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@@ -0,0 +1,873 @@
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# BMM 算子优化分析
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> 版本：v0.4 | 目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510，32 AIC / 64 AIV，GM 1.6TB/s，L2 128MB/5.2TB/s）
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> 基于 issue#3 (v0.3) 完善：补全 StreamK/ASW_Basic 实现方案，精化全部分支的进入条件与实现步骤，加入源码对照与硬件依据
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## 一、算子功能与接口说明
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### 1.1 算子功能
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Batch Matmul（BMM）完成**带 batch 维的矩阵乘**：对 batch 维的每个索引独立执行一次矩阵乘，再加可选偏置：
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$$
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C[b, m, n] = \sum_{k=0}^{K-1} A[b, m, k] \cdot B[b, k, n] + bias[b, 1, n]
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$$
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即 `C = A @ B + bias`。A、B 输入维度典型为 3 维（支持最多 4 级 batch 维 $b = b_0 b_1 b_2 b_3$ 展平），最后两维做矩阵乘。
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### 1.2 接口参数
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| 参数 | 形状 | 数据类型 | layout | 说明 |
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|---|---|---|---|---|
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| 左矩阵 A | `[BatchA, M, K]` | dtype（FP16/BF16/FP8/…） | 典型 ND | 可带转置标记（isATrans） |
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| 右矩阵 B | `[BatchB, K, N]` | dtype | 典型 ND | 可带转置标记（isBTrans），推理场景可为 weightNz |
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| 偏置 bias | `[B, 1, N]` | dtype | 固定 ND | 可为空 |
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| 输出 C | `[BatchC, M, N]` | dtype（可随路量化） | 典型 ND | BatchC = broadcast(BatchA, BatchB) |
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**广播语义**：batch 维兼容广播——每一级 batch 维上，两侧取值要么相等、要么为 1；输出该维取两者的最大值。两类广播的形态差异：
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- **单边全广播**：`BatchA = 1` 或 `BatchB = 1`（一侧整体只有 1 个 batch）；
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- **交叉广播**：两侧均大于 1 但不同级为 1，例如 `BatchA = (6,1)`、`BatchB = (1,6)`，则 `BatchC = (6,6)` 共 36 个输出 batch。这类 case **不属于**单边广播，只能落入通用分支。
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### 1.3 case 空间
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一个 BMM case 的实现方式完全由以下特征量决定：
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$$
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(\; B,\; M,\; N,\; K,\; \text{dtype},\; \text{layout/转置},\; \text{广播形态} \;)
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$$
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其中 $B$ = BatchC（展平后的输出 batch 数）。后续全部分析就是回答：**给定这组特征量，最优实现是什么。**
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## 二、性能模型：什么叫"最优"
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### 2.1 总时延 = 流水线最慢的一级
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NPU 上 BMM 的执行是核内多级硬件流水的并行——Cube 计算（MMAD）、GM/L2→L1 搬移（MTE2）、L1→L0 搬移（MTE1）、L0C 写出（Fixpipe）。多核并行时各流水级时延可被双缓冲（double buffer）等机制相互掩盖，最终：
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$$
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\boxed{\;T_{total} = \max\big(T_{MMAD},\; T_{MTE2},\; T_{MTE1},\; T_{Fixpipe}\;[,\;T_{Reduce}]\big)\;}
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$$
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**总时延 = 流水线最慢的一级。** 算子优化的关键就是对瓶颈流水级的优化。由此得出一个重要的设计自由度——**瓶颈交换**：
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> 当 MTE2（搬移）是瓶颈、MMAD（计算）不是瓶颈时，可以牺牲一定 MMAD 时延（例如冗余计算）换取 MTE2 性能提升；反之，当 MMAD 是瓶颈时，可以牺牲一定 MTE2 时延（例如重复搬移）换取计算效率提升。只要瓶颈级时延下降，总时延就下降。
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后文会看到：**MergeBatch 就是"牺牲算力换搬移效率"的典型，ASW_Basic 切 M/N 就是"牺牲搬移（重复读）换并行度"的典型**——它们的存在正当性都来自这个 max 模型。
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### 2.2 目标芯片关键规格与经验常数
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| 规格项 | 数值 | 对设计的意义 |
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|---|---|---|
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| AIC / AIV 核数 | 32 / 64（1:2） | 核间并行度上限 $C = 32$；StreamK 归约可用 AIV |
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| Cube 算力 FP16/BF16 | ≈486 TFLOPS（单核 ≈ 16×16×16 MAC/拍 × 1.65GHz） | 算存比分子 |
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| GM 带宽 | 1.6 TB/s（读写共享总线） | 访存 Bound 的分母；读+写互相挤占 |
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| L2 Cache | 128MB，5.2 TB/s（读写各独享） | 重复读取的吸收层；Cube 输出写 L2 即算完成 |
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| L1 / L0A / L0B / L0C | 512KB / 64KB / 64KB / 256KB（每 AIC） | 核内分块的容量约束；L0C 按 FP32 累加计 |
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| UB | 512KB（每 AIV） | 向量通路/归约 |
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**GM→L1 搬移效率（ND2NZ）达到 90%+ 带宽利用率的四条经验约束**（重要性递减）：
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1. **参与核数**：建议 32 核并行搬移，至少 3/4 核（24 核）并发——核数不足时带宽利用率上限被压低；
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2. **单核搬移数据总量** ≥ 480KB（`min_DatamountPerCore`）；
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3. **单次搬移 tile 大小** ≥ 16KB（`min_TileSize`）；
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4. **dValue**（单次搬移的连续内轴字节数，如非转置 A 的 K 向、非转置 B 的 N 向）≥ 128B，建议 256B，最好 512B。
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> 这些常数（480KB、16KB、256B/512B，以及后文的 $b_{thr}=4$、$k_{thr}$=32B/dtype、$minCoreNum \approx 0.8 \times 32$）都是**该档芯片的实测经验值**；换芯片时所有逻辑结构不变，只需替换常数表。
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### 2.3 算存比与 Bound 判定
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**约定**：以"元素"为访存单位（1 元素 = dtype 字节），算存比单位为 FLOP/元素。
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- case 的固有算存比（不计输出写出）：
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AI = \frac{2MNK}{(MK + KN)} = \frac{2MN}{M + N} \quad [\text{FLOP/元素}]
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- 计入输出写出（写 L2/GM）的完整算存比：
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AI_{full} = \frac{2MNK}{MK + KN + MN} \quad [\text{FLOP/元素}]
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- 芯片硬件平衡点（该 dtype 位宽下）：
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R = \frac{\text{Cube 峰值算力}}{\text{GM 带宽} / \text{dtype 字节}} = \frac{486 \times 2}{1.6} \approx 607.5 \quad [\text{FLOP/元素，BF16/FP16}]
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**判定规则**：$AI < R$ → **访存 Bound**（瓶颈在 MTE2，优化重心是搬移效率与复用）；$AI > R$ → **计算 Bound**（瓶颈在 MMAD，优化重心是 Cube 利用率与流水掩盖）。
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> **大白话**：矩阵乘就像搬砖盖楼——Cube 是起重机（算力），GM 带宽是供货卡车（带宽）。算存比就是"每块砖要盖多少平米"。每块砖盖的平米数低于起重机的额定配比时，楼永远盖不快，问题出在供货而不在起重机——这时候优化要围绕"怎么少堵车、怎么一次多运点"，而不是换更大的起重机。
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## 三、分支划分的系统推导
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本章是全文逻辑主线：**从分块计算的本质出发，不靠经验罗列，推导出六大分支的划分。**
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### 3.1 分块计算的本质与四个可切维度
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BMM 在 NPU 上实现的本质是：把参与计算的数据分块（tile），由 32 个 AIC 核**并行 + 串行**地完成这些分块的计算，再组合成最终结果：
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$$
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C[B, M, N] = \sum_{\kappa} A[B, M, K_\kappa] \cdot B[B, K_\kappa, N]
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分块有 4 个维度：**B、M、N、K**。**核间怎么分这 4 个维度，就是分支划分的第一性问题**（核内分块是第二性问题，属于各分支内部的 tiling）。
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### 3.2 四个维度的切分特征：一张决定性的表
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从"读入 / 计算 / 写出"三个视角考察每个维度的核间切分特征（这是后续一切推导的基石）：
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| 切分维度 | 读入特征 | 计算特征 | 写出特征 |
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|---|---|---|---|
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| **切 B** | 每个数据块只被固定的 1 个核读取，核间**零重复读** | 每个输出块由 1 个核独立完成，**无核间依赖** | 只写最终结果，无中间结果 |
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| **切 M / 切 N** | 切 M 则同一右矩阵块被多核**重复读**；切 N 则同一左矩阵块被多核重复读 | 每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖 | 只写最终结果，无中间结果 |
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| **切 K** | 每个数据块只被固定的 1 个核读取，零重复读 | 每个输出块由**多核共同**完成，存在核间依赖 | **有中间结果写出**，需核间 Reduce 归约 |
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为什么特征差异这么大？两条硬件层面的根本原因：
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- **B 维在数学上独立**（BMM 语义就是逐 batch 独立矩阵乘），所以切 B 天然零重复、零依赖；
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- **K 维有 L0C 累加机制**：核内切 K 时，$\tilde{K}$ 轮 mmad 在 256KB 的 L0C 上原地累加（`cmatrixInitVal=false`），中间结果不出核。一旦把 K 切到**核间**，单核的 L0C 装不下"别的核算的 K 段"，部分和必须写出到 GM/L2 workspace，再由 AIV 归约——**切 K 是唯一同时破坏"累加不出核"和"输出独占"两条性质的切法**。
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### 3.3 完备枚举：15 种核间切分组合
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4 个维度的任意非空子集都可作为一种核间切分方案，共 $2^4 - 1 = 15$ 种：
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$$
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\{B\},\{M\},\{N\},\{K\},\{B,M\},\{B,K\},\{B,N\},\{M,K\},\{M,N\},\{K,N\},\{B,M,K\},\{B,M,N\},\{B,K,N\},\{M,K,N\},\{B,M,K,N\}
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$$
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任何实现方案必属于其中一种 ⇒ 这 15 种是**完备的**。按 §3.2 的特征分组：
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| 组 | 组合 | 共同特征 | 优化重心 |
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|---|---|---|---|
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| 纯 B | {B} | 零重复读，读写数据量固定 | 访存 Bound：搬移效率高；计算 Bound：计算效率高 |
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| 含 M/N 不含 K | {M},{N},{M,N},{B,M},{B,N},{B,M,N} | 可能有重复读 | 访存 Bound：重复读尽量少 + 搬移效率高；计算 Bound：计算效率高 |
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| 含 K | {K},{B,K},{M,K},{K,N},{B,M,K},{B,K,N},{M,K,N},{B,M,K,N} | 有中间结果写出 + 归约 | 计算效率高，且归约引入的额外 MTE2/Fixpipe 时延不能成为新瓶颈 |
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### 3.4 代价不对称性：切分维度的"价格表"
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15 种组合的**代价结构只由两个布尔特征决定**——是否含 K、是否含 M/N。三个维度的"核间切分价格"严格排序：
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$$
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\text{cost}(\text{切}B) = 0 \;<\; \text{cost}(\text{切}M/N) \;\ll\; \text{cost}(\text{切}K)
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$$
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- **切 B 免费**：零重复读、零依赖、零中间写出；
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- **切 M/N 廉价但有价**：共享矩阵被重复读，但若共享部分能驻留 128MB L2，重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM——代价大部分被 L2 吸收；配合 swizzle（执行顺序编排）压缩同时活跃的工作集，代价进一步压低；
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- **切 K 昂贵**：归约流量 $T_{Reduce} \propto grid_K \times$ 输出量，且引入核间同步——这是结构性代价，L2 吸收不掉。
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**"价格表"不是经验，是 BMM 语义 + L0C 累加机制 + L2/GM 带宽结构三条事实的推论。** 整条分支决策树就是一句话：**按价格从低到高购买并行度，买不够才加价。**
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### 3.5 推导主链：从价格表到六大分支
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**第 0 层：问题归约与通路选择。**
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- **K = 0**：无任何计算，C = bias 或 0，纯 AIV 写值 → **分支一：特殊分支（K=0）**；
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- **K = 1**：退化为逐元素乘 $C = A \odot B$，无累加深度，Cube 的 16×16×16 粒度浪费 15/16 → **分支二：特殊分支（K=1）**；
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- **BatchA = 1 或 BatchB = 1**：BMM 可通过维度折叠**转化为普通 Matmul**，复用 Matmul 的成熟优化体系（tiling、L2 切分、全载）→ **分支三：转Matmul**。
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**第 1 层：归约不掉的 case（BatchA = BatchB = B > 1，K ≥ 2），必须在 BMM 框架内组织 4 维分块。先买免费的 B 维。**
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- $B \ge C = 32$ 时，切 B 就能填满核。此时分两种情形：
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- **单 batch 的 $M \times N$ 够大**（能开出大 tile、L0C 利用率高、Cube 喂得饱）→ 每核逐个 batch 做完整 Matmul 就是最优 → **分支四：IterBatch**；
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- **单 batch 的 $M \times N$ 太小**（如 64×64，L0C 利用率仅 6.25%，Cube 大片闲置）→ 把多个 batch 在核内合并成大 tile 计算（$[bM,K]@[K,bN]$，取块对角线输出），用冗余算力换 Cube 利用率与搬移效率 → **分支五：MergeBatch**。
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**第 2 层：免费的 B 买不满 32 核，加价买廉价的 M/N。**
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- $B < 32$ 但 $P = B \times \lceil M/16 \rceil \times \lceil N/16 \rceil \ge 32$（M/N 平面的分块补得上并行缺口）→ 切 M/N（或混合切），共享矩阵的重复读交给 L2 + swizzle 吸收 → **分支六：ASW_Basic**。
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**第 3 层：廉价维度也买不满，才买昂贵的 K。**
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- $P < 32$（B、M、N 都小，通常 K 大）→ 唯一剩余的并行维度是 K。付归约代价换并行度 → **分支七：StreamK**。
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```
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case (B, M, N, K, dtype, layout, 广播形态)
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│
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[0] K=0? → AIV 清零；K=1? → AIV 逐元素乘 ← 前置通路层（正交于切分）
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│ K ≥ 2
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▼
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[1] BatchA=1 或 BatchB=1? ──是──→ 转Matmul（问题归约）
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│ 否（BatchA=BatchB=B>1，或交叉广播）
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▼
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[2] 并行度账本：P = B·⌈M/16⌉·⌈N/16⌉ 与 C=32 比较
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│
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├─ B ≥ 32（切 B 可满核）─────────────────────────┐
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│ M×N 大，Cube 饱 → IterBatch │
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│ M×N 小，Cube 饿，且访存 Bound → MergeBatch │
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│ │
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├─ B < 32 且 P ≥ 32 → ASW_Basic（切 M/N 补并行， │
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│ 共享读取由 L2+swizzle 吸收） │
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│ │
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└─ P < 32（B/M/N 用尽仍缺并行，K 大）→ StreamK │
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（切 K 买并行，付归约代价）◀──────────────────┘
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```
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由此推导出**六大 BMM 本体分支**（转Matmul、MergeBatch、IterBatch、ASW_Basic、StreamK）加一个**前置通路层**（K 退化），共七个决策路径。
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### 3.6 完备性与极小性：不多不少
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**完备性**。对归约不掉的 case，15 种组合按"（是否含 K，是否含 M/N）"坍缩：
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- 含 K 的 8 种：代价结构相同（必付归约），grid_K × grid_B × grid_M × grid_N 只是参数差异 ⇒ 1 个分支（StreamK）统一覆盖；
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- 不含 K 含 M/N 的 6 种：代价结构相同（共享重复读）⇒ 1 个分支（ASW_Basic）统一覆盖；
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- 纯 {B} 的 1 种：核内组织只有两种本质不同的方式——**合并多 batch 一起算**（MergeBatch）或**逐个 batch 算**（IterBatch），不存在第三种 ⇒ 2 个分支。
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$1 + 1 + 2 = 4$，加上前置的归约分支（转Matmul）与通路层（K 退化）= **7**。任何合法 case 必落其一，无空洞。
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**极小性**。每个分支都有它"唯一最优"的 shape 区域，去掉任何一个都会有 case 失去最优实现：
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| 分支 | 独占最优的代表 case（BF16） | 替代方案为何更差 |
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|---|---|---|
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| 特殊（K=0/1） | K=0 或 K=1 | Cube 通路完全或几乎无用 |
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| 转Matmul | BatchB=1, B=128, M=N=K=2048 | 免费折叠后 Matmul 体系的 L2 切分/全载直接可用；BMM 分支内重做无收益 |
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| IterBatch | B=32, M=N=K=4096 | ASW 切 M/N 引入无谓共享读；MergeBatch 引入无谓冗余算力 |
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| MergeBatch | B=128, M=32, N=128, K=64 | IterBatch 的 L0C 利用率仅 ~1.6%，Cube 空转，搬移 tile 碎（<16KB）带宽利用率崩 |
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| ASW_Basic | B=2, M=N=8192, K=1024 | 切 B 仅 2 核干活；StreamK 付无谓归约 |
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| StreamK | B=1, M=N=64, K=65536 | 不切 K 时 P=16 < 32，近半核闲置，时延差数量级 |
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⇒ 七大路径构成**极小完备集**。
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### 3.7 大白话总结
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> 把 BMM 想成给 32 个工人分一批"矩阵乘订单"：
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> - **K=0/1 的订单太简单，不需要起重机**：Cube 派不上用场，直接让搬运工（AIV）干完（特殊分支）；
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> - **能整单外包的就别自己干**：一侧只有一个 batch，问题其实就是一次普通矩阵乘，直接交给成熟的 Matmul 产线（转Matmul）；
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> - **按订单分（切 B）最省心**：每人几单，互不干扰（零重复搬料、零协调）。订单多时，单大就一单接一单干（IterBatch）；单太小时一人同时干几单、拼成大活干，虽然多做了点无用功，反正瓶颈在等料不在干活（MergeBatch）；
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> - **订单不够分，就按行/列拆单（切 M/N）**：大家会重复领同一份料，但料放在近处仓库（L2），多跑几趟近仓库很便宜（ASW_Basic）；
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> - **行/列也不够拆，只好沿深度 K 拆**：几个人合做同一块输出，各算一段再汇总——汇总是要额外开会的（Reduce），所以只在实在分不满、且 K 足够长时才这么干（StreamK）。
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## 四、各分支详解：进入条件与实现方案
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> 每节按统一结构展开：**做什么（定义）→ 什么时候进（进入条件逐条 + 每条的理由）→ 怎么做（实现方案与参数求解）→ 与源码对照（批判性）**。
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### 4.0 前置通路层：K 退化 case
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在切分决策之前先做计算通路判断：
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| K 值 | 数学本质 | 计算通路 | 数据通路 | 核类型 |
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|---|---|---|---|---|
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| **K = 0** | 无任何计算，C = bias 或 0 | 无 mmad | GM → AIV → GM | AIV_ONLY |
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| **K = 1** | 退化为逐元素乘 $C = A \odot B$，无累加深度 | 无 mmad，向量 Mul | GM → UB → Mul → GM | AIV_ONLY |
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**为什么是 AIV 而非 AIC**：Cube 阵列一拍完成 16×16×16（fp16）的 fractal 乘加。K=1 时 K 维只有 1/16 被利用——阵列 15/16 的 MAC 空转，还要付出 GM→L1→L0A/L0B 的分形搬运、L0C 累加与 fixpipe 写出全链路开销。而 AIV 每拍处理 256B 连续数据，逐元素乘 + UB 多 batch pingpong 能把 MTE 带宽吃满；64 个 AIV 的聚合向量算力（FP16 54 TFLOPS）对这个计算密度绰绰有余。
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**源码对照**：K_EQUAL_ZERO（策略 0）与 TO_MUL（策略 1）两个独立策略处理，tiling 直接下发 AIV_ONLY kernel。触发条件 TO_MUL 要求 `batchC ≥ 128`（= aivNum×2，开 UB pingpong）、N 不在 (32B/dtype, 256B/dtype] 区间（中间区让给其它分支）、UB 容量放得下。
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### 4.1 转Matmul（问题归约分支）
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**做什么**：当 `BatchA = 1` 或 `BatchB = 1` 时，把 batch 维折叠进矩阵维度，转化为普通 Matmul，计算完成后按需恢复 batch 维。
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**为什么这么做**：单边 batch=1 的 BMM 与普通 Matmul 在数学上只差一个维度标签。Matmul 的优化体系（L2 切分、AL1/BL1 全载、swizzle）比 BMM 各分支在"单样本"情形下更成熟——**站在巨人肩膀上，不重复造轮子**。
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**折叠规则与代价（关键的不对称性）**：
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| 情形 | 折叠方式 | 是否免费 | 代价分析 |
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|---|---|---|---|
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| `BatchB = 1` | 左矩阵 `[B, M, K]` 的 batch 维与 M 维在 ND 布局下**内存相邻**，直接视图为 `[B·M, K]`；输出 `[B·M, N]` 与 `[B, M, N]` 的内存布局逐元素一致 | **完全免费** | 零输入重排、零输出 split，直接转 Matmul 无任何代价 |
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||||
| `BatchA = 1` | 需将右矩阵 `[B, K, N]` 折叠为 `[K, B·N]` | **有代价** | B 的 batch 维与 N 维在内存中不相邻（中间隔 K），折叠等价于一次 `[B,K,N]→[K,B,N]` 的转置重排（O(B·K·N) 读写），且输出 `[M, B·N]` 与目标 `[B, M, N]` 之间存在置换，需要随路 scatter |
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**BatchA = 1 时的决策规则**：
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- **A 矩阵较小**（$MK \cdot \text{dtype} \le L1_{size}$，即 A 可全载 L1）：优先考虑将 A 常驻 L1，各核均匀读取 B 完成全部计算，无需输入/输出重排的额外开销——留在 BMM 分支内（广播友好的 IterBatch/ASW_Basic）；
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- **A 矩阵较大**：将 `BatchA=1` 扩展为 `BatchA=BatchB`（广播语义），然后比较"B 折叠转 Matmul + 重排"与"BMM 分支"的预估时延，择优选择。
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**进入条件**：`BatchA = 1 || BatchB = 1`。其中 `BatchB = 1` 恒进（免费）；`BatchA = 1` 时按上述代价比较决定。
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**源码对照**：源码中的 `MergeBatchAndMAxis()` 只做了 `batchB=1` 方向的折叠（`args_.mValue = batchA * mValue`），与"该方向免费"的判断互为印证。`batchA=1` 方向源码未做折叠，而是走 AL1_FULL_LOAD 或 ASW_Basic 的广播处理。
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### 4.2 MergeBatch（多 batch 合并计算）
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#### 4.2.1 做什么
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核间按 B 分核（每核负责 $b_{core}$ 个 batch），核间无同步无通信。核内**将多个 batch 合并计算**：
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$$
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[b, M, K] @ [b, K, N] \;\Rightarrow\; [bM, K] @ [K, bN] = [bM, bN] \;\xrightarrow{\text{BlockTrace}}\; [b, M, N]
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$$
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其中 **BlockTrace** 指以 $[M, N]$ 的 block 粒度取结果矩阵的块对角线作为各 batch 的有效输出：$C[i, m, n] = R[iM + m,\; iN + n]$。交叉项（第 i 个 batch 的 A 乘第 j≠i 个 batch 的 B）被算出但丢弃——这就是"算力浪费"，浪费比例 $(b-1)/b$。
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**为什么允许浪费**：进入该分支的 case 必然是访存 Bound（条件三保证），瓶颈在 MTE2 不在 MMAD，浪费的算力被搬移时延掩盖（§2.1 瓶颈交换）——**用本来闲置的 Cube 算力，换 tile 变大后的搬移效率与 Cube 利用率**。
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#### 4.2.2 进入条件（逐条 + 理由）
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设计原则四条：① 硬件时延可流水掩盖（double buffer 乒乓）；② 满足容量约束（每次计算 L1/L0A/L0B/L0C 放得下）；③ GM→L1 搬移高效（§2.2 四条经验约束）；④ 算力有浪费但计算不能成为瓶颈。
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形式化后，进入 MergeBatch 需**同时**满足：
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**条件 1（batch 够分且够合并）**：`BatchA = BatchB`（无广播）且
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$$
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b_{core} = \frac{B}{C} \ge b_{thr}
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$$
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$b_{thr}$ 是"多 batch 合并搬移能拿到效率收益"的最小合并数——$b$ 太小时合并的搬移收益抵不过实现复杂度，不如 IterBatch 且完全不浪费算力（功耗）。经验值 $b_{thr} = 4$（源码 `MIN_BATCH_L0 = 4`，注释 "each aic should process at least 4 batchs"）。
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**条件 2（合并数 b 的上下界）**：设核内单次 Cube 计算合并 $b$ 个 batch（$b \le b_{core}$），要求 $b \ge b_{thr}$ 且 $b$ 由以下约束共同封顶：
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- **算存比约束**（计算不能变成瓶颈）：合并后单次计算的算存比 $AI(b) = \dfrac{2bMN}{M + N}$，保持访存 Bound 要求
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$$
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AI(b) < R \;\Longleftrightarrow\; b < b_{AI} = \frac{R \cdot (M + N)}{2MN}
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$$
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- **L0C 容量约束**：输出 $[bM, bN]$ 的 FP32 累加块须放入 256KB L0C；考虑乒乓（double buffer）则两份：
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$$
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2 \cdot (bM)(bN) \cdot 4\text{B} \le 256\text{KB} \;\Rightarrow\; b \le b_{L0C} = \sqrt{\frac{256\text{KB}}{2 \cdot MN \cdot 4\text{B}}}
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$$
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||||
- **L0A/L0B 容量约束**：$2 \cdot bM \cdot k_{L0} \cdot \text{dtype} \le 64\text{KB}$ 且 $2 \cdot k_{L0} \cdot bN \cdot \text{dtype} \le 64\text{KB}$（乒乓两份），同时 $k_{L0}$ 不得低于 Cube 分形下限（16bit 位宽下典型 min baseK = 16）。
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> **乒乓取舍**：若 $b_{core}$ 小于"不乒乓时 L0C 允许的合并数上限"，说明 batch 余量不足，只能不乒乓（牺牲流水掩盖换合并数）；否则乒乓。形式上 $b_{max} = \min(b_{AI},\; b_{L0C}^{(\text{是否乒乓})},\; b_{core})$。
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**条件 3（访存 Bound 性质）**：
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$$
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\frac{2MN}{M + N} < \frac{R}{b}
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$$
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即 case 固有算存比显著低于平衡点（低一个合并倍数 $b$ 的量级）——这是"浪费可被掩盖"的定量保证。
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**条件 4（K 向搬移效率）**：L1 级 K 切分 $k_{L1} = K / StepK$（StepK 为正整数），要求 $k_{L1} \ge k_{thr}$，$k_{thr} = 32\text{B}/\text{dtype}$（BF16 即 16 元素）。理由：$k_{L1}$ 决定 ND2NZ 的 dValue，过碎则搬移指令效率崩（§2.2 第 4 条）。
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**条件 5（L1 驻留与 tile 效率）**：L1 级 batch 驻留数
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$$
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b_{L1} = \frac{L1_{size}}{(M k_{L1} + k_{L1} N) \cdot \text{dtype}}, \qquad b_{L1} > b
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$$
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（L1 驻留的 batch 组必须大于单次计算的合并数，否则合并无从谈起），且搬移 tile 大小满足效率：左矩阵非转置时 $\max(b_{L1} M k_{L1} \cdot \text{dtype},\; k_{L1} N \cdot \text{dtype}) > min\_TileSize$（16KB）；左矩阵转置时相应调整。
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**条件 6（单核搬移总量）**：
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$$
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b_{core} \cdot (M k_{L1} + k_{L1} N) \cdot \text{dtype} \ge min\_DatamountPerCore = 480\text{KB}
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$$
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||||
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||||
对应 §2.2 第 2 条：单核搬移数据总量不足时带宽利用率上限被压低。
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**条件汇总逻辑**：条件 1 定资格（batch 够多），条件 2/3 定上限（别算出瓶颈、别撑爆 L0），条件 4/5/6 定下限（搬移效率不能崩）。**上限与下限之间必须有交集，交集为空则该 case 与 MergeBatch 无缘。**
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#### 4.2.3 核内参数求解
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||||
进入分支后，$b$ 与 baseK 的具体取值有一个重要性质：**在访存 Bound 前提下，$b < b_{AI}$ 时 b 的取值不影响性能，baseK 只需满足分形约束（16 倍数）也不影响算存比**——因为瓶颈是搬移，算力余量内怎么切都一样。据此：
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||||
1. 先由条件 2 求 $b_{max}$，实际 $b$ 在 $[b_{thr}, b_{max}]$ 内取，且**尽量均匀**（$b_{core}$ 整除 $b$）——每次计算的 $b$ 均匀一致对功耗更有利；
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2. 再由 $b$ 反查 L0AB 允许的最大 baseK：
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$$
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||||
baseK_{max} = \min\left(\frac{64\text{KB}}{2 \cdot bM \cdot \text{dtype}},\; \frac{64\text{KB}}{2 \cdot bN \cdot \text{dtype}},\; \frac{C0_{size}}{\text{dtype}}\right)
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$$
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向下取 16 倍数。
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3. L1 级参数：$k_{L1} \ge \min(k_{L0\_max},\; 128\text{B}/\text{dtype})$，$b_{L1} = \min(b_{L1\_max},\; b_{core})$。
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#### 4.2.4 数值例子
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case：B=128, M=32, K=64, N=128, BF16，32 核。
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1. **资格**：$b_{core} = 128/32 = 4 \ge b_{thr} = 4$ ✓；
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2. **算存比**：$AI = 2 \times 32 \times 128 / (32 + 128) = 51.2$ FLOP/元素 $< R = 607.5$ ✓ 访存 Bound；$b_{AI} = 607.5 / 51.2 \approx 11.86$，即 $b \le 11$ 都不会进入算力 Bound——算存比约束很宽；
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||||
3. **L0C 约束**（乒乓）：$2(b \cdot 32)(b \cdot 128) \times 4\text{B} \le 256\text{KB} \Rightarrow b^2 \le 8 \Rightarrow b \le 2$（不乒乓则 $b \le 4$）——**L0C 才是真正的紧约束**；
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||||
4. **取 b = 2**（= $b_{core}$ 的因子，均匀）：L0B 给出 $k_{L0} \le 64\text{KB} / (2 \times 2 \times 128 \times 2\text{B}) = 64$，$K = 64$ 一步到位，baseK = 64；
|
||||
5. **搬移效率**：$k_{L1} = 64 \ge k_{thr} = 16$ ✓；单核搬移量 $4 \times (32 \times 64 + 64 \times 128) \times 2\text{B} = 80\text{KB}$ —— **不足 480KB**，条件 6 不满足！
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结论：该 case 在"单核搬移总量"一项上不达标——这正是 MergeBatch 条件体系的用处：**它提前告诉你瓶颈不在算力而在搬移效率**。
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#### 4.2.5 执行流程
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```
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核间：32 核，每核 b_core 个 batch
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核内（每核）：
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for k_l1 in range(0, K, kL1): # L1 级 K 切分
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MTE2: A[bL1组, M, k_l1:k_l1+kL1]、B[bL1组, k_l1:k_l1+kL1, N] → L1（乒乓）
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||||
for b_start in range(0, bL1, b): # 按合并数 b 分组
|
||||
for k_l0 in range(0, kL1, kL0): # L0 级 K 切分
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||||
MTE1: A[bM, kL0] → L0A；B[kL0, bN] → L0B
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||||
Cube: [bM, kL0] @ [kL0, bN] → L0C 累加
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||||
Fixpipe: BlockTrace 取 b 个 [M, N] 对角块 → L2/GM
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```
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#### 4.2.6 与源码对照
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源码 `batch_matmul_v3_mergebatch_basicapi_tiling.cpp` 的 IsCapable 条件：各级 batchA_i == batchB_i、`batchC ≥ 4 × aicNum`、`alignK ≥ 64`、`M ≤ N`、无 bias、非 NZ、拒绝非连续转置等。对照分析：
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| 源码条件 | 本文对应 | 差异 |
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|---|---|---|
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| `batchC ≥ 4 × aicNum` | 条件 1：$b_{core} \ge b_{thr} = 4$ | **一致**（每核至少 4 batch）——合理 |
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||||
| `alignK ≥ 64` | 条件 4：$k_{L1} \ge k_{thr}$=32B/dtype（BF16 为 16 元素） | 源码保守 **4 倍**，可能误杀 K∈[16,64) 的可获益 case |
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||||
| `M ≤ N` | 无此限制（M > N 的镜像 case 原理上同样可合并，交换合并方向即可） | 源码放弃镜像 case，属于**覆盖缺口** |
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| 无显式算存比/搬移效率判定 | 条件 3/4/6 | 源码把"是否最优"推给优先级顺序，本文条件体系是补全 |
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### 4.3 IterBatch（逐 batch 计算）
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#### 4.3.1 做什么
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核间按 B 分核（每核 1 个或多个 batch），核间无同步无通信；核内**逐个 batch 分别执行标准 Matmul 分块**（L1→L0A/L0B→Cube→L0C→Fixpipe）并输出。无算力浪费、无跨 batch 依赖——是"切 B"最朴素的形态。
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#### 4.3.2 进入条件（三大类 + 理由）
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满足以下**任一**：
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**类 1（计算 Bound 型）**：
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$$
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AI_{full} = \frac{2MKN}{MK + KN + MN} \ge R \quad \text{且} \quad BatchA = BatchB,\; b_{core} = \frac{B}{C} \in \mathbb{Z}^+
|
||||
$$
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||||
|
||||
理由：连输出写出都计入仍是计算 Bound，则瓶颈恒在 Cube——只要负载均衡（$b_{core}$ 整除，各核同量），逐 batch 计算就是满算力实现，无需任何花哨。
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||||
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||||
**类 2（输出驻留 L2 的均衡型）**：
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||||
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||||
$$
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||||
\frac{2MN}{M+N} \ge R_{读GM} \;\;\text{且}\;\; 2K \ge R_{写L2} \;\;\text{且}\;\; MN \cdot \text{dtype} \le L2_{size} \;\;\text{且}\;\; BatchA = BatchB,\; b_{core} \in \mathbb{Z}^+
|
||||
$$
|
||||
|
||||
理由：读侧访存不弱（$AI \ge R_{读GM}$）；单 batch 输出 $MN \cdot \text{dtype} \le 128$MB 可驻留 L2——Cube 输出写 L2 即算完成，写 GM 的流量被省掉；$2K$ 是"每写出一个元素对应的计算量"，$2K \ge R_{写L2}$ 保证写 L2 的 5.2TB/s 也不是瓶颈。三个条件合起来 = **读、算、写三条路都不堵**。
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||||
**类 3（访存 Bound 型）**：$\dfrac{2MN}{M+N} < R$ 且同时满足：
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||||
1. $BatchA = BatchB$ 且 $b_{core} = B / C \ge 1$；
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||||
2. **负载均衡**：访存 Bound 时核负载利用率建议 $b_{Avg}/b_{Max} > 0.8$（计算 Bound 时建议 100%）。操作化表述：B 整除核数，或尾波（B mod C）活跃的核数 $\ge minCoreNum$（取 $0.8 \times 32 \approx 26$）。注意：若只写 `B mod C > minCoreNum` 会误杀整除 case（余数 0 恰恰是完全均衡），**判据应以均衡比为准、余数规则为其近似**；
|
||||
3. **单核搬移不重复读**（访存 Bound 下重复读就是纯损失），按 L1 容量分五种形态之一：
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||||
- (a) $b_{core} = 1$ 且 $(MK + KN) \cdot \text{dtype} \le L1_{size}$：单 batch 左右矩阵同时驻留 L1，零重复读；
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||||
- (b) $b_{core} > 1$ 且 $2(MK + KN) \cdot \text{dtype} \le L1_{size}$：L1 放下 2 个 batch 形成乒乓流水；
|
||||
- (c) 放不下的，$(MK + KN/Step) \cdot \text{dtype} \le L1_{size}$（或 M/Step 对称）：一矩阵不切、另一切分，分块大小仍须 > min_TileSize；
|
||||
- (d) $b_{core} > 1$ 时上一条的半容量版本（L1 双 batch 乒乓预算减半）；
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||||
- (e) 左右都切 K：$(M \cdot K/Step + K/Step \cdot N) \cdot \text{dtype} \le L1_{size}$；
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||||
- 以上 (c)(d)(e) 切分后的分块均须满足搬移效率（tile ≥ 16KB、dValue ≥ 128B/256B）。
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||||
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||||
#### 4.3.3 设计原理
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||||
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||||
1. 核间切 B 零共享零依赖，**唯一的系统性风险是负载不均**——所以均衡是第一条件；
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||||
2. 输出须满足 L0C 容量：$MN \cdot 4\text{B} \le L0C$（否则核内还要切 M/N，那就不是纯 IterBatch 而是 ASW 行为——但 IterBatch 核内**允许**对单 batch 做标准 M/N/K tiling，此处的准确含义是"核内 tiling 不构成跨 batch 的耦合"）；
|
||||
3. 访存 Bound 时**单核数据不得重复读**——L1 装得下才不重复，装不下就按 Step 切分且切分后仍满足搬移效率下限；
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||||
4. 与 MergeBatch 的分工：IterBatch 不浪费算力，但需要"单 batch 足够大"撑搬移效率与 Cube 利用率；MergeBatch 用浪费换效率，专治小 M×N。两者在 $M \times N$ 的中段重叠，由时延模型仲裁（第五章）。
|
||||
|
||||
#### 4.3.4 核内参数求解
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||||
|
||||
**情形 (a)：$b_{core} = 1$ 且 L1 可放完整单 batch**
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||||
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||||
```
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||||
if (L0C_Size >= M * N * L0C_ElementSize):
|
||||
BaseM = M; BaseN = N
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||||
BaseK = min(align(L0A / BaseM, 16), align(L0B / BaseN, 16))
|
||||
else:
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||||
if M < N:
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||||
BaseM = align(M, 16)
|
||||
BaseN = floor(L0C / BaseM)
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||||
BaseK = min(floor_align(L0A / BaseM, 16), floor_align(L0B / BaseN, 16))
|
||||
else:
|
||||
BaseN = align(N, 16)
|
||||
BaseM = floor(L0C / BaseN)
|
||||
BaseK = min(floor_align(L0A / BaseM, 16), floor_align(L0B / BaseN, 16))
|
||||
```
|
||||
|
||||
**情形 (b)：$b_{core} > 1$ 且 L1 可放 2 batch 乒乓**
|
||||
|
||||
```
|
||||
if (L0C_Size >= 2 * M * N * L0C_ElementSize):
|
||||
BaseM = M; BaseN = N
|
||||
BaseK = min(floor_align(L0A / BaseM, 16), floor_align(L0B / BaseN, 16))
|
||||
else:
|
||||
if M < N:
|
||||
BaseM = align(M, 16)
|
||||
BaseK = min(floor_align(L0A / 2 / BaseM, 16), K)
|
||||
BaseN = max(floor_align(L0C / 2 / BaseM, 16), floor_align(L0B / 2 / BaseK, 16))
|
||||
else:
|
||||
BaseN = align(N, 16)
|
||||
BaseK = min(floor_align(L0B / 2 / BaseN, 16), K)
|
||||
BaseM = max(floor_align(L0C / 2 / BaseN, 16), floor_align(L0A / 2 / BaseK, 16))
|
||||
```
|
||||
|
||||
**情形 (c)/(d)/(e)：L1 放不下完整 batch**
|
||||
|
||||
一矩阵不切、另一切分：假设 L1 放完整左矩阵和部分右矩阵，则右矩阵应搬入的 K 向长度：
|
||||
|
||||
$$
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||||
k_{L1\_b} = \min\!\left(\frac{L1_{size} - M \cdot K \cdot \text{dtype}}{N \cdot \text{dtype}},\; K\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
且 $k_{L1\_b} \ge k_{thr}$，切分后 tile ≥ 16KB。
|
||||
|
||||
#### 4.3.5 执行流程
|
||||
|
||||
```
|
||||
核间：32 核分 batch（尽量整除，尾波核数 ≥ minCoreNum）
|
||||
核内（每核）：
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for batch in 本核的 b_core 个 batch: # 逐个 batch
|
||||
for m_tile / n_tile（核内标准 tiling）:
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||||
for k_tile in range(0, K, baseK):
|
||||
MTE2 预取下一 k_tile → L1（双缓冲）
|
||||
MTE1: L1 → L0A/L0B
|
||||
Cube: mmad → L0C 原地累加 # K 循环不出核
|
||||
Fixpipe: L0C → L2（写 L2 即完成，GM 回写可异步）
|
||||
```
|
||||
|
||||
#### 4.3.6 与源码对照
|
||||
|
||||
源码有三个 iterbatch 变体：`ITER_BATCH_BROADCAST_BASICAPI`（单边广播）、`ITER_BATCH_BASICAPI`（基础 API）、`ITER_BATCH`（高阶 API）。关键差异：
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||||
| 维度 | 源码 basicapi | 源码高阶 API | 本文 |
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|---|---|---|---|
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||||
| L1 容量计算 | $(sizeA + sizeB + bias) \times 2 \le l1Size$（除 DB） | $iterBatch = l1Size / inputSizeOneBatch$（不除 DB） | 按 L1 形态 (a)~(e) 分类 |
|
||||
| 截断 | `mmadCount=8`（issue queue）、`fullCopySize=64KB` | `iterBatch ≤ 4` 时 singleCoreK 减半 | 统一为搬移效率 + 均衡率约束 |
|
||||
| 均衡率 | 0.8 | 0.8 | 0.8（访存 Bound）/ 1.0（计算 Bound） |
|
||||
| 广播 | 独立分支（单边单轴） | 不支持 | 由转Matmul 或 ASW_Basic 吸收 |
|
||||
|
||||
### 4.4 StreamK（K 维核间切分）
|
||||
|
||||
#### 4.4.1 做什么
|
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|
||||
当 B、M、N 三个维度切到最碎仍填不满 32 核时，把 K 维切到核间：多核各算一段 K 的部分和，再归约：
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||||
|
||||
$$
|
||||
C_{(\beta,\mu,\nu)} = \sum_{c \in \text{group}} C^{(c)}_{(\beta,\mu,\nu)} \quad \text{（部分和写 workspace，AIV 归约或原子加）}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
#### 4.4.2 进入条件（两条缺一不可）
|
||||
|
||||
**条件 1（并行缺口存在）**：不切 K 时的独立输出块数
|
||||
|
||||
$$
|
||||
P = B \times \lceil M / 16 \rceil \times \lceil N / 16 \rceil < C = 32
|
||||
$$
|
||||
|
||||
（源码取更保守的 $B \cdot mCnt \cdot nCnt \le aicNum/2$，并附加 ND-only、无交叉广播、确定性等级 ≤ 1 等工程限制）。注意**严格的 StreamK 不要求核间完全不切 B/M/N**——它是一般框架 `grid_K × grid_B × grid_M × grid_N ≤ C`，纯切 K 只是 grid_B=grid_M=grid_N=1 的特例；当 B/M/N 能提供部分并行度时，应该用组合 grid 把归约组 $grid_K$ 压到最小（grid_K 小一档，K 的门槛降一档平方级）。
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**条件 2（归约代价可接受）**：每核计算时延须远大于归约时延（安全系数 $\alpha = 10$）：
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$$
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T_{MMAD/core} \ge \alpha \cdot T_{Reduce}
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\;\Longleftrightarrow\;
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\frac{K}{grid_K} \;\gtrsim\; grid_K \times 1690
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$$
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即 $K \gtrsim grid_K^2 \times 1690$：grid_K=2 → K ≥ 6.8K；grid_K=4 → K ≥ 27K；grid_K=8 → K ≥ 108K；grid_K=32 → K ≥ 1.7M（仅极端 case）。同时 $K / grid_K \ge 256$（单核 K 段过碎则 tiling 效率崩）。**grid_K 越大对 K 的要求越苛刻——StreamK 内部的 grid 搜索自然淘汰归约过重的配置。**
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#### 4.4.3 实现方案
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**核间组织**：grid_K 个核组成一个归约组，共享同一个输出块 $(\beta, \mu, \nu)$ 的计算。核间分配：
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$$
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\text{核 } c \text{ 的 K 段：} \left[\frac{c \cdot K}{grid_K},\; \frac{(c+1) \cdot K}{grid_K}\right)
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$$
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**核内流水**（每核）：
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```
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输入：K 段 [k_start, k_end)，输出块 (β, μ, ν)
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for m_tile / n_tile（核内标准 tiling）:
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for k_tile in range(k_start, k_end, baseK):
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MTE2: A[β, m_tile, k_tile:k_tile+baseK] → L1
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MTE1: L1 → L0A/L0B
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Cube: mmad → L0C 原地累加 # 本核的 K 段内累加
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Fixpipe: L0C → workspace（GM 或 L2） # 写出部分和
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```
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**归约阶段**：
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- **方式 A：workspace + AIV 归约**（确定性）。部分和写入 GM workspace（每核一块 256×256 fp32 缓冲），归约由 AIV 执行（AIC:AIV = 1:2，2 个 AIV 伺候 1 个 AIC 的部分和流）。workspace 大小 = $C \times 256 \times 256 \times 4\text{B} + 20\text{MB}$（RPC 区）；
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- **方式 B：原子加（AtomicAdd）**（非确定性）。部分和直接原子累加到输出 GM，省一遍读回，但归约顺序不定——源码在确定性等级 > 1 时禁用此变体。
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**fixpipe 优化**：当 N 不对齐且输出块足够大时（$n > 64$ 且 $n \% 16 \ne 0$ 且 $m > 2$ 且 $m \times n \ge 256$），启用 ND_FIXPIPE_1_2（1 AIC : 2 AIV 的 ND fixpipe 通路），由 AIV 分担搬出。
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**grid 搜索**：$grid_K$ 从 2 开始递增（2, 4, 8, ...），每档检查条件 2 是否满足；同时检查 $K / grid_K \ge 256$。取满足条件的最小 $grid_K$（归约代价最小）。
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**核间同步**：复用 Matmul 高阶 API 的 StreamK 模板（避免手写 CrossCore flagId 冲突，087篇/054篇）。
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#### 4.4.4 与不切 K 分支的关系
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StreamK 从不"硬切换"进入：当不切 K 的分支候选已足够快（如已 Cube Bound），StreamK 候选的归约开销使其自然落败；只有当 B/M/N 并行度不足导致大量核闲置时，StreamK 才以数量级优势胜出（例：B=1、M=N=64、K=65536 时，不切 K 仅 16 核可用，StreamK 32 核满负荷）。
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#### 4.4.5 与源码对照
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源码 `batch_matmul_v3_basic_streamk_tiling.cpp` 的条件：
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| 源码条件 | 本文对应 | 差异 |
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|---|---|---|
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| `batchC × mCnt × nCnt ≤ aicNum/2` | 条件 1：$P < C$ | 源码取一半核数为阈值，更保守；本文用精确并行缺口 |
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| `CeilAlign(k,256) ≥ max(8192, aicNum×256B/dtype)` | 条件 2：$K \gtrsim grid_K^2 \times 1690$ 且 $K/grid_K \ge 256$ | 源码用固定阈值，本文用 grid 搜索动态判定 |
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| fp32 非 hf32 时 K ≤ 200 万 | 无（本文不限） | 源码因 binary accumulation 精度限制 fp32 超长 K；本文不限 dtype，通过 grid 搜索控制归约深度 |
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| `aivNum == 2 × aicNum` | 归约方式 A 的硬件前提 | 一致 |
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| workspace = aicNum×256×256×4B + 20MB | 归约方式 A 的 workspace | 一致 |
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### 4.5 ASW_Basic（通用切分框架）
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#### 4.5.1 做什么
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不切 K，允许切 B/M/N 的**任意组合**——它是"不含 K 且含共享读取"的 6 种切分组合（{M},{N},{M,N},{B,M},{B,N},{B,M,N}）的统一实现框架，也是 B < 32 但 P ≥ 32 时的最优归宿，同时兜住 B ≥ 32 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足的剩余 case。**B 可以大、可以小、可以等于 1；ASW_Basic 是实践中最常命中的分支。**
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#### 4.5.2 核心机制：swizzle + L2 管理
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切 M/N 的固有代价是共享矩阵的重复读，ASW_Basic 用两件武器把代价压到最低：
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**武器 1：ASW 滑窗蛇形 swizzle**
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把 M 向按窗口 $W$ 分组，窗口内蛇形遍历 N 向：
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$$
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W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor \,\}
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$$
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32 核取 $W = 4$。数学效果：同一时刻 32 个核活跃的工作集被压缩到"$W$ 个 A 行块 + 一条 B 列块带"，L2 足迹最小 ⇒ 共享读取基本命中 5.2TB/s 的 L2 而非 1.6TB/s 的 GM。
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**为什么窗口取 $\lfloor\sqrt{C}\rfloor$ 的最大因子**：窗口越接近正方形，A 行块 + B 列块的 L2 足迹越小（方形窗的二维足迹是 $W \cdot K + K \cdot N$，随 W 偏离 $\sqrt{C}$ 而增大），且因子性保证整窗被核数均分、窗口边界不碎。
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窗口内的遍历顺序：
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$$
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\sigma(\mu, \nu) = \big(\mu_{row} \cdot W + \mu_{col}\big) \cdot \tilde{N} + \nu'
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$$
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其中 $\mu_{row} = \lfloor \mu / W \rfloor$，$\mu_{col} = \mu \bmod W$，$\nu'$ 由蛇形决定：
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$$
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\nu' = \begin{cases} \nu & \text{若 } \mu_{row} \text{ 为偶数（正向）} \\ \tilde{N} - 1 - \nu & \text{若 } \mu_{row} \text{ 为奇数（反向）} \end{cases}
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$$
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||||
核号与轮次：
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$$
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c = \mathrm{idx}(\beta, \mu, \nu) \bmod C,\qquad r = \lfloor \mathrm{idx}(\beta, \mu, \nu) / C \rfloor
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$$
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||||
**武器 2：L2 切分 + 错位分核**
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工作集超过 128MB 时，按 mL2TileNum × nL2TileNum 切分。每个 L2 块**错位分核**（对角线分配）：
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$$
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||||
\sigma_{diag}(\mu, \nu) = \mu \cdot \tilde{N} + \left(\nu + \left\lfloor \frac{\mu \cdot C}{\mathrm{lcm}(\tilde{M}, \tilde{N})} \right\rfloor \right) \bmod \tilde{N}
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$$
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避免多核同时抢同一地址的读读冲突，并优先选拖尾小的方案。
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#### 4.5.3 核间切分维度的选择顺序
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按共享代价从低到高：
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| 优先级 | 切分方式 | 共享矩阵 | 条件 | 代价 |
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|---|---|---|---|---|
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| 1 | **切 B**（B ≥ 核数） | 无 | $B \ge C$ | 零共享，永远先试 |
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| 2 | **切 M**（B 不够） | 右矩阵 [K, N] | $KN \cdot \text{dtype} \le 128$MB 则驻留 L2 | 右矩阵重复读，L2 吸收 |
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||||
| 3 | **切 N** | 左矩阵 [M, K] | $MK \cdot \text{dtype} \le 128$MB 则驻留 L2 | 左矩阵重复读，L2 吸收 |
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| 4 | **混合切**（B×M、M×N、…） | 双向共享 | 靠 swizzle + L2 切分管理 | 代价最高，最后试 |
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| 5 | **降核** | — | P 远小于 32 且 K 也不够格走 StreamK | 宁可部分核闲置（小 case 时延绝对值小） |
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#### 4.5.4 基本块寻优（cubeBound 模型）
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ASW_Basic 的 baseM/baseN 由 cubeBound 解析模型求解。平台指标：hbmBW/l2BW 由频率×核数×平台速率算出，computePower = 单核算力 × aicNum。
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cubeBoundEdge 公式：
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$$
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\text{cubeBoundEdge} = \frac{l2BW}{\text{computePower}} + l2CacheUsage \cdot \left(1 - \frac{l2BW}{hbmBW}\right) \cdot \text{cmr} - \frac{1 + l2BW/hbmBW}{kValue}
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$$
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其中 $\text{cmr} = (m+n)/(m \cdot n)$（每单位输出元素对应的输入行/列搬运代价），$l2CacheUsage = \max(batch \cdot (m+n) \cdot k \cdot \text{dtype} / l2Size, 1.0)$。
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逐项含义：
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- **第 1 项**：L2 供数速率 ÷ cube 耗数速率——cube bound 的理论阈值；
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- **第 2 项**：L2 装不下工作集时的访存惩罚，按 HBM 与 L2 带宽差加权；
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- **第 3 项**：K 向流水复用修正——K 越大，A/B 复用越充分。
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求解流程：在 baseM/baseN 候选解空间内枚举，按"计算访存比 cubeBoundParam = 1/baseM + 1/baseN 与尾块负载均衡率 balanceRate"综合评分：
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- 剪枝 ①：balanceRate ≥ 0.9 且候选 cubeBoundParam 既差于当前最优又大于 edge → 跳过；
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- 剪枝 ②：fp32 cubeBound 且多轮时 baseM/N < 64 → 跳过；
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- 评分：cubeBoundCond（满足 cubebound 且更均衡）优先；否则以 cubeBoundParam/balanceRate 为综合分。
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进入枚举前 edge 先乘 **CUBE_BOUND_RATIO = 0.85** 预留 15% 余量。
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#### 4.5.5 L1 步进与 buffer 管理
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$$
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\max StepK = \min\left(\left\lceil\frac{K}{baseK}\right\rceil,\; 8\right)
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$$
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stepK ≤ 8 是 issue queue 深度约束（源码注释："Shape约束 && issue queue约束"）。容量约束：
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$$
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(aL1 + bL1) \times 2 \le L1_{size} - bias - scale
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$$
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且单边不超过 L1 一半：
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$$
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\max(aL1, bL1) \times 4 \le L1_{size}
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$$
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stepK 枚举优先级：首个可行解 > 256B 对齐 > 单次搬运 ≥ 48KB。
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#### 4.5.6 内部特化（不是独立分支）
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- **AL1/BL1 全载**：当单边无 batch 且该侧矩阵很小（如 batchA=1 且 M ≤ 256），把整个 A 常驻 L1，$\tilde{M} = 1$、A 的 GM→L1 搬运只发生一次——这是 ASW 内部"M 不切 + L1 驻留深度拉满"的参数极限，不是新分支。源码条件：`batchA ≤ 1` 且 `m ≤ 256` 且 `alignMatASize × 2 ≤ l1Size` 且 B 侧"值得全载"（总量 ≥ L1×aicNum 或 每核循环 ≥ 4 轮）；
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- **广播友好形态**：交叉广播 case（§1.2）在 ASW 内通过对广播侧做 L1/L2 驻留处理，共享关系与切 M/N 同构。
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#### 4.5.7 执行流程
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```
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核间：32 核，按 swizzle 滑窗分配 (β, μ, ν) 块
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核内（每核）：
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for round in range(R): # R = ⌈B̃·M̃·Ñ / C⌉
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(β, μ, ν) = swizzle_inv(round × C + core_id)
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for k_tile in range(0, K, baseK):
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MTE2: A[β, μ, k_tile:k_tile+baseK] → L1（双缓冲/4buffer）
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MTE1: L1 → L0A/L0B
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Cube: mmad → L0C 原地累加 # K 循环不出核
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Fixpipe: L0C → L2/GM
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```
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#### 4.5.8 与源码对照
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源码 `batch_matmul_v3_asw_basic_tiling.cpp` 的 IsCapable：A、B 的非连续转置状态必须一致；batch 完全相等；batchBias ≤ 1；dtype 限 fp16/bf16 系。DoOpTiling：ResetBase → GetRebalanceBlock → CalL1Tiling。
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| 维度 | 源码 | 本文 |
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|---|---|---|
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| 基本块默认值 | baseM=256, baseN=256, baseK=128B/dtype | 由 cubeBound 模型求解，不固定 |
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| 寻优模型 | GetRebalanceBlock（cubeBound 解析模型） | 同（§4.5.4），但源码的经验常数（0.85/0.9/48KB）需注意移植 |
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| L1 buffer | 4 buffer 判定：`abL1TensorSize × 4 ≤ l1Size` | 同（§4.5.5） |
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| swizzle | ASW 滑窗（窗长取 √C 的最大因子） | 同（§4.5.2） |
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| fp32 splitK | K > 1024（或 8192 当 K > 2^28）时启用 | 由 StreamK grid 搜索统一管理 |
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## 五、分支仲裁与整体决策流程
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### 5.1 为什么需要仲裁层
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第四章的进入条件给出的是各分支的"主场"，但主场之间有**重叠区**（例如 B ≥ 32 且 M×N 中等时，MergeBatch 与 IterBatch 都合法；B 较大时 IterBatch 与 ASW_Basic 切 B 等效）。重叠区的最优归属没有解析解，必须由统一的时延模型仲裁：
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$$
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\text{branch}^* = \arg\min_{cand \in \bigcup \text{各分支候选}} \max\big(T_{MMAD},\; T_{MTE2},\; T_{MTE1},\; T_{Fixpipe}\;[,\;T_{Reduce}]\big)
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$$
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分支体系的价值在于**候选集完备且无冗余**：每个等价类只派一个代表框架生成候选，时延模型在等价类内部和边界上做精细仲裁。两层缺一不可——只有模型没有分支，搜索空间是 15 种组合 × 全部 grid 参数的爆炸；只有分支没有模型，边界 case 被硬阈值误杀。
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### 5.2 总决策流程
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```
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输入：B, M, N, K, dtype, layout, 广播形态, bias
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│
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├─[0] K = 0 → AIV 清零；K = 1 → AIV 逐元素乘（特殊分支）
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│
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├─[1] BatchB = 1 → 转Matmul（免费折叠 [B·M, K]，必选）
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│ BatchA = 1 → 比较"重排 B + Matmul" vs "广播友好 IterBatch/ASW"，
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│ 按时延模型选小者
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│
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├─[2] BatchA = BatchB = B > 1：
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│ 生成四类候选并逐一估算 T_total：
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│ MergeBatch（条件 1~6 全过才生成，见 4.2.2）
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│ IterBatch（三大类条件，见 4.3.2）
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│ ASW_Basic（按 4.5.3 顺序试切 B/M/N/混合，含 swizzle 与 L2 切分）
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│ StreamK（P < 32 且 K 满足 4.4.2 条件 2 时生成，grid 搜索）
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│ → argmin T_total
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│
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└─[3] 输出：分支 + tiling 参数（baseM/baseN/baseK、b、bL1、kL1…）
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+ swizzle 方案 + L2 切分方案 + 预估端到端时延
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```
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## 六、完备性审视（漏洞检查）
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按"转Matmul / MergeBatch / IterBatch / StreamK / ASW_Basic + 前置通路层 cover 全部 BMM case 最优实现"的设计目标，逐条拷问。
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### 6.1 覆盖矩阵：无空洞
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| shape 区域 | 主分支 | 兜底 |
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|---|---|---|
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| K = 0 / K = 1 | 前置通路层（AIV） | — |
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| BatchA=1 或 BatchB=1 | 转Matmul | ASW_Basic（广播友好形态） |
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| BatchA=BatchB>1，B≥32，M×N 大 | IterBatch | ASW_Basic 切 B |
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| BatchA=BatchB>1，B≥32，M×N 小，访存 Bound | MergeBatch | IterBatch |
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| 上述但 B<32，P≥32 | ASW_Basic | 降核 ASW |
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| P<32，K 大 | StreamK | 降核 ASW |
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| P<32，K 也小 | 降核 ASW_Basic | （此时时延绝对值小，调度开销主导，分支选择不敏感） |
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| 交叉广播（BatchA≠BatchB 且均>1） | ASW_Basic | — |
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### 6.2 审视发现的问题与修正
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设计骨架成立，但有五处需要修正或显式声明，否则会被反例拷问：
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**问题 1：转Matmul 的方向不对称（原设想的最大漏洞）。** "一侧 batch=1 就折叠成 Matmul"在 BatchB=1 方向免费（batch 与 M 内存相邻，输出布局一致）；但在 BatchA=1 方向，右矩阵 [B,K,N] 折叠成 [K,B·N] 需要一次真实的转置重排，且输出 [M,B·N] 与目标 [B,M,N] 之间存在置换——"只是输出后按 batch split"的设想在 ND 布局下不成立，split 实际是 scatter。修正：BatchA=1 时按"重排代价 vs Matmul 收益"走模型仲裁，小 case 留在 BMM 分支内。
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**问题 2：交叉广播 case 的归属必须显式声明。** BatchA=(6,1)、BatchB=(1,6) 这类 case 既不进转Matmul（两侧都>1），也不满足 MergeBatch/IterBatch 的 BatchA=BatchB 前提——它们落入 ASW_Basic（对广播侧做驻留）。不声明就会显得"五分支有洞"。声明后完备性闭合。
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||||
**问题 3：K 退化不在五分支内，需前置通路层。** K=0（无计算）、K=1（无累加深度）走 AIV 向量通路；这是"计算通路选择"维度，与"切分维度"正交，放在五分支之前判断。源码用 K_EQUAL_ZERO / TO_MUL 两个独立策略处理，印证了这一层的必要性。
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**问题 4：IterBatch 草稿条件的字面表述有误杀。** `B mod C > minCoreNum` 会拒绝 B 整除核数的完全均衡 case（余数 0）。正确表述应以负载均衡比为准：访存 Bound 要求 $b_{Avg}/b_{Max} > 0.8$，计算 Bound 要求 100%；余数规则只是它的近似操作化。
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||||
**问题 5：经验常数必须可标定，且源码硬编码条件偏粗。** $b_{thr}=4$、$k_{thr}$=32B/dtype、480KB、16KB、dValue≥256B 都是该档芯片的实测经验值，文档中全部显式参数化（换芯片只换常数表）。对照之下源码把 `batchC ≥ 4×aicNum`、`alignK ≥ 64`、`M ≤ N` 等直接写死，其中 `alignK ≥ 64` 比草稿阈值保守 4 倍、`M ≤ N` 放弃了镜像 case——**做最优实现时不应继承这些硬编码，而应按第四章的条件体系重新判定**。
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### 6.3 与源码策略的关系
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源码 arch35 的 11 个策略（K_EQUAL_ZERO / TO_MUL / STREAM_K / MERGE_BATCH / ITER_BATCH_BROADCAST / ITER_BATCH_BASICAPI / ITER_BATCH / AL1_FULL_LOAD / BL1_FULL_LOAD / ASW_BASIC / BASE）与本文分支不是同层概念：
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| 源码策略 | 本文归属 |
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|---|---|
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| K_EQUAL_ZERO、TO_MUL | 前置通路层（§4.0），正交于切分 |
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| STREAM_K | StreamK（§4.4） |
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| MERGE_BATCH | MergeBatch（§4.2） |
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| ITER_BATCH、ITER_BATCH_BASICAPI、ITER_BATCH_BROADCAST | IterBatch（§4.3；broadcast 变体是广播输入下的数据复用特化；单边广播在本文更多由转Matmul 吸收） |
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| AL1_FULL_LOAD、BL1_FULL_LOAD | ASW_Basic 的 L1 驻留参数极限（§4.5.6） |
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| ASW_BASIC、BASE | ASW_Basic（§4.5） |
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**结论**：源码策略集 = 本文分支 × 计算通路 × 驻留/广播特化的展开。本文的分支是"切分等价类"的最小完备骨架，源码的冗余策略可在新实现中收敛，源码遗漏的（条件 3/4/6 的显式判定、M>N 的 MergeBatch 镜像、转Matmul 的 BatchA=1 方向）正是优化的增量空间。
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---
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## 七、总结
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1. **最优的定义**：$T_{total} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{MTE1}, T_{Fixpipe}[, T_{Reduce}])$ 最小；瓶颈交换是合法且必要的手段。
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2. **分支的推导**：4 维可切 → 15 种组合完备 → 切分特征表（切 B 免费 / 切 M/N 廉价被 L2 吸收 / 切 K 昂贵需归约）→ 按价格从低到高购买并行度 → 坍缩为 MergeBatch、IterBatch、ASW_Basic、StreamK 四个等价类，加前置的转Matmul 问题归约层与 K 退化通路层，共七大路径，**完备且极小**。
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3. **各分支的条件**都不是孤立经验，而是"资格（并行度够不够）→ 上限（容量/算存比封顶）→ 下限（搬移效率托底）"三层逻辑的实例化；所有经验常数可标定、可移植。
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4. **边界不靠硬切**：重叠区由端到端时延模型统一仲裁，分支体系负责候选集的完备无冗余。
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5. **设计经受了漏洞拷问**：修正了转Matmul 的方向不对称与 IterBatch 均衡条件的字面误杀，显式声明了交叉广播与 K 退化的归属；相对源码实现，本文条件体系更细、更真、覆盖更全。
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## 附录 A：经验常数表（可标定）
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| 常数 | 数值 | 出处/依据 | 说明 |
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| $b_{thr}$ | 4 | 源码 `MIN_BATCH_L0` | 合并搬移的最小有效合并数 |
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| $k_{thr}$ | 32B/dtype | §2.2 第 4 条 | ND2NZ dValue 下限（BF16 为 16 元素） |
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| $min\_DatamountPerCore$ | 480KB | §2.2 第 2 条 | 单核搬移总量下限 |
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| $min\_TileSize$ | 16KB | §2.2 第 3 条 | 单次搬移 tile 下限（168篇官方为 16KB） |
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| $minCoreNum$ | 26（≈0.8×32） | §2.2 第 1 条 | 尾波活跃核数下限 |
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| $CUBE\_BOUND\_RATIO$ | 0.85 | 源码 GetRebalanceBlock | cubeBound edge 余量 |
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| $balanceRateEdge$ | 0.9 | 源码 GetRebalanceBlock | 负载均衡剪枝阈值 |
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| 均衡率（访存 Bound） | 0.8 | 源码 iterbatch | $b_{Avg}/b_{Max}$ 下限 |
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| $\alpha$（StreamK 安全系数） | 10 | 本文设定 | $T_{MMAD} \ge \alpha \cdot T_{Reduce}$ |
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| $R$（BF16/FP16） | 607.5 FLOP/元素 | §2.3 | 芯片算存比平衡点 |
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## 附录 B：与 issue#3 (v0.3) 的差异
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| 章节 | v0.3 状态 | v0.4 补全内容 |
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|---|---|---|
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| StreamK 实现方案 | 空 | §4.4.3 完整实现：核间组织、核内流水、归约两方式、fixpipe 优化、grid 搜索、核间同步 |
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| ASW_Basic 实现方案 | 空 | §4.5.2~4.5.7 完整实现：swizzle 公式、L2 切分、切分顺序、cubeBound 模型、L1 步进、执行流程 |
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| MergeBatch 进入条件 | 5 条（简略） | 6 条（含公式推导），补充算存比约束 $b_{AI}$、L0C 解析式 $b_{L0C}$、乒乓取舍 |
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| IterBatch 实现方案 | 部分伪代码 | 补全 (a)~(e) 五种情形的完整伪代码 + 设计原理 + 源码对照 |
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| 转Matmul 实现方案 | 简略 | 补充 BatchA=1 的决策规则（A 大小判断 + 广播扩展 + 时延比较） |
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| 特殊分支 | 简述 | 补充 AIV vs AIC 的定量分析、源码触发条件 |
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| 源码对照 | 无 | 每个分支新增"与源码对照"小节，指出源码的保守/缺口/一致项 |
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| 完备性论证 | 无 | §3.6 + 第六章：15 种组合 → 7 路径的完备性与极小性论证 |
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*参考文档：《BMM分块计算数学公式》《BMM最优软件实现方案设计》《BatchMatMulV3算子分支实现分析》《BatchMatmul算子特性分析》；源码：`ops-nn/matmul/batch_mat_mul_v3`（arch35）；芯片资料：昇腾 950PR 架构白皮书与 CANN 9.0.0 性能建模文档。*
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