil$（如 M=N=4096、Base=256 时 256 个），host 端遍历开销可忽略 + + **b. 每个候选的评估流水线**（$(mCnt, nCnt) \to$ 对齐 $\to$ 约束过滤 $\to$ 目标值）： + + $$ + \text{singleCoreM} = \text{Align}_{16}\Big(\Big\lceil \frac{M}{mCnt} \Big\rceil\Big),\qquad \text{singleCoreN} = \text{Align}_{16}\Big(\Big\lceil \frac{N}{nCnt} \Big\rceil\Big) + $$ + + *约束 4 过滤*：singleCoreM/singleCoreN 是 BaseM/BaseN 的整数倍；*约束 2 求 $k_{L1}$*： + + $$ + k_{L1} = \min\Big(K,\; \Big\lfloor \frac{L1}{2 \cdot (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}) \cdot dtype} \Big\rfloor_{16}\Big) + $$ + + *约束 3 过滤*：$k_{L1} \cdot dtype \ge 256\text{B}$ 且 $\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot dtype \ge min\_TileSize$ 且 $k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype \ge min\_TileSize$ + + *目标值（§3 时延模型的搬移项）*： + + $$ + T_{MTE2} = \frac{MN}{C/B} \cdot \Big(\frac{1}{\text{singleCoreM}} + \frac{1}{\text{singleCoreN}}\Big) \cdot \frac{k_{L1} \cdot dtype}{BW_{pc}} + $$ + + **c. 为什么目标函数是 $T_{MTE2}$**：$T_{MMAD} = 2BMNK/(C \cdot Q_{16})$ 与 $T_{FIX} = B \cdot MN \cdot outB/(C \cdot W_{pc})$ 只依赖全量 B/M/N/K，**与切分无关**——候选之间的唯一差异在搬入时延（§3）。约束 2/3/4 只是可行性过滤，**不足以选最优**：多个可行解的 $T_{MTE2}$ 可差 2 倍（§6.3 源码过度切分示例） + + **d. 最优选取**：通过全部约束的候选中取 $T_{MTE2}$ 最小者；并列时取尾轮块数 $r = B \cdot mCnt \cdot nCnt \bmod C$ 最大者（尾轮块越多，§5.3 重切的 $s^*$ 越小、越省） + +4. **尾轮修正**：$n_{wave} = \lceil B \cdot mCnt \cdot nCnt / C \rceil \le 3$ 且 $r > 0$ 时，按 §5.3 计算重切因子 $s^*$，尾轮时延 $T_{tail} = T_{block}/s^*$；否则 $T_{tail} = T_{block}$（r=0 时为 0） + +5. **端到端校验**：$T = \max(T_{MTE2},\; T_{MMAD},\; T_{FIX}) + T_{tail}$。若选出的候选 $T_{MTE2} < T_{MMAD}$（搬移被计算掩盖），候选间差异失效，此时以尾轮最优者为准 + +*完整实例*（B=8、M=N=2048、K=1024、BF16，BaseM=BaseN=256、$min\_TileSize$=16KB）： + +- $P = \lceil 32/8 \rceil = 4$，进入步骤 3。枚举空间 $mCnt, nCnt \le \lceil 2048/256 \rceil = 8$，$8 \cdot mCnt \cdot nCnt \ge 32$ +- 枚举与评估： + +| (mCnt, nCnt) | sM × sN | $k_{L1}$（约束 2 上限，16 对齐） | 约束 3 过滤 | $T_{MTE2} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$ | +|---|---|---|---|---| +| (2, 2) | 1024 × 1024 | 64（128B） | ✗ dValue < 256B | — | +| (4, 2) | 512 × 1024 | 80（160B） | ✗ | — | +| (4, 4) | 512 × 512 | 128（256B） | ✓（512×128×2 = 128KB ≥ 16KB） | 0.500 | +| (8, 4) | 256 × 512 | 160（320B） | ✓ | 0.938 | +| (4, 8) | 512 × 256 | 160 | ✓ | 0.938 | +| (8, 8) | 256 × 256 | 256（512B） | ✓ | 2.000 | + + $k_{L1}$ 上限公式：$\lfloor 131072/(sM{+}sN) \rfloor$（131072 = L1/(2·dtype) = 512KB/4B）。评估过程展示三个要点： + + 1. **最少切分 (2,2) 不可行**：$k_{L1} \le 64$ 元素 = 128B，违反 dValue ≥ 256B——若只做约束 1（并行度）检查会在 (2,2) 上误判达标，必须连同约束 2/3 一起过滤； + 2. **多个候选通过约束**：(4,4)、(8,4)、(4,8)、(8,8) 都满足约束 2/3/4——**约束检查不足以选最优**，必须计算目标函数； + 3. **目标函数 $T_{MTE2}$ 定最优**：拉格朗日方形点 (4,4) 的搬入时延 0.500 最小（比 (8,4) 省 47%、比 (8,8) 省 75%）。注意此处 $k_{L1}$ 是变量（K=1024 未截断、由 L1 容量决定），故 $T_{MTE2} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$ 而非 §5.2 的简化式 $(1/sM + 1/sN)$。最终 (4,4)：总块数 $8 \times 16 = 128$，$r = 128 \bmod 32 = 0$ 完美整除、无尾轮 + +*与源码的差异*：源码用 cubeBound 模型 + balanceRate ≥ 0.9 剪枝，不解耦 SingleCoreM/N 与 BaseM/N（baseM=256 已是 SingleCore 级参数，L0 tile 由 stepM/stepN 二次切分），且枚举目标为"算存比/负载均衡帕累托"而非"搬入时延最小"。理论的两层分离使约束链更清晰、目标函数（$T_{MTE2}$）有闭式表达——SingleCoreM/N 由 L1 + 并行度 + 搬移效率决定，BaseM/N 由 L0C 决定，各司其职。 + +### 5.3 mCnt / nCnt 与核间分配（含尾轮处理） + +$$ +mCnt = \Big\lceil \frac{M}{\text{singleCoreM}} \Big\rceil,\qquad nCnt = \Big\lceil \frac{N}{\text{singleCoreN}} \Big\rceil +$$ + +总输出块数 = $B \times mCnt \times nCnt$。核间分配采用 B→M→N 线性映射（分析见 §四）：块按 (b, m, n) 字典序编号，核 i 处理块 i, i+C, i+2C, …。B 不整除 C 时尾波不满载的核少分一块，无需 B | C。 + +**尾轮处理**（host 端预处理，零 NPU 开销）： + +**尾轮定义** + +当 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C \neq 0$ 时，总块数不能被 C 整除，最后一波（尾轮）不满载——只有 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \;\%\; C$ 个核有活干，其余核空闲。 + +**尾轮重切：是否值得？** + +**关键前提：tiling 在 host（CPU）上完成，不占 NPU 时间。** 重切只需 host 多算一套 tiling 参数下发给 NPU，零 NPU 开销。这改变了收益/代价的平衡——重切的代价仅为 host 端多一次枚举，而收益是 NPU 端尾波时延的缩短。 + +**不重切时**：尾波 $r$ 个块用 $r$ 个核，每核处理 1 块，时延 = $T_{block}$，$C - r$ 核空闲。 + +**重切时**：把 $r$ 个块沿 M 或 N 维再切 $s$ 份，变成 $r \cdot s$ 个小块，$r \cdot s$ 个核各处理 1 小块，时延 ≈ $T_{block}/s$（每小块计算量/搬移量/写回量均为原块的 $1/s$）。 + +*重切收益*： + +$$ +\Delta T_{saved} = T_{block} \cdot \Big(1 - \frac{1}{s}\Big) +$$ + +*占总时延比例*： + +$$ +\frac{\Delta T_{saved}}{T_{total}} \approx \frac{1 - 1/s}{n_{wave}} +$$ + +$n_{wave} = 2$、$s = C/r$ 时：$r=16$ → 收益 25%；$r=8$ → 收益 37.5%。$n_{wave} = 3$ 时：$r=16$ → 16.7%；$r=8$ → 25%。**$n_{wave} \le 3$ 时收益显著，应重切。** + +*重切约束的推导*：沿 N 切 $s$ 份后，小块变为 $[\text{singleCoreM},\; \text{singleCoreN}/s]$。小块须满足两类约束——**但约束的严格程度取决于算子是访存 Bound 还是计算 Bound**。 + +**访存 Bound（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$）**：搬移是瓶颈，小块的 dValue 和搬移量不能降——否则搬移更慢，总时延反而增加。约束与主 tile 相同： + +1. **dValue 下限**：B 矩阵 dValue = $\text{singleCoreN}_{tail} \cdot dtype \ge 256\text{B}$（沿 N 切时）： + +$$ +s \le \frac{\text{singleCoreN} \cdot dtype}{256\text{B}} +$$ + +2. **单次搬移量**：$k_{L1} \cdot \text{singleCoreN}_{tail} \cdot dtype \ge min\_TileSize$： + +$$ +s \le \frac{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype}{min\_TileSize} +$$ + +3. **对齐**：$\text{singleCoreN}_{tail} \ge 16$： + +$$ +s \le \frac{\text{singleCoreN}}{16} +$$ + +**计算 Bound（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$）**：搬移被计算掩盖，dValue 和搬移量约束可放宽——即使搬移效率降低，只要搬移时间仍 ≤ 计算时间，总时延不变。放宽的定量依据： + +小块计算时延 $T_{comp}^{tail} = 2 \cdot \text{singleCoreM} \cdot \text{singleCoreN}_{tail} \cdot K / Q_{16}$，搬移时延 $T_{load}^{tail} = (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}_{tail}) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。搬移被掩盖的条件： + +$$ +T_{load}^{tail} \le T_{comp}^{tail} \iff \text{singleCoreN}_{tail} \ge \frac{\text{singleCoreM} \cdot k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{BW_{pc} \cdot (2 \cdot \text{singleCoreM} \cdot K - k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16} / BW_{pc})} +$$ + +记右端为 $x_{min}$（搬移掩盖下限），则计算 Bound 下的约束为： + +$$ +s \le \min\Big(\frac{\text{singleCoreN}}{x_{min}},\; \frac{\text{singleCoreN}}{16}\Big) +$$ + +**计算 Bound 越严重（K 越大），$x_{min}$ 越小，$s$ 上限越大**——极端情况 $x_{min} \to 16$（对齐底线），$s \le \text{singleCoreN}/16$。 + +*例*（singleCoreM=singleCoreN=256、$k_{L1}$=128、K=1024、BF16）：$x_{min} = 256 \times 128 \times 2 \times 15.2 \times 10^{12} / (50 \times 10^9 \times (2 \times 256 \times 1024 - 128 \times 2 \times 15.2 \times 10^{12} / 50 \times 10^9)) \approx 1$——几乎无约束，$s \le 256/16 = 16$。 + +*最优切分因子*：先判定 Bound 类型（$T_{MMAD}$ vs $T_{MTE2}$），再选约束集： + +$$ +s^* = \min\Big(\Big\lfloor \frac{C}{r} \Big\rfloor,\; s_{max}\Big),\qquad s_{max} = \begin{cases} \min\big(\frac{\text{singleCoreN} \cdot dtype}{256\text{B}},\; \frac{k_{L1} \cdot \text{singleCoreN} \cdot dtype}{min\_TileSize},\; \frac{\text{singleCoreN}}{16}\big) & \text{访存 Bound} \\ \frac{\text{singleCoreN}}{16} & \text{计算 Bound} \end{cases} +$$ + +*例*（C=32、$N_{blk}=40$、$n_{wave}=2$、$r=8$、singleCoreM=singleCoreN=256、$k_{L1}$=128、BF16）： + +- **访存 Bound**（K 小）：dValue $s \le 2$，搬移量 $s \le 4$，对齐 $s \le 16$。$s^* = 2$——dValue 瓶颈，16 核满载，尾波减半，总时延节省 25%。 +- **计算 Bound**（K 大）：$x_{min} \approx 1$，$s^* = \min(4, 16) = 4$——32 核满载，尾波降为 1/4，总时延节省 37.5%。 + +*切分方向选择*：优先沿 N 切（保持 A 行带完整，L2 中 A 数据不变）。计算 Bound 下若 N 向对齐卡住（$\text{singleCoreN}/16 < C/r$），改沿 M 切（A 矩阵 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$ 不变，仅受对齐约束 $\text{singleCoreM}/16$）。 + +**结论**：$n_{wave} \le 3$ 且 $r < C$ 时应重切尾轮——host 端零代价，NPU 端收益 $T_{block}(1-1/s^*)$。$n_{wave} \ge 4$ 时收益 < 25%，可不重切（通过选择使尾波占比小的 mCnt/nCnt 组合来优化）。 + +**尾轮影响的量化** + +设总块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，总波数 $n_{wave} = \lceil N_{blk} / C \rceil$，尾波块数 $r = N_{blk} \bmod C$（$r = 0$ 时无尾波）。 + +**不重切时**尾波导致的额外时延（相对于完美整除）： + +$$ +\Delta T_{tail} = \begin{cases} 0 & r = 0 \\ T_{block} \cdot \big(1 - \frac{r}{C}\big) & r > 0 \end{cases} +$$ + +**重切后**尾波时延降为 $T_{block}/s^*$，额外时延： + +$$ +\Delta T_{tail}^{re} = \frac{T_{block}}{s^*} \cdot \Big(1 - \frac{r \cdot s^*}{C}\Big) +$$ + +当 $r \cdot s^* = C$（完美重切）时 $\Delta T_{tail}^{re} = 0$——尾波完全消除。 + +--- + +### 5.4 核间切分维度选择（按共享代价从低到高） + +切 B（零共享，先试）→ 切 M（右矩阵 $KN\cdot\text{dtype} \le L2$ 则驻留 L2）→ 切 N（对称）→ 混合切（靠 swizzle + L2 切分管理）→ 降核（见 Step 8）。 + +### 5.5 swizzle——ASW 滑窗蛇形 + +**问题**：核间切 M/N 后，同一时刻 C 个核各算一个输出块，它们所需的 A 行块与 B 列块集合就是当前"活跃工作集"。若按行优先顺序朴素分配，一波 C 个块横跨的 A 行、B 列很宽，活跃工作集超过 L2 就回 GM 读（1.6TB/s），重复读代价真实发生。**swizzle 要做的就是编排输出块的执行顺序，把每一波核的活跃工作集压到最小。** + +**做法**：把 M 向每 W 个基本块划为一个"窗口"，遍历顺序为"窗口内先扫 M、扫满 W 行再进下一列 N；一个窗口扫完再进下一个窗口"，且奇数窗口行 N 向反向（蛇形）。效果有二： + +* 同一波 C 个核的块集中在同一个窗口内 ⇒ 活跃 A 行块只有 W 个、活跃 B 列块只有 C/W 条带； +* 蛇形反向使相邻窗口行首尾相接——上一窗口末尾的 B 列带与下一窗口开头的 B 列带是同一条，跨窗口切换时工作集增量最小。 + +**W 怎么取**：一波 C 个块的 L2 足迹约为 + +$$ +footprint \approx \big(W \cdot M^t K + \tfrac{C}{W} \cdot K N^t\big) \cdot \text{dtype} +$$ + +由均值不等式，$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处取最小——窗口越接近"方形"（W 行 × C/W 列），足迹越小。同时 W 须整除 C，保证每个窗口恰好被整数波核覆盖、窗口边界不把波次切碎。合起来即： + +$$ +W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\,\} +$$ + +C=32 时 $\sqrt{32} \approx 5.66$，因子 {1,2,4,8,…} 中不超过它的最大者是 4，故 W=4。 + +**实例**（C=32，W=4，M̃=8，Ñ=8；数字为块的全局执行顺序，一波 32 块）： + +``` +窗口0（N 正向） 窗口1（N 蛇形反向） + ν0 ν1 ν2 … ν7 ν0 ν1 … ν7 + μ0 0 4 8 … 28 μ4 60 56 … 32 + μ1 1 5 9 … 29 μ5 61 57 … 33 + μ2 2 6 10 … 30 μ6 62 58 … 34 + μ3 3 7 11 … 31 μ7 63 59 … 35 +``` + +块 31 = (μ3, ν7)，块 32 = (μ4, ν7)——相邻两个块共用同一条 B 列带（ν7），窗口切换几乎零增量。对比朴素行优先（Ñ=16 时）：一波横跨 2 个 A 行块 + 16 条 B 列带，足迹 (2·M^t + 16·N^t)·K·dtype；滑窗为 (4·M^t + 8·N^t)·K·dtype——M^t≈N^t 时足迹缩小 1/3。 + +**窗内为什么不蛇形**（对上例中"块 3=(μ3,ν0) → 块 4=(μ0,ν1) 而非 (μ3,ν1)"的说明）：蛇形的收益来自"相邻遍历段共享边界数据"，要分两种边界看： + +* **窗内列间边界**（ν0→ν1）：相邻两段共享的是同一组 A 行块（W 个），它们在整个窗口期间**全程驻留 L2**，无论按什么顺序扫，工作集不变——窗内蛇形零收益； +* **窗口行边界**（窗口0→窗口1）：A 行整体换血（μ0..3 → μ4..7），此时 B 列带的连续性决定换血成本——不蛇形则下一窗口从 ν0 开始（LRU 上最久未用、早已被挤出 L2 的冷带），蛇形则延续上一窗口末尾的 ν7（最热线带）。**蛇形只标在窗口行号上**（源码 `BatchMatMulAswBlock::UpdateBasicIndex`：仅 `rowIdx` 为奇时 n 反向，窗内 m 最快序不反向），正是这个收益结构的直接实现。 + +### 5.6 L2 分组（工作集超 L2 时） + +**切的是什么**：将 mCnt×nCnt 个基本块划分为若干**执行组**——每组覆盖输出平面上一个连续矩形区域（若干 singleCoreM × singleCoreN 基本块的集合），使该组所需的 A 行带 + B 列带输入工作集 ≤ L2 可用读入空间；组内所有基本块算完再进下一组，输入只在跨组时换一次。 + +**为什么需要它**：滑窗压缩的只是"同一波"的足迹；若整个工作集超 128MB L2，跨波次复用落空——上一波窗口的 A 行早被挤出，下一波又得回 GM 读。且 L2 是**读写共用**的：输出经 fixpipe 写出时若驻留 L2（dirty），会压缩读入可用空间；若直写 GM，则占用与读共享的 1.6TB/s 总线。所以 L2 切分必须与写出策略联合决策。记输入总量 $S_{in} = B(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，输出总量 $S_{out} = B \cdot MN \cdot outB$。 + +**两个不变量**（一切分析的起点）： + +* GM 流量下界 $= S_{in} + S_{out}$：输入至少读一遍、输出最终至少要写一遍到 GM，与 L2 策略无关； +* L2 读入可用空间：$L2_{read} = L2 - S_{out}^{resident}$（$S_{out}^{resident}$ 为驻留 L2 的输出量）——写出驻留 L2 会压缩读入空间，这是写出策略影响读入复用的通道。 + +**重复读倍率**：$r_{in}$ = GM 输入流量 / $S_{in}$。$r_{in} = 1$ 表示每个输入数据从 GM 只读一遍（后续复用全在 L2 命中）——这是 GM 输入流量的下界，L2 管理的全部目标就是让 $r_{in}$ 尽量接近 1。 + +**先判定写出会不会 Bound**。平均写出带宽需求： + +$$ +BW_{out} = \frac{S_{out}}{T_{MMAD}} = \frac{B \cdot MN \cdot outB}{2BMNK\,/\,(C \cdot Q_{16})} = \frac{C \cdot Q_{16} \cdot outB}{2K} +$$ + +只与 K、outB 有关（K 越小，单位时间输出越密）。例（BF16 输出，C·Q₁₆=432 TFLOPS）：K=512 → 844 GB/s；K=256 → 1.69 TB/s，已超 GM 总线——此时**任何策略都写出 Bound**，L2 缓冲只能削峰（fixpipe 以 5.2TB/s 写 L2 吸收突发），平均速率仍受总线限制，应预期 Fixpipe 成为 $T_{total}$ 的 max 项。 + +**分场景决策**： + +**场景 A：$S_{in} + S_{out} \le L2$（全驻留）**。输入读一遍（$r_{in}=1$），输出驻留 L2（dirty）异步回写 GM——写出走 5.2TB/s L2 写口，不与读争，也削平了 GM 写突发。无需切分。 + +**场景 B：$S_{in} \le L2$ 但 $S_{in} + S_{out} > L2$（输入能驻留，加上输出超了）**。策略：**输入驻留、输出直写 GM**。理由链： + +1. $S_{in} \le L2$ ⇒ 全部输入可驻留 L2，跨波次复用全部命中 ⇒ $r_{in} = 1$（GM 输入流量达到下界 $S_{in}$）； +2. 输出在本算子内只写不读、零复用收益；若输出也驻留 L2（dirty），超出 L2 的部分会把输入挤出——被挤出的输入后续得回 GM 重读 ⇒ $r_{in} > 1$，GM 流量超出下界； +3. 故让输出直写 GM（fixpipe L0C→GM，不占 L2），把 128MB 全部留给输入，保住 $r_{in} = 1$——GM 总流量保持下界 $S_{in} + S_{out}$； +4. 代价是输出即刻占用 GM 写带宽（与读共享总线），须校验总线不爆：$(S_{in} + S_{out})/T_{MMAD} \le W_{GM}$。 + +例：B=8、M=N=4096、K=512、BF16——$S_{in}$≈67MB ≤ L2，$S_{out}$≈268MB 直写 GM；T_MMAD≈318µs，总流量速率 (67+268)MB/318µs ≈ 1.05TB/s < 1.6TB/s ✓。 + +**场景 C：$S_{in} > L2$（输入本身超）**。需要分组执行——把 mCnt×nCnt 个基本块划分为若干**执行组**，每组内所有基本块的输入工作集不超过 L2 可用空间。输出直写 GM（不占 L2 读入空间）。 + +**L2 的软件可控手段**：L2 是 Cache 而非 Buffer，软件无法精确控制"哪些数据在 L2 里"。可用的控制手段： +- **Cache Hint**（`SetL2CacheHint`）：标记输入为 allocate（读入 L2）或 non-allocate（直读 GM 不过 L2）；标记输出为 non-allocate（直写 GM 不占 L2）； +- **CMO**（Cache Maintenance Operation）：Prefetch/Writeback/Invalidate，在关键节点主动管理 L2 内容； +- **执行顺序**（swizzle）：通过编排基本块的执行顺序，控制同一时刻的活跃工作集——**这是最主要的 L2 管理手段**。 + +**执行组的划分**： + +*问题*：mCnt×nCnt 个基本块（每块输出 singleCoreM×singleCoreN），按什么粒度分组，使每组的输入工作集 ≤ L2？ + +*每组输入工作集*：一组覆盖 M 向 $m_{grp}$ 个基本块、N 向 $n_{grp}$ 个基本块，即覆盖输出区域 $[m_{grp} \cdot \text{singleCoreM},\; n_{grp} \cdot \text{singleCoreN}]$。该区域需要读入的输入： + +$$ +WS_{grp} = B \cdot K \cdot \big(m_{grp} \cdot \text{singleCoreM} + n_{grp} \cdot \text{singleCoreN}\big) \cdot \text{dtype} \;\le\; L2 +$$ + +*目标*：最小化组数（组数越少，输入从 GM 的重复读次数越少）。每行 A 被 $n_{grp}$ 个组各读一次，每列 B 被 $m_{grp}$ 个组各读一次： + +$$ +r_{in} = \frac{n_{grp} \cdot M + m_{grp} \cdot N}{M + N} +$$ + +*求解*：约束 $m_{grp} \cdot \text{singleCoreM} + n_{grp} \cdot \text{singleCoreN} \le D$（其中 $D = L2/(B \cdot K \cdot \text{dtype})$），最小化 $n_{grp} \cdot M + m_{grp} \cdot N$。最优在组内 M/N 向基本块数与输出平面形状成正比时取到： + +$$ +m_{grp} = \Big\lfloor \frac{D}{2 \cdot \text{singleCoreM}} \Big\rfloor,\qquad n_{grp} = \Big\lfloor \frac{D}{2 \cdot \text{singleCoreN}} \Big\rfloor +$$ + +总组数 $= \lceil mCnt/m_{grp} \rceil \times \lceil nCnt/n_{grp} \rceil$。 + +**组内 swizzle**：每组内部按 ASW 滑窗蛇形执行（窗口 $W = \max\{d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$，C=32 时 W=4），保证同一波 C 个核的活跃工作集最小。组间切换时输入整体换入——上一组的 A 行带和 B 列带全部失效，从 GM 重新读入下一组的数据。 + +*例*（B=64、M=N=2048、K=1024、BF16、singleCoreM=singleCoreN=256）：$S_{in} = 64 \times (2048 \times 1024 + 1024 \times 2048) \times 2 = 537\text{MB} > 128\text{MB}$。$D = 128\text{MB}/(64 \times 1024 \times 2\text{B}) = 1024$ 元素。$m_{grp} = \lfloor 1024/(2 \times 256) \rfloor = 2$，$n_{grp} = 2$。每组覆盖 $[512, 512]$ 的输出区域，工作集 $= 64 \times 1024 \times (512+512) \times 2 = 128\text{MB} = L2$，恰好装满。总组数 $= (2048/256/2)^2 = 16$。$r_{in} = (2 \times 2048 + 2 \times 2048)/(2048+2048) = 2$——每行 A 被读 2 次，每列 B 被读 2 次。 + +块内分配用**错位分核**（对角线分配）：线性块号先取 m，n 方向叠加随块号递增的相位偏移，使同一时刻各核落在 M×N 平面的不同对角线上——避免多核同一拍并发读同一行 A / 同一列 B 的同一地址（同地址并发读会串行化，等效带宽打折）。例（8 核、4×4=16 个基本块，k0~k7 为核号）： + +``` +行优先（不错位）： 错位分核（对角线）： + n0 n1 n2 n3 n0 n1 n2 n3 + m0 k0 k1 k2 k3 m0 k0 k4 . . + m1 k4 k5 k6 k7 m1 . k1 k5 . + m2 . . . . m2 . . k2 k6 + m3 . . . . m3 k7 . . k3 + +同一波：A 行带 m0 被 k0~k3 同读 同一波：每行带、每列带 +（4 路同地址冲突） 最多 2 核同读（冲突 4→2） +``` + +冲突度量与优选规则： + +$$ +transConflict = \max\big(\lceil C / mCnt \rceil,\; \lceil C / nCnt \rceil\big) \le 6 +$$ + +即同一时刻并发核访问同一 A/B 块的最大冲突数不超过阈值（经验值 6）；切分方案中优先选尾波不满载占比小（拖尾 < 一半）的。遍历大方向由 calOrder 决定（0=M 优先、1=N 优先），按形状选共享矩阵更能驻留 L2 的方向。 + +补充：若输出会被后续算子立即消费（融合场景），输出驻留 L2 让下游读命中，场景 B/C 的策略反过来；本文按单算子边界分析。 + +### 5.7 核内 tiling（BaseM/BaseN/BaseK——L0 级 tile，受 L0 容量直接约束） + +$\text{BaseM} \times \text{BaseN} \times 4\text{B} \times DB \le L0C$；$\text{BaseM} \times k_{L0} \times \text{dtype} \times 2 \le L0A$、$k_{L0} \times \text{BaseN} \times \text{dtype} \times 2 \le L0B$；内轴按 dValue 256B/512B 对齐。SingleCoreM/N 内部按 BaseM/BaseN 进一步切分为 L0 tile 逐个计算。L1 按容量开双缓冲，余量充足开 4 buffer。 + +### 5.8 内部特化（参数极限，不是独立分支） + +单边无 batch 且该侧矩阵小（$M \le 256$、$MK\cdot\text{dtype}\cdot 2 \le L1$、对侧每核循环 ≥4 轮）时小侧整个常驻 L1、只搬一次（L1 全载）。 + +### 5.9 降核模式实现 + +tiling 时 `usedCoreNum = ⌈P⌉`（不强制 C），SingleCoreM/N 在 L0C 容量内取最大（$\text{singleCoreM} \times \text{singleCoreN} \times 4\text{B} \le L0C$），每核按标准核内流水（L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe）处理自己的输出块；核间无共享无依赖，无需 swizzle 与 L2 切分。降核后 GM 并发搬移核数若 < minCoreNum，带宽利用率上限被压低——这正是降核区 case 时延的瓶颈所在，也是"时延绝对值小、不再继续优化"的定量注脚。 + +### 5.10 尾轮处理的三种策略对比与适用分界 + +给定 B、M、K、N、dtype，按 §5.1/§5.2 确定 BaseM/BaseN/SingleCoreM/SingleCoreN 后，总块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作。对尾轮有三种处理策略： + +| 策略 | 做法 | 块大小 | +|---|---|---| +| **A0：不重切** | 尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转 | 主轮尾轮同大小 | +| **A1：尾轮差异化处理** | 尾轮 $r$ 块的区域用更小的 tile 重切，凑满 C 核 | 主轮整块 + 尾轮小块 | +| **B：整轮均匀重切** | 总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 SingleCoreM/N 使每轮每核恰好一个同样大小的块 | 全部块同大小 | + +**A1 的两种形态**（v1.8 修订——r > C/2 时 A1 不再退化）： + +- **A1a：整数倍切分**（§5.3 原方案）——尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核。受 $s^* \le \lfloor C/r \rfloor$ 整数约束，**仅在 $r \le C/2$ 时可用**（$s^* \ge 2$）； +- **A1b：尾轮 tile 重选凑满核**——尾轮 $r$ 个原块覆盖的输出区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小的 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，使尾轮块数凑到 C（或最接近 C 的可行值）。tile 按 16 对齐步进缩小（如 $sM_t = sM - 16k$），理想值为 + +$$ +s_t^* = sM \cdot \sqrt{\frac{r}{C}} \quad \text{（方形同步缩小，} sM = sN \text{ 时）} +$$ + +再按 16 对齐下取，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$。**无 $r \le C/2$ 限制**——$r > C/2$ 时同样可用，打破 A1a 的整数约束失效问题。 + +本节在计算 Bound / 访存 Bound 两类场景下，分别对 A0 vs A1、A0 vs B、A1 vs B 三组对比做完整推导，给出适用条件分界。 + +**统一建模** + +符号：$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次），$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数），$\rho = r/C$（尾轮占比），$s^*$ 为 A1a 的整数切分因子，$g = N_{blk}'/N_{blk} = n_{wave}C/N_{blk} > 1$ 为 B 的块数放大倍数。 + +*块几何对三类时延的缩放律*（块面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）： + +| 时延项 | 依赖 | 缩放律 | +|---|---|---| +| $T_{MMAD}$（单块 Cube 计算） | $\propto$ 面积 $sM \cdot sN$ | $\propto g^{-1}$ | +| $T_{MTE2}$（单块 GM→L1 搬入） | $\propto$ 周长 $(sM + sN)$ | $\propto g^{-1/2}$ | +| $T_{FIX}$（单块写出） | $\propto$ 面积 | $\propto g^{-1}$（总量与切分无关） | + +*带宽模型声明*：昇腾 950PR 每核 MTE2 带宽上限按 $BW_{pc} = W_{GM}/C = 50$ GB/s 建模（§1.3）——尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，尾轮搬移不加速。HBM 全局共享池模型的边界说明见本节末。 + +*三策略通用时延式*（$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$ 为单块主导项）： + +$$ +T_{A0} = n_{wave} \cdot T_{block},\qquad T_{A1} = (n_{wave}-1) \cdot T_{block} + T_{tail},\qquad T_B = n_{wave} \cdot T_{block}' +$$ + +A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时，尾轮小块面积为 $r/C \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下： + +$$ +T_{tail}^{A1b} = \frac{r}{C} \cdot T_{block} = \rho \cdot T_{block} \quad \text{（凑满核，理想）} +$$ + +--- + +#### 情形一：计算 Bound（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$） + +**（1）A0 vs A1** + +A1a 可行时（$r \le C/2$）： + +$$ +\Delta_{A0 \to A1a}^{calc} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big) +$$ + +$r > C/2$ 时 A1a 的 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 失效，但 **A1b 不退化**：尾轮 tile 重选凑满 C 核后： + +$$ +\Delta_{A0 \to A1b}^{calc} = T_{MMAD} - \rho \cdot T_{MMAD} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{r}{C}\Big) +$$ + +合并： + +$$ +\text{A0 vs A1（计算 Bound）：A1 恒优（} r > 0 \text{），} \Delta = \begin{cases} T_{MMAD}(1 - 1/s^*) & r \le C/2 \text{（A1a）} \\ T_{MMAD}(1 - r/C) & r > C/2 \text{（A1b）} \end{cases} +$$ + +**A0 在计算 Bound 下永不最优**（$r=0$ 除外）。 + +**（2）A0 vs B** + +$$ +\Delta_{A0 \to B}^{calc} = n_{wave} T_{MMAD} - \frac{n_{wave}}{g} T_{MMAD} = T_{MMAD} \cdot \frac{C - r}{C} > 0 \quad (r > 0) +$$ + +**B 恒优于 A0**（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。 + +**（3）A1 vs B** + +A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 B 的 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ **理论时延严格相等**——两者都是"总计算量/C"（计算 Bound 下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。 + +差异在两个二阶项： + +- **搬移量（周长和）**：A1b 主轮保持大 tile、只缩尾轮，B 全局均匀缩小。设方形 tile 边长 $s$，A1b 周长和 $= 2sC(n_{wave}-1) + 2s\sqrt{\rho} \cdot C$，B 周长和 $= 2s_B \cdot n_{wave} C$（$s_B = s\sqrt{N_{blk}/(n_{wave}C)}$）。两边约去 $2sC$ 后比较 $n_{wave}-1+\sqrt{\rho}$ 与 $\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}$： + +$$ +\big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big)^2 \le n_{wave}(n_{wave}-1+\rho) \iff 2\sqrt{\rho} \le 1 + \rho \iff (\sqrt{\rho}-1)^2 \ge 0 +$$ + +**均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B**（等号当 $\rho = 1$，即无尾轮）。搬移少意味着 L2 重复读少、计算 Bound 掩盖余量更大； + +- **离散对齐浪费**：A1b 的 $s_t^* = s\sqrt{\rho}$ 一般不是 16 的倍数，须向上取整到 16 对齐（下取则重切块数 > C、凑不满）。上取整使尾轮 tile 略大、覆盖略超尾轮区域——例：$r=17$、$s=256$ 时 $s_t^* = 186.6 \to 192$，尾轮时延 $19.9\mu s$ vs 理想 $18.8\mu s$，**覆盖浪费约 2%**。B 的 $s_B$ 同样须 16 对齐，但全局枚举可在 $(mCnt', nCnt')$ 二维空间选最贴合的分解，对齐损失通常更小。 + +**结论（计算 Bound）**：A1 与 B 理论时延相等；A1 搬移少（周长和 ≤ B）但须两套 tile 参数、尾轮 L 形区域重切有对齐浪费（≤2%）。**工程上 B 更简洁；理论搬移效率 A1 略优。若尾轮区域形状不规整（L 形）导致 A1b 凑满困难，选 B。** + +*例 1（计算 Bound，$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。$mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。$T_{MMAD}=35.3\mu s$（$T_{MTE2}=5.2\mu s$）。 + +- A0：$70.6\mu s$； +- A1a：$s^* = \lfloor 32/17 \rfloor = 1$ 失效； +- A1b：$s_t^* = 256\sqrt{0.53} = 186.6 \to 192$（16 对齐上取），尾轮 $\lceil 17 \times 256^2/192^2 \rceil = 31$ 块凑 31 核，尾轮时延 $2 \times 192^2 \times 4096/15.2\text{T} = 19.9\mu s$，$T_{A1b} = 35.3 + 19.9 = 55.2\mu s$； +- B：$N_{blk}'=64=8\times8$、$sM'=sN'=224$，$T_B = 54.1\mu s$。 + +A1b 与 B 相当（55.2 vs 54.1，离散对齐浪费 2%）；周长和 A1b $= 32 \times 512 + 31 \times 384 = 28288$ vs B $= 64 \times 448 = 28672$（A1b 搬移少 1.3%）。**相对 A0 均省约 23%**。 + +*例 2（计算 Bound，$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$mCnt=6, nCnt=8$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 35.3 + 17.7 = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。**A1a = B**（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。 + +--- + +#### 情形二：访存 Bound（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$） + +主导项 $T_{block} = T_{load} = (sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。 + +**（1）A0 vs A1** + +A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（A 行带不随 $s^*$ 缩小——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$： + +$$ +\Delta_{A0 \to A1a}^{mem} = \frac{T_{load}}{2}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big) +$$ + +受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。 + +A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ 的 tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$： + +$$ +T_{tail}^{A1b} = \frac{2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1} \cdot dtype}{BW_{pc}} = \sqrt{\rho} \cdot T_{load} +$$ + +$$ +\Delta_{A0 \to A1b}^{mem} = T_{load}\big(1 - \sqrt{\rho}\big) > 0 \quad (\rho < 1) +$$ + +**A1b 恒优于 A0**（dValue 允许时：$s_t \cdot dtype = \sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype \ge 256\text{B}$）。 + +**（2）A0 vs B** + +$$ +\Delta_{A0 \to B}^{mem} = n_{wave} T_{load}\Big(1 - \frac{1}{\sqrt{g}}\Big) > 0 +$$ + +**B 恒优于 A0**（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。 + +**（3）A1 vs B** + +比较总搬移量（周长和）。A1b：主轮 $(n_{wave}-1)C$ 块大 tile + 尾轮 C 块 $s\sqrt{\rho}$ tile： + +$$ +S_{A1b} = 2sC\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big) +$$ + +B：$n_{wave} C$ 块 $s\sqrt{N_{blk}/(n_{wave}C)}$ tile： + +$$ +S_B = 2s \cdot n_{wave} C \cdot \sqrt{\frac{N_{blk}}{n_{wave} C}} = 2sC\sqrt{n_{wave}\Big(n_{wave} - 1 + \rho\Big)} +$$ + +由均值不等式 $S_{A1b} \le S_B$ 恒成立（推导同计算 Bound），且总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同）： + +$$ +\frac{T_{A1b}^{mem}}{T_B^{mem}} = \frac{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}}{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}} \le 1 +$$ + +**访存 Bound 下 A1b 恒不劣于 B**，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%；$\rho \to 1$ 时趋同）。 + +*dValue 修正*：A1b 凑满要求 $s_t = s\sqrt{\rho} \ge 256\text{B}/dtype$（B 非转置）： + +$$ +\sqrt{\rho} \ge \frac{256\text{B}}{sN \cdot dtype} \iff \rho \ge \Big(\frac{256\text{B}}{sN \cdot dtype}\Big)^2 +$$ + +不满足时 A1b 只能缩到 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r \cdot (sN \cdot dtype/256\text{B})^2 < C$ 凑不满，A1b 退化为部分凑满，此时与 B 打平或略差，选 B（若 B 的 $g$ 满足 dValue）。 + +**访存 Bound 数值实例**： + +*例 3（$\rho$ 小、dValue 卡死）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$。$T_{load} = 5.24\mu s$（$k_{L1}=256$）。 + +- A0：$10.5\mu s$； +- A1a：$s^* = \min(8, 2, 16) = 2$（dValue），$T_{A1a} = 5.24 + 3.93 = 9.2\mu s$； +- A1b：$s_t^* = 256\sqrt{0.125} = 90.5$，dValue 下限 $256\text{B}/2\text{B} = 128$——**$90.5 < 128$，dValue 卡死**，只能 $s_t = 128$，尾轮 $4 \times 256^2/128^2 = 16$ 块（半满载），$T_{tail} = 2.62\mu s$，$T_{A1b} = 7.9\mu s$（理论无约束值 $5.24 \times 1.354 = 7.1\mu s$ 达不到）； +- B：$N_{blk}'=64$、$sM'=sN'=192$，$T_B = 7.9\mu s$。 + +dValue 卡死后 **A1b = B = 7.9μs**（打平）。 + +*例 4（$r > C/2$、dValue 满足，A1b 优）*：M=N=2304、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=9$、$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype = 0.729 \times 256 \times 2 = 373\text{B} \ge 256\text{B}$ ✓。 + +- A0：$15.7\mu s$；A1a：$s^* = 1$ 失效（=A0）； +- A1b：$s_t = 192$，尾轮 32 块搬移 $32 \times 384 \times 256 \times 2 / (32 \times 50\text{G}) = 3.93\mu s$，$T_{A1b} = 2 \times 5.24 + 3.93 = 14.4\mu s$； +- B：$N_{blk}'=96$、$(8,12)$ 分解（$sM'=288, sN'=192$），$T_B = 3 \times 4.92 = 14.7\mu s$。 + +**A1b 优 2.2%**（周长和 $45056 < 46080$，与均值不等式结论一致）。 + +--- + +#### 三策略决策总表（保留 v1.7，按 A1 扩展更新） + +Bound 判据：$K^* = \dfrac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 \cdot BW_{pc}}\Big(\dfrac{1}{sM} + \dfrac{1}{sN}\Big)$，$K \ge K^*$ 为计算 Bound。 + +| 场景 | A0 vs A1 | A0 vs B | A1 vs B | 最优策略 | +|---|---|---|---|---| +| 计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$ | A1a 优 | B 优 | A1a = B（选 A1a，搬移少） | A1a | +| 计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$ | A1a 优 | B 优 | B 略优（取整损失） | A1a/B 皆可 | +| 计算 Bound，$r > C/2$ | **A1b 优**（不再退化） | B 优 | **时延相等**（A1b 搬移少但离散对齐浪费 ≤2%） | A1b 或 B（工程简洁选 B） | +| 访存 Bound，$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype \ge 256$B | A1b 优 | B 优 | **A1b 恒优**（周长和 ≤ B） | A1b | +| 访存 Bound，$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype < 256$B（dValue 卡死） | A1b 部分凑满 | B 优 | 打平（A1b 退化） | B（若 $g$ 可行） | +| dValue 全面卡死（B 也不可行） | A1a（$s_{dv}^* \ge 2$ 时）或 A0 | B 不可行 | — | A1a/A0 | + +#### 基于 B/M/K/N/dtype 的直接判定表 + +以下五步闭式计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真： + +**前置计算**（全部为 B/M/K/N/dtype 与芯片规格的闭式函数）： + +1. **首轮切分**（§5.2 枚举）：得 $mCnt, nCnt, sM, sN, k_{L1}$； +2. **尾轮参数**：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$，$r = N_{blk} \bmod C$，$\rho = r/C$； +3. **Bound 判定**：$K^* = \dfrac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}\Big(\dfrac{1}{sM} + \dfrac{1}{sN}\Big)$，$K \ge K^*$ → 计算 Bound； +4. **dValue 可行性**：$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$（A1b 访存可行需 $\rho \ge \rho_{dv}$）；$g_{dv} = (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$（B 访存可行需 $g \le g_{dv}$）； +5. **单块主导项**：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{load})$。 + +**决策表**： + +| # | 条件 | 最优策略 | 端到端时延 | +|---|---|---|---| +| 1 | $r = 0$ | A0（无尾轮） | $n_{wave} \cdot T_{block}$ | +| 2 | 计算 Bound，$0 < r \le C/2$ | A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$ | $T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$ | +| 3 | 计算 Bound，$r > C/2$ | A1b（$s_t = sM\sqrt{\rho}$ ↓16）或 B（$N_{blk}' = n_{wave}C$） | $T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$ | +| 4 | 访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$ | A1b | $T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$ | +| 5 | 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$，$g \le g_{dv}$ | B | $T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$ | +| 6 | 访存 Bound，B 也不可行 | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | $T_{load}(n_{wave}-1) + T_{load}(1+1/s^*)/2$ | + +**判定流程图**： + +``` +[B, M, K, N, dtype] + │ + ▼ +<§5.2 首轮枚举 → mCnt, nCnt, sM, sN, kL1> + │ + ▼ + + │ + ├─ r = 0 ────────────────▶ A0（无尾轮） + ▼ + + │ + ├─ 是 ── r ≤ C/2 ? ──┬─ 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋） + │ └─ 否 ─▶ A1b（s_t = sM√ρ ↓16）或 B + │ （时延相等；工程简洁选 B） + │ + └─ 否（访存 Bound）── ρ ≥ ρ_dv ? ──┬─ 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B） + └─ 否 ─▶ B（g ≤ g_dv 时） + 或 A1a/A0 兜底 +``` + +**整体结论**（v1.8 更新）： + +1. **A0 从来不是最优**（$r > 0$ 时 A1 或 B 严格优）；A0 只是可行性兜底； +2. **A1 经 A1b 扩展后在 $r > C/2$ 时不再退化**：计算 Bound 下 A1b 与 B 理论时延相等（总计算量/C 守恒）、搬移更少（周长和 ≤ B，均值不等式）；访存 Bound 下 A1b 恒不劣于 B； +3. **B 的价值**：工程简洁（全局一套 tile）、无尾轮 L 形区域对齐浪费、dValue 卡死时是 A1b 的替代； +4. **访存 Bound 的 dValue 是 A1b 的硬约束**：$\rho < (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$ 时尾轮 tile 缩不到凑满尺寸，A1b 退化为部分凑满，与 B 打平。 + +**边界说明（带宽模型敏感性）**：访存 Bound 结论依赖"每核 MTE2 带宽上限 $BW_{pc}$"假设。若 HBM 为全局共享池（尾轮 $r$ 核可吃满 $W_{GM}$），A0 尾轮搬移时延已是 $\rho \cdot T_{load}$ 接近理想，A1b/B 的搬移增量无带宽补偿，结论反转。昇腾 950PR 的 MTE2 为每核独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，采用固定份额结论；临界 case 建议实测复核。 + +**A1b 的工程代价**：需两套 tile 参数（主轮大 tile + 尾轮小 tile）与尾轮区域的边界处理（r 个原块的并一般为 L 形，按矩形分解重切）；host 端多一次枚举，NPU 侧 kernel 需支持尾轮 tile 尺寸切换。这些复杂度不改变时延结论，但影响实现成本——与 B（全局一套 tile）的工程权衡如上表。 + +**与流程图的衔接**：三策略决策嵌入 §7.2 理论流程图阶段 4——先算 $r$、$\rho$、$g$、$s^*$，按 Bound 类型查决策表；选 A1a 按 §5.3 计算整数切分，选 A1b 对尾轮区域重选 tile（$s_t$ 按 16 步进缩小至凑满），选 B 回到阶段 2 枚举（约束 1 改为等式 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt' = N_{blk}'$）。 + +--- + +--- + +## 六、与源码实现的对比 + +源码参考 [cann-ops-nn](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)（DAV_3510/arch35）。以下按实现方案的 Step 0-8 逐维度对比。 + +### 6.1 进入条件（IsCapable） + +**源码**（`batch_matmul_v3_asw_basic_tiling.cpp` IsCapable）： + +```cpp +// 源码：https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3 +1. A/B 非连续转置状态一致（混合则拒绝） +2. BatchA == BatchB（广播由 ITER_BATCH_BROADCAST 承接） +3. batchBias <= 1 +4. dtype 限 FP16/BF16 +// 无其他条件——兜底 +``` + +| 维度 | 理论 | 源码 | 差异 | +|---|---|---|---| +| 并行度校验 | $P = B \cdot MN \cdot 4B / L0C \ge C$ | **无** | 源码不检查 P，靠优先级序靠前分支截胡 | +| 降核模式 | $P < C$ → usedCoreNum = ⌈P⌉ | **无** | GetNumBlocks() 固定返回 32 核 | +| batch 结构 | 无限制 | BatchA == BatchB | 源码排除广播（由分支 4 承接） | + +**影响**：源码缺少降核分支。P < C 的 case 进入 ASW_Basic 后，所有 32 核仍参与调度，但部分核无实际工作——引入不必要的调度开销。理论上这些 case 应走降核模式（usedCoreNum = ⌈P⌉）。 + +### 6.2 BaseM / BaseN 确定（§5.1） + +**源码流程**（`MatMulV3TilingHelper::GetRebalanceBlock`，`matmul_v3_tiling_helper.cpp` L387-492）： + +*第 1 步——平台指标*（动态读 platformInfo，适配不同产品形态）： + +$$ +hbmBW = freq \times aicNum \times ddrRate/1024,\qquad l2BW = freq \times aicNum \times l2Rate/1024 +$$ + +$$ +computePower = freq \times 8 \times aicNum \; (\text{BF16}),\quad \text{FP32 时 } /16 +$$ + +*第 2 步——cubeBoundEdge 闭式计算*（L418-419）： + +$$ +edge = \underbrace{\frac{l2BW}{computePower}}_{\text{① L2 满速供数基准}} + \underbrace{l2CacheUsage \cdot \Big(1-\frac{l2BW}{hbmBW}\Big) \cdot cmr}_{\text{② L2 工作集超容惩罚}} - \underbrace{\frac{1 + l2BW/hbmBW}{kValue}}_{\text{③ K 向复用修正}} +$$ + +其中 $cmr = (M{+}N)/(MN)$、$l2CacheUsage = \max(B \cdot (M{+}N) \cdot K \cdot dtype/L2,\; 1)$。判据：**每输出块相对搬运量** $1/baseM + 1/baseN \le edge$ ⟺ 该 tile 处于计算 Bound 侧。 + +三项物理含义（第一性推导）： + +1. **① 基准**：单核计算 $2MNK$ FLOP 时长为 $2MNK/Q_{16}$，搬运 $(M{+}N)K \cdot dtype$ 字节时长为 $(M{+}N)K \cdot dtype/l2BW$。计算 Bound ⟺ $2MNK/Q_{16} \ge (M{+}N)K \cdot dtype/l2BW$ ⟺ $1/M + 1/N \le 2 \cdot l2BW/(Q_{16} \cdot dtype)$——与 ① 同构（$2/dtype$ 常数吸收进后面的 CUBE_BOUND_RATIO 余量）。 + +2. **② 工作集超 L2 时抬高 edge → 倾向更小 tile**：$l2CacheUsage > 1$（工作集 $B(M{+}N)K \cdot dtype$ 超过 L2）时实际供数带宽部分掉到 HBM（$hbmBW < l2BW$）。抬 edge 使判定放宽——较小 tile（工作集小、L2 命中率高、供数更接近 l2BW）也能通过计算 Bound 判定。**若坚持大 tile，工作集更大、超 L2 更多、供数掉到 HBM，反而访存 Bound**。 + +3. **③ K 大时压低 edge → 倾向更大 tile**：K 大计算量大、天然计算 Bound，可接受更大 tile（更小搬运量）而不触访存 Bound。 + +*第 3 步——枚举与评分*（L448-483）： + +- 候选上界由多重约束闭式卡出：L0A/L0B 容量（minKL0）、baseMNBufferLimit（L0C/UB 面积）、bias table、K 内轴 512B 对齐（BMM 固定）、shape；内存 Bound 时对齐粒度 128、计算 Bound 时 64 +- 枚举 baseM、baseN 从大到小递减，两层剪枝： + - **skipCond**：最优解已 balance ≥ 0.9 时，若当前 param 更差（tile 更小）且超过 edge（访存 Bound）→ 跳过（param 单调增，后续更差） + - **FP32**：baseM/baseN < 64 且块数 > 核数 → 跳过 +- 更新评分（帕累托双目标）： + - **cubeBoundCond**：$param \le edge$ 且 balance 更高 → 更新，并把 edge 收紧为 param（**单调收敛**：进入计算 Bound 区域后只接受同样计算 Bound 且更均衡的解） + - **balanceCond**：综合分 $param/balanceRate$ 更小者胜（单位负载均衡率的搬运代价），相等取更均衡者 +- 收尾：GetBaseK（K 全载或 256B/128B/64B/32B/16 递减）、usedCoreNum = min(batch×mCore×nCore, 核数)、dbL0C 按容量置 2/1 + +**为什么源码这么做（设计考虑）**：cubeBound 是 **host 端闭式解析模型**，把"该 tile 是否计算 Bound"做成一次不等式比较，替代实测调优；edge 随 shape（K、工作集）和平台（带宽/频率）自适应；双目标帕累托保证解在"算存比"与"负载均衡"之间取平衡。 + +**与理论最优的优劣判定**： + +| 维度 | 理论最优（§5.1） | 源码 | 判定 | +|---|---|---|---| +| tile 面积 | L0C/4B = 65536（单缓冲满） | baseM/baseN 上限 256×256 = 65536 | ✓ 一致 | +| 形状 | 方形优先（L0A=L0B 同时装满、baseK 最大） | 枚举 M/N 独立递减，不强制方形 | ⚠️ 源码可能产出非方形 base（如 256×192），L0B 未满、baseK 被小边限制——可加方形约束改进 | +| baseK | min(L0A/2·BM, L0B/2·BN) 向下 16 对齐 | GetBaseK：K 全载或 256B/128B/64B/32B/16 递减 | ✓ 一致 | +| 访存/计算 Bound 判定 | §5.2 用粗粒度 Bound 判定（分支级） | cubeBound 三项解析模型（tile 级） | ⚠️ 源码更精细，理论可吸收 | +| 负载均衡 | §5.3 尾轮重切 | balanceRate 尾块感知评分 | 见 §6.8 | + +**结论**：两者在 tile 面积上殊途同归（都取 L0C 单缓冲满），理论用"方形优先"推导、源码用枚举寻优。源码的 cubeBound 模型是理论"算存比判定"在 tile 粒度上的精细实现，值得理论吸收；源码的不足是枚举不保持方形、baseM/N 硬上限 256 使 per-core tile 无法超过 L0 容量（见 §6.3）。 + +### 6.3 SingleCoreM / SingleCoreN 确定（§5.2） + +**源码事实：singleCore 与 base 是同一个参数——源码没有分层概念。** + +证据链：`ResetBaseDav3510`（L144-149）置 `baseM = baseN = 256`、`singleCoreM = baseM`；`CalL1TilingDefault`（L77-78）置 `singleCoreM = runInfo.baseM`、`singleCoreN = runInfo.baseN`；枚举后 `stepM = CeilDiv(singleCoreM, baseM) = 1`、`stepN = 1`。即**每核 tile = L0 tile = baseM×baseN（≤ 256×256）**，不存在"SingleCore 内部多个 L0 tile 多轮计算"的结构。 + +**源码做法**：baseM/baseN 由 GetRebalanceBlock 枚举确定（§6.2 的 cubeBound 模型 + balanceRate ≥ 0.9 剪枝 + 尾块感知评分），一次枚举同时决定"每核 tile 大小"与"L0 tile 大小"——因为两者不区分。 + +**为什么源码这么做（设计考虑）**：单一参数简化 tiling 生成与 kernel 实现——kernel 只需处理"每核一个 baseM×baseN tile"的循环，无需 stepM/stepN 多轮嵌套。代价是**每核 tile 被 L0 容量（≤ 256×256）硬性限制**。 + +**与理论最优的优劣判定**（关键差异）： + +| 维度 | 理论最优（§5.2） | 源码 | 判定 | +|---|---|---|---| +| 分层 | SingleCoreM/N ≥ BaseM/N 显式两层 | singleCore = base，单层 | ⚠️ 源码是理论的退化特例 | +| SingleCore 上限 | L1 容量约束（可远超 256） | L0C 面积（≤ 256×256） | ⚠️ 差异 | +| mCnt/nCnt | 最少切分 ⌈C/B⌉ | ⌈M/baseM⌉×⌈N/baseN⌉，base ≤ 256 | ⚠️ 差异 | +| 依据 | 搬入时延最小化（§5.2 拉格朗日） | cubeBound + balanceRate 枚举 | 部分一致 | + +**定量示例**（B=64、M=N=2048、K=512、BF16，ASW 承接的 B≥C 且 IterBatch/MergeBatch 不满足的 case）： + +- 理论：$P = \lceil C/B \rceil = 1$，先试不切分——$mCnt = nCnt = 1$、singleCoreM = 2048、singleCoreN = 2048。L1 检查：$2 \times (2048{+}2048) \times k_{L1} \times 2\text{B} \le 512\text{KB}$ ⟹ $k_{L1} \le 32$ 元素 = 64B < 256B 不满足 dValue。**K 分块仍不满足则退化**：$k_{L1} \ge 128$（256B）⟹ $2 \times 4096 \times 128 \times 2 = 2\text{MB} > 512\text{KB}$ 溢出 ⟹ 不切分不可行，进入情形 2（B < C 式切分）？此时 B ≥ C 但 L1 放不下，实际须切 M/N：按 $mCnt \times nCnt \ge \lceil C/B \rceil$ 不成立——真正约束是 L1：$2(mCnt 方向的分块)$… 精确说，理论在 L1 约束下求最小 mCnt×nCnt：$2 \cdot (\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN}) \cdot k_{L1} \cdot dtype \le L1$ 与 $mCnt \cdot nCnt$ 的联合。取 $k_{L1}=128$：$\text{singleCoreM} + \text{singleCoreN} \le 512\text{KB}/(2 \times 128 \times 2) = 1024$。方形分配 ⟹ singleCoreM = singleCoreN = 512、mCnt = nCnt = 4、共 16 块/核分配 64×16=1024 块到 32 核。搬入时延 ∝ mCnt/M + nCnt/N = 4/2048×2 = 0.0039。 +- 源码：baseM = baseN = 256（L0 上限），mCnt = nCnt = ⌈2048/256⌉ = 8、共 64 块/batch、64×64=4096 块。搬入时延 ∝ 8/2048×2 = 0.0078——**是理论的 2 倍**。 + +**结论**：当 L1 容量富余（K 小）时，理论的最少切分原则允许 singleCoreM/N 超过 256（上例 512），mCnt/nCnt 减半，GM→L1 总搬入时延（重复读）减半；源码的 singleCore = base ≤ 256 硬上限导致**过度切分**，L2 重复读翻倍。源码改进方向：引入 SingleCore/Base 分层，SingleCore 由 L1 容量决定（上限解除 L0 约束），stepM/stepN 多轮 L0 计算。这是理论对源码**最实质的一条改进建议**。 + +### 6.4 mCnt / nCnt 与核间分配（§5.3） + +**源码做法**： + +$$ +mCnt = \Big\lceil \frac{M}{baseM} \Big\rceil,\qquad nCnt = \Big\lceil \frac{N}{baseN} \Big\rceil +$$ + +块→核映射：`UpdateBasicIndex`（`batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h`）——`index = blockIdx + round × usedCoreNum`，`matIndex = index % (mCnt × nCnt)` 解出 batch 内 (m, n)，B→M→N 线性字典序，与理论 §4 的线性映射一致；`batchIdx = index / (mCnt × nCnt)` 天然支持广播。usedCoreNum = min(batch×mCore×nCore, aicNum)（GetRebalanceBlock L489）——**注意源码也有"降核"**：当 batch×mCnt×nCnt < aicNum 时 usedCoreNum 自动收缩，比 §6.1 所述"无降核"更准确：源码无**独立的降核 tiling 模板**，但 GetRebalanceBlock 收尾会把 usedCoreNum 压到实际块数。 + +**与理论最优的优劣判定**： + +| 维度 | 理论最优 | 源码 | 判定 | +|---|---|---|---| +| 切分数 | 最少切分：mCnt×nCnt = ⌈C/B⌉（§5.2） | mCnt = ⌈M/baseM⌉，baseM ≤ 256 固定 | ⚠️ 源码过度切分（§6.3 定量：搬入时延 2 倍） | +| 长宽比 | B < C 时方形分配（拉格朗日） | 由 baseM/baseN 枚举自然产生 | ≈ 一致（方形成分由 256×256 上限保证） | +| 核间分配 | B→M→N 线性映射 | 一致 | ✓ | +| 降核 | P < C → usedCoreNum = ⌈P⌉（§5.9） | usedCoreNum = min(batch×m×n, aicNum) | ≈ 一致（实现路径不同） | + +**尾轮处理对比**（对应 §5.3）： + +- 源码 `GetBalanceRateWithTail`（L223-246）：尾块感知的负载均衡率用于**枚举评分**——mainRound = ⌈totalRound/C⌉-1，尾轮按 √ 拆两维估算（totalTailSplit = FloorDiv(usedCoreNum, 尾块数)），$tailRound = 1/(\sqrt{t} \times (\sqrt{t}+offset-1))$，$rate = (MN/C)/((mainRound+tailRound) \cdot baseM \cdot baseN)$。**但 BMM 场景（batchInfo ≠ nullptr）直接短路为简单比率**（L237-240：$rate = (B \cdot MN/C)/((mainRound+1) \cdot baseM \cdot baseN)$）——尾轮不做拆分估算，理由是 batch 维已摊薄尾块效应。 +- 源码**不实际重切尾轮**，只通过枚举选择尾块占比小的 (baseM, baseN) 组合。 +- 理论（§5.3）：$n_{wave} \le 3$ 时 host 端计算切分因子 $s^*$ 并实际重切尾轮（下发第二套 tiling 参数），收益 $T_{block}(1-1/s^*)$。 + +**判定**：理论更优。源码对 BMM 一律不做尾轮拆分（含估算），对小 $n_{wave}$（2~3 轮）的 case 尾轮浪费可达 25%~50% 核时；理论的重切方案 host 端零 NPU 代价、收益可量化（访存 Bound 受 dValue 约束、计算 Bound 可到对齐底线）。理论方案可作为源码改进建议。 + +### 6.5 Swizzle（§5.5） + +| 维度 | 理论 | 源码 | +|---|---|---| +| 窗口大小 | $W = \max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$ | `GetAswWindowLen`：逻辑一致 | +| 蛇形 | 窗口行间 N 向反向，窗内不蛇形 | 一致（`rowIdx % 2 != 0` 时 n 反向） | +| 尾窗 | 未提及 | 有 tailWindow 分支处理 mCnt 不整除窗长 | + +**结论**：swizzle 实现与理论一致。源码的窗长公式与理论 $W = \max\{d : d \mid C, d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\}$ 完全相同。但源码对细长 shape（mCnt 小或 nCnt≫mCnt）的方形窗假设不成立时，退化为行优先（`mainWindow = min(aswWindowLen, mCnt)`），未按 shape 长宽比自适应窗形。 + +### 6.6 L2 管理（§5.6） + +| 维度 | 理论 | 源码 | +|---|---|---| +| 启用条件 | $S_{in} > L2$ 时分组 | isBigSize(>100MB) && cBatchDimAll < usedCoreNum && transConflict ≤ 6 | +| 冲突度量 | transConflict ≤ 6 | 一致 | +| 写出策略 | $S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$ 时输出直写 GM | 仅 enableL2Cache flag + SetL2CacheHint，无显式输出 non-allocate 决策链 | +| 尾波控制 | 优先选尾波不满载占比小的方案 | TAIL_CONFLICT_RATIO = 0.5 | + +**差异分析**：源码有两个额外限制： +1. **100MB 阈值**：小于 100MB 的 case 不启用 L2 cache 管理——理论上 $S_{in} \le L2 = 128$ MB 时不需要分组，100MB < 128MB 留有余量，合理但是经验值； +2. **cBatchDimAll < usedCoreNum**：batch 数小于核数时才启用——B ≥ C 时不做 L2 分块（由 ASW 承接时不分）。 + +源码中理论要求的"输出直写 GM vs 驻留 L2"的写出策略联合决策（场景 B：$S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$）未见显式实现。 + +### 6.7 AL1 全载特化（§5.8） + +| 维度 | 理论 | 源码 | +|---|---|---| +| 条件 | M ≤ 256，batchA=1，A 驻留 L1，每核 ≥4 轮 | 一致（IsCapable L31-72） | +| A 搬移 | GM→L1 一次搬入 | 一致（Nd2Nz DataCopy 一次搬入） | +| B 搬移 | 每基本块一次 | 一致 | + +**结论**：AL1 全载是理论与源码**最吻合的分支**。源码注释有笔误（"m should be larger than 256" 实为 ≤256），需注意。 + +### 6.8 尾轮处理（§5.3） + +源码的尾轮相关逻辑分布在三处，与理论逐项对比： + +| 机制 | 源码 | 理论（§5.3） | 判定 | +|---|---|---|---| +| 尾块感知评分 | `GetBalanceRateWithTail`：尾轮按 √ 拆两维估算后计入 rate | $\Delta T_{tail}$ 量化公式 | ≈ 一致（源码是估算、理论是闭式） | +| BMM 尾轮估算 | batchInfo ≠ nullptr 时**短路为简单比率**，不做拆分估算 | batch 维摊薄尾块效应 | ≈ 一致 | +| 实际重切 | **不做**（仅 AL1 全载的 `CalcTailBasicBlockAL1Full` 沿 N 切尾块逼近满载） | $n_{wave} \le 3$ 且 $r < C$ 时 host 端重切（$s^*$ 分块 + 第二套 tiling 参数下发） | ⚠️ 理论更优 | +| 重切约束 | — | 访存 Bound：dValue ≥ 256B、搬移量 ≥ min_TileSize、16 对齐；计算 Bound：仅 16 对齐 | — | + +**判定**：源码对 BMM 的 ASW 路径不做尾轮重切，仅通过枚举选择尾块占比小的组合（balanceRate ≥ 0.9 剪枝）。对于 $n_{wave} = \lceil B \cdot mCnt \cdot nCnt/C \rceil \le 3$ 的 case，理论的重切方案可节省 $T_{block}(1-1/s^*)$ 的尾波时延（$n_{wave}=2$、$r=8$ 时总时延省 25%），且 host 端零 NPU 代价。源码改进建议：在枚举收尾后增加尾轮重切判定（$n_{wave} \le 3$ 时计算 $s^*$ 并生成第二套 tiling 参数）。 + +### 6.9 降核模式（§5.9） + +| 维度 | 理论 | 源码 | +|---|---|---| +| 实现 | usedCoreNum = ⌈P⌉，其余核闲置 | **未实现**——GetNumBlocks() 固定返回 32 | + +**影响**：P < C 的 case（小 M/N、小 B）进入 ASW_Basic 后，所有 32 核参与调度但部分核无实际工作。理论上应只调度 ⌈P⌉ 核。这类 case 的时延绝对值小，但多余核的调度开销（tiling 计算、kernel 启动、上下文切换）是真实存在的。 + +### 6.10 综合评价 + +| 维度 | 评价 | +|---|---| +| 核间分配 + swizzle | ✓ 与理论一致 | +| AL1 全载特化 | ✓ 与理论最吻合 | +| 尾轮处理 | ✓ 一致（不重切，选小尾波组合） | +| BaseM/BaseN 分层 | ⚠️ 源码无显式 SingleCore/Base 分层，baseM=256 实为 SingleCore 级 | +| L2 管理 | ⚠️ 比理论保守（100MB 阈值 + batch 数限制），缺输出写出策略联合决策 | +| 降核模式 | ✗ 未实现 | +| 经验常数 | ⚠️ CUBE_BOUND_RATIO=0.85、balanceRate=0.9、transConflict=6、TAIL_CONFLICT_RATIO=0.5 等无官方文档推导，边界 case 值得实测复核 | + +**总体判断**：源码的 ASW_Basic 实现在核间分配、swizzle、AL1 全载上与理论高度一致，是经实测调优的工程实现。理论分析的价值在于： +1. **补齐降核模式**——P < C 时 usedCoreNum = ⌈P⌉，避免无效核调度； +2. **显式分层**——SingleCoreM/N 与 BaseM/N 分开，约束链更清晰； +3. **写出策略联合决策**——$S_{in} \le L2 < S_{in}+S_{out}$ 时输出直写 GM 的显式判断； +4. **经验常数的理论依据**——cubeBound 模型的三项分解（L2 供数/溢出惩罚/K 向复用）可以从第一性原理推导。 + +--- + +## 七、程序实现流程图（源码 vs 理论最优） + +本节给出两张端到端程序实现流程图：**从 case 输入（B, M, K, N, dtype 及转置/格式属性）开始，直到所有 tiling & swizzle 参数被清晰计算出来**。图 1 严格对应源码实现（每个处理步骤标注所在函数），图 2 对应本文理论最优实现（每个处理步骤标注 §5 的公式出处），§7.3 给出两图差异对照。 + +流程图图例约定：`[输入/常量]`、`<处理与判定>`、`→ 产出参数`；分支用 `├─/└─` 表示；`✓/✗` 表示通过/拒绝。 + +### 7.1 源码 ASW_Basic 程序实现流程图 + +源码入口：`BatchMatMulV3AswBasicTiling`（op_host/op_tiling/arch35/batch_matmul_v3_asw_basic_tiling.cpp，DAV_3510 注册为第 9 优先级模板 `ASW_BASIC`）。tiling 层依赖 `MatMulV3TilingHelper`（matmul_v3_tiling_helper.cpp）与 `MatMulV3BasicAswtTiling`；kernel 层为 `BatchMatMulAswKernel` + `BatchMatMulAswBlock`。 + +**阶段 0：进入判定（IsCapable）** + +``` +[B, M, K, N, dtype, isATrans, isBTrans, hasBias, aFormat/bFormat] + │ + ▼ + ──否──▶ 不进入（回落 BASE 模板） + │是 + ▼ + ──否──▶ 不进入 + │是 + ▼ + ──否──▶ 不进入 + │是 + ▼ + 进入 ASW_BASIC +``` + +**阶段 1：参数初始化（ResetBase → ResetBaseDav3510）** + +``` + + → baseM = 256, baseN = 256（"256 is better base"） + → baseK = 128B / aDtypeSize（BF16 取 64） + → stepM = stepN = 1, singleCoreK = K + → singleCoreM = baseM, singleCoreN = baseN ← 不分层（本文 §6.3 的过度切分根源） + → usedCoreNum = 32, dbL0C = 1, iterateOrder = ITER_COL_FIRST +``` + +**阶段 2：cubeBound 枚举确定 baseM/baseN/baseK（GetRebalanceBlock）** + +``` +[platformInfo: hbmBW、l2BW、singleCoreComputePower = cube_freq×8] + │ + ▼ +<算边缘：cmr = (M+N)/(M·N), computePower = singleCorePower×32 + l2CacheUsage = max(B·(M+N)·K·dtype / L2, 1) + cubeBoundEdge = l2BW/computePower + + l2CacheUsage·(1 − l2BW/hbmBW)·cmr + − (1 + l2BW/hbmBW)/K > + │ + ▼ +<初始最优：baseMBest = min(align16(M), 256) + baseNBest = min(align16(N), floor16(L0C/4B/baseMBest)) + cubeBoundParamBest = 1/baseMBest + 1/baseNBest + isMemoryBound = cubeBoundParamBest > cubeBoundEdge + fixpBoundEdge = M·N·hbmBW / ((M+N)·l2BW)> + │ + ▼ +<枚举上界：maxBaseM = GetMaxBaseWithLimit(...)（L0A 容量/bias 表/kL1 对齐/shape 约束） + maxBaseN = GetMaxBaseWithLimit(...)（L0B 容量/bias 表/kL1 对齐/shape 约束）> + │ + ▼ +<初值：baseM = clamp16(min(maxBaseM, 256), ≥16) + baseN = clamp16(min(maxBaseN, floor16(L0C/4B/baseM)), ≥16) + cubeBoundParam = 1/baseM + 1/baseN + cubeBoundEdge = cubeBoundEdge × 0.85（CUBE_BOUND_RATIO） + balanceRate = GetBalanceRateWithTail(...)> + │ + ▼ +<双层枚举（curBaseM: maxBaseM → 16 步长 baseMAlignUnit； + curBaseN: min(maxBaseN, L0C/4B/curBaseM) → 16 步长 baseNAlignUnit） + curParam = 1/curBaseM + 1/curBaseN + curRate = GetBalanceRateWithTail(...) + ① skip 剪枝：balanceRate ≥ 0.9 且 curParam > cubeBoundParam + 且 curParam > cubeBoundEdge 且 edge > 0 → 跳过 + ② FP32 剪枝：FP32 且 curParam < edge 且 mCnt×nCnt > 32 + 时 curBase 须 > 64 → 否则跳过 + ③ cubeBoundCond：curParam ≤ edge 且 curRate > balanceRate + → 更新解（且 edge = curParam） + ④ balanceCond：(curParam/curRate) < (cubeBoundParam/balanceRate) + → 更新解（或比值相等且 curRate 更大）> + │ + ▼ +<收敛：baseM = min(align16(M), baseM), baseN = min(align16(N), baseN) + GetBaseK：baseK = min(align16(K), L0A/2/dtype/max(baseM, baseN)) + A 转置且 B 非转置 → floor16；否则按 256B 对齐或 {128,64,32,16} 候选 + mCore = ⌈M/baseM⌉, nCore = ⌈N/baseN⌉ + usedCoreNum = min(B·mCore·nCore, 32) + dbL0C = (baseM·baseN·4B·2 ≤ L0C) ? 2 : 1 + ubDB = (baseM·baseN·4B ≤ UB) ? 2 : 1> + → baseM, baseN, baseK, usedCoreNum, dbL0C, ubDB +``` + +**阶段 3：L1 粒度参数（CalL1Tiling → CalL1TilingDefault）** + +``` +<枚举 stepK = 1 .. min(⌈K/baseK⌉, 8)： + kL1 = baseK × stepK + 容量约束：(baseM·kL1 + baseN·kL1)·dtype·2 ≤ L1 + 且 max(两侧)·2·2 ≤ L1 + 对齐约束：K 内轴时 kL1·dtype ≥ 256B；单次搬移量 ≥ L1_SINGLE_SIZE_LIMIT> + → stepKa = stepKb = kL1/baseK + → depthA1 = depthB1 = stepK × 2（双缓冲） + → singleCoreM = baseM, singleCoreN = baseN ← 仍不分层 +``` + +**阶段 4：L1 buffer 数与 API 级别（DoOpTiling 尾部）** + +``` + + │ + ▼ + 阈值 且 ND 且非连续 → splitK（kernel 内切 K 保精度） + BatchMatMulV3 节点且连续且非 splitK → apiLevel = TENSOR_LEVEL + 否则 → apiLevel = BASIC_LEVEL> +``` + +**阶段 5：参数打包（GetTilingKey + GetTilingData）** + +``` + + │ + ▼ + + │ + ▼ + + → 完整 tilingData 下发 NPU +``` + +**阶段 6：kernel 运行时映射（BatchMatMulAswBlock + BatchMatMulAswKernel::Process）** + +``` + 8192 且 B 为 ND：splitKRound = ⌈K/8192⌉（保精度切 K）> + │ + ▼ + +``` + +**源码产出参数汇总**（一次 case 的全部 tiling & swizzle 参数）： + +| 参数 | 产出阶段 | 公式/取值 | +|---|---|---| +| baseM, baseN | 阶段 2 | cubeBound 双层枚举（初值 256×256） | +| baseK | 阶段 2 | `min(align16(K), L0A/2/dtype/max(baseM,baseN))` | +| singleCoreM/N | 阶段 1/3 | `= baseM/baseN`（不分层） | +| singleCoreK | 阶段 1 | `= K` | +| kL1, stepKa, stepKb | 阶段 3 | stepK 枚举（容量 + 256B 对齐） | +| depthA1, depthB1 | 阶段 3 | `stepK × 2` | +| stepM, stepN | 阶段 1 | `= 1` | +| dbL0C, ubDB | 阶段 2 | 容量判断 `×2 ≤ L0C ? 2 : 1` | +| l1BufferNum | 阶段 4 | `abL1×4 ≤ L1 ? 4 : 2` | +| usedCoreNum | 阶段 2 | `min(B·mCore·nCore, 32)` | +| mTailCnt, nTailCnt | 阶段 5 | CalcTailBasicBlock（尾块再拆分） | +| aswWindowLen | 阶段 5 | `⌊√32⌋=5` 向下最大因子 `→ 4` | +| l2CacheDisable | 阶段 5 | SetDisableL2cache（totalSize vs L2） | +| iterateOrder | 阶段 1 | ITER_COL_FIRST（列优先） | +| apiLevel | 阶段 4 | TENSOR_LEVEL / BASIC_LEVEL | +| mmadParam | 阶段 5 | HF32 / S8S4 shift | + +--- + +### 7.2 理论最优实现的程序实现流程图 + +理论实现按 §5 的推导链组织（§5.1→§5.9），host 端全流程闭式计算，每个判定均可用 B/M/K/N/dtype 与芯片规格的闭式表达。 + +**阶段 0：分支进入与降核判定（§二/§5.9）** + +``` +[B, M, K, N, dtype] + │ + ▼ +

L0C → UnitFlag 单缓冲（tile 上限翻倍） + MTE2 Bound → 单缓冲即可；带变换/多 batch 分区 → 双缓冲 + baseK = min(L0A/(2·BaseM·dtype), L0B/(2·BaseN·dtype)) 向下 16 对齐> + → BaseM, BaseN, baseK, unitFlag/dbL0C +``` + +**阶段 2：SingleCoreM/N 确定（§5.2 完整枚举，本次 v1.5 重写的核心）** + +``` +

1 流程 + └─ P > 1（B < C）——有界枚举： + 枚举空间：mCnt ≤ ⌈M/BaseM⌉、nCnt ≤ ⌈N/BaseN⌉（约束 4 上界） + 且 B·mCnt·nCnt ≥ C（约束 1） + 对每个候选执行评估流水线： + ① 对齐：sM = align16(⌈M/mCnt⌉), sN = align16(⌈N/nCnt⌉) + ② 约束 4：sM 为 BaseM 整数倍、sN 为 BaseN 整数倍 → 否则剔除 + ③ 约束 2：kL1 = min(K, ⌊L1/(2(sM+sN)·dtype)⌋16) + ④ 约束 3：kL1·dtype ≥ 256B、sM·kL1·dtype ≥ min_TileSize、 + kL1·sN·dtype ≥ min_TileSize → 否则剔除 + ⑤ 目标：T_MTE2 = MN/(C/B)·(1/sM + 1/sN)·kL1·dtype/BWpc + 最优选取：T_MTE2 最小；并列取 r = B·mCnt·nCnt mod C 最大> + → singleCoreM, singleCoreN, kL1, mCnt, nCnt, r +``` + +**阶段 3：核间分配（§5.3/§5.4）** + +``` + +``` + +**阶段 4：尾轮重切（§5.3）** + +``` + 0 ？ ──否──▶ 不重切（r=0 无尾波；n_wave≥4 收益 <25%） + │是 + ▼ +<判定 Bound 类型： + 访存 Bound（T_MTE2 ≥ T_MMAD）：s_max = min(sN·dtype/256B, + kL1·sN·dtype/min_TileSize, sN/16) + 计算 Bound（T_MMAD > T_MTE2）：s_max = sN/16 + s* = min(⌊C/r⌋, s_max) + 切分方向：优先沿 N（A 行带完整、L2 中 A 不变）； + N 向对齐卡住（sN/16 < C/r）改沿 M（A 的 dValue=kL1·dtype 不变）> + → s*, 尾轮 tiling 变体（host 端预处理，零 NPU 代价） +<三策略判定（§5.10 决策表）：计算 Bound 且 r≤C/2 → A1a 整数切； + r>C/2 → A1b 尾轮 tile 重选凑满核（s_t = sM√(r/C) ↓16）或 B 整轮重切； + 访存 Bound 且 ρ≥ρ_dv → A1b；否则 B（g≤g_dv）或 A0 兜底> +``` + +**阶段 5：swizzle 与错位分核（§5.5/§5.6）** + +``` + + → W, 遍历顺序, calOrder, transConflict 校验 +``` + +**阶段 6：L2 分组（§5.6，工作集超 L2 时）** + +``` + L2 → 场景 C：分组执行 + D = L2/(B·K·dtype) + m_grp = ⌊D/(2·sM)⌋, n_grp = ⌊D/(2·sN)⌋ + 组数 = ⌈mCnt/m_grp⌉ × ⌈nCnt/n_grp⌉ + r_in = (n_grp·M + m_grp·N)/(M+N) + 软件手段：Cache Hint（A/B allocate、C non-allocate）+ CMO + + 执行顺序（组内 swizzle，最主要的 L2 管理手段）> + → m_grp, n_grp, cacheHint, 执行组划分 +``` + +**阶段 7：核内参数汇总与端到端校验（§3.1）** + +``` +<全部参数定稿： + BaseM/BaseN/baseK、singleCoreM/singleCoreN、kL1、mCnt/nCnt、usedCoreNum、 + unitFlag/dbL0C、l1BufferNum、s*（尾轮）、W、calOrder、m_grp/n_grp + 端到端时延校验： + T = max(T_MTE2, T_MMAD, T_FIX) + T_drain（含尾轮修正 ΔT_tail^re） + 不满足预期 → 回溯阶段 2 调整 singleCore 候选重新评估> + → 完整 tiling & swizzle 参数集下发 NPU +``` + +**理论产出参数汇总**（与源码参数的对应关系）： + +| 参数 | 产出阶段 | 公式/取值 | +|---|---|---| +| BaseM, BaseN | 阶段 1 | `⌊√(L0C/4B)⌋16 = 256`（方形；M/N 过小被迫跟随） | +| baseK | 阶段 1 | `min(L0A/(2·BaseM·dtype), L0B/(2·BaseN·dtype))` ↓16 | +| singleCoreM/N | 阶段 2 | P=1 不切分（=M/N）；P>1 有界枚举 + T_MTE2 最小 | +| kL1 | 阶段 2 | `min(K, ⌊L1/(2(sM+sN)·dtype)⌋16)` | +| mCnt, nCnt | 阶段 2 | `⌈M/sM⌉`, `⌈N/sN⌉` | +| usedCoreNum | 阶段 0/3 | `min(B·mCnt·nCnt, C)`；降核 `⌈P⌉` | +| unitFlag/dbL0C | 阶段 1 | Bound 类型 + 容量联合判定 | +| l1BufferNum | 阶段 7 | L1 余量 → 2/4 buffer | +| s* | 阶段 4 | `min(⌊C/r⌋, s_max)`（Bound 分级约束） | +| W | 阶段 5 | `max{d : d|C, d ≤ ⌊√C⌋} = 4` | +| calOrder | 阶段 5 | 共享矩阵驻留方向选择 | +| m_grp, n_grp | 阶段 6 | `⌊D/(2·sM)⌋`, `⌊D/(2·sN)⌋` | +| cacheHint | 阶段 6 | A/B allocate、C non-allocate | + +--- + +### 7.3 两张流程图的差异对照 + +| 步骤 | 源码 ASW_Basic | 理论最优 | 差异本质 | +|---|---|---|---| +| 进入判定 | 转置一致性/等 batch/dtype 白名单 | P 计算 + 广播 + 降核判定 | 源码只拦不支持的输入；理论从并行度出发 | +| BaseM/N | 硬编码 256 起 + cubeBound 枚举收缩 | L0C 单缓冲 256 + UnitFlag 流水 | 源码无 UnitFlag；理论按 Bound 类型选流水手段 | +| baseK | `L0A/2/dtype/max(baseM,baseN)` | `min(L0A/(2·BaseM), L0B/(2·BaseN))/dtype` | 源码取 max 保守（矩形 tile 下另一侧溢出风险）；理论方形双侧用满 | +| singleCore | `= baseM/baseN`（不分层） | ≥ Base，独立枚举（P=1 不切分） | 源码 K 小时过度切分，搬入时延可达理论 2 倍（§6.3） | +| 目标函数 | cubeBoundParam + balanceRate 帕累托（0.85/0.9 经验常数） | T_MTE2 闭式最小 | 源码多经验常数；理论有闭式表达式与完备性论证 | +| 核间分配 | `usedCoreNum = min(B·mCore·nCore, 32)` | 同 + 降核模式（⌈P⌉） | 源码无降核（P