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<title>BMM 算子优化分析 v0.91 — 昇腾 950PR</title>
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<div class="page">
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<h1>BMM 算子优化分析（v0.91）</h1>
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<blockquote>目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。所有分支进入条件只含 case 形状参数（B、M、N、K、dtype）与芯片规格参数。</blockquote>
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<hr>
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<h2>一、算子功能与接口说明</h2>
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<p>完成带 batch 的矩阵乘：<code>C = A @ B + bias</code>。</p>
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<ul class="tight">
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<li>左矩阵 A：<code>[BatchA, M, K]</code>，dtype，典型 ND，可带转置</li>
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<li>右矩阵 B：<code>[BatchB, K, N]</code>，dtype，典型 ND，可带转置</li>
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<li>偏置 bias：<code>[B, 1, N]</code>，固定 ND，可为空</li>
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<li>输出 C：<code>[BatchC, M, N]</code>，BatchC = broadcast(BatchA, BatchB)</li>
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</ul>
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<hr>
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<h2>二、符号与芯片参数约定</h2>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>950PR 取值</th></tr>
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<tr><td>C</td><td>AIC 核数（aicNum）</td><td>32</td></tr>
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<tr><td>Q₁₆</td><td>单核 Cube BF16 峰值算力</td><td>486/C ≈ 15.2 TFLOPS</td></tr>
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<tr><td>Q_AIV</td><td>AIV 向量求和吞吐（64 核合计）</td><td>64×128 fp32/拍×1.65GHz ≈ 13.5 Tops/s</td></tr>
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<tr><td>L1</td><td>每核 L1 Buffer</td><td>512KB</td></tr>
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<tr><td>L0A / L0B</td><td>每核 L0A / L0B</td><td>64KB / 64KB</td></tr>
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<tr><td>L0C</td><td>每核 L0C（FP32 累加，4B/元素）</td><td>256KB</td></tr>
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<tr><td>L2</td><td>L2 Cache 容量</td><td>128MB</td></tr>
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<tr><td>W_L2</td><td>L2 读写带宽</td><td>5.2TB/s</td></tr>
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<tr><td>W_GM</td><td>GM 带宽（读写共享）</td><td>1.6TB/s</td></tr>
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<tr><td>R₁₆</td><td>16bit 对应位宽算存比</td><td>≈607.5 FLOP/元素</td></tr>
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<tr><td>dValue</td><td>单数据块内数据连续排布长度</td><td>推荐 256B/512B，不建议 <128B</td></tr>
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<tr><td>min_TileSize</td><td>确保高带宽利用率的单块搬移数据量最小值</td><td>16KB</td></tr>
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<tr><td>min_DatamountPerCore</td><td>确保高带宽利用率的单核搬移数据量最小值</td><td>480KB</td></tr>
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<tr><td>minCoreNum</td><td>确保高带宽利用率的并行搬移核数最小值</td><td>≈0.8C = 26</td></tr></table>
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<p>以上数值基于 950PR 实测分析总结；对搬移带宽利用率的影响重要性排序为：<b>核数 > 单核搬移总数据量 > 单分块大小 > dValue</b>。不同 NPU 芯片数值可能略有差异，换芯片时逻辑结构不变、只换常数表。</p>
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<hr>
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<h2>三、最优实现分析</h2>
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<h3>3.1 性能模型</h3>
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<p>BMM 的执行是核内多级硬件流水的并行——Cube 计算（MMAD）、GM/L2→L1（MTE2）、L1→L0（MTE1）、L0C 写出（Fixpipe），各流水级时延可被双缓冲相互掩盖：</p>
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<div class="math">$$
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T_{total} = \max\big(T_{MMAD},\; T_{MTE2},\; T_{MTE1},\; T_{Fixpipe}\;[,\;T_{Reduce}]\big)
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$$</div>
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<p><b>总时延 = 最慢一级流水</b>，优化的关键是对瓶颈级的优化。由此得到设计自由度——<b>瓶颈交换</b>：搬移是瓶颈时可牺牲算力（冗余计算）换搬移效率；计算是瓶颈时可牺牲搬移（重复读取）换计算效率。MergeBatch 是前者的典型，ASW_Basic 切 M/N 是后者的典型。</p>
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<p>case 固有算存比与 16bit 位宽平衡点：</p>
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<div class="math">$$
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AI = \frac{2MN}{M+N},\qquad AI_{full} = \frac{2MNK}{MK+KN+MN}
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$$</div>
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<div class="math">$$
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R_{16} = \frac{\text{Cube 峰值算力}}{\text{GM 带宽} / \text{元素字节数}} = \frac{486\ \text{TFLOPS}}{1.6\ \text{TB/s} \,/\, 2\ \text{B}} \approx 607.5\ \text{FLOP/元素}
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$$</div>
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<p>其中 486 TFLOPS 是乘加各计一次后的标称算力；分母中的 2B 是 16bit 元素字节数，作用是把 GM 带宽折算成元素速率。</p>
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<p>$AI < R_{16}$ → 访存 Bound（瓶颈在 MTE2）；反之计算 Bound（瓶颈在 MMAD）。</p>
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<h3>3.2 实现本质逻辑</h3>
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<p>BMM 的实现本质是：把数据分块（tile），由全部 AIC 核并行 + 串行完成这些分块的计算，再组合成最终结果：</p>
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<div class="math">$$
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C[B,M,N] = \Big\{\,C[B_u, M_i, N_j] = \sum_k A[B_u, M_i, K_k] \cdot B[B_u, K_k, N_j]\,\Big\}
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$$</div>
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<p>分块有 4 个维度：B、M、N、K。<b>核间怎么分这 4 个维度，就是分支划分的第一性问题</b>（核内分块是第二性问题，属于各分支内部 tiling）。</p>
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<p>四个维度的核间切分特征（后续一切推导的基石）：</p>
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<table><tr><th>切分维度</th><th>读入特征</th><th>计算特征</th><th>写出特征</th></tr>
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<tr><td>切 B</td><td>核间零重复读（每个数据块只被 1 个核读取）；<b>核内是否重复读另有条件</b>——若 L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维可切段放入，kL1<K），单 batch 计算中切 M 会重复读 B、切 N 会重复读 A</td><td>每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖</td><td>只写最终结果，无中间结果</td></tr>
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<tr><td>切 M / 切 N</td><td>切 M 则同一右矩阵块被多核<b>重复读</b>；切 N 则同一左矩阵块被多核重复读</td><td>每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖</td><td>只写最终结果，无中间结果</td></tr>
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<tr><td>切 K</td><td>每个数据块只被固定的 1 个核读取，零重复读</td><td>每个输出块由<b>多核共同</b>完成，存在核间依赖</td><td><b>有中间结果写出，需核间 Reduce 归约</b></td></tr></table>
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<p>差异的根本原因：B 维在数学上独立（逐 batch 独立矩阵乘），切 B 核间天然零重复、零依赖；K 维有 L0C 累加机制——核内切 K 时多轮 mmad 在 L0C 原地累加、中间结果不出核，一旦切到核间，部分和必须写出 workspace 再归约——<b>切 K 是唯一同时破坏"累加不出核"和"输出独占"的切法</b>。</p>
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<p>4 维的任意非空子集共 $2^4-1=15$ 种切分组合，任何实现方案必属其一（完备）：</p>
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<table><tr><th>组</th><th>组合</th><th>共同特征</th><th>优化重心</th></tr>
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<tr><td>纯 B</td><td>{B}</td><td>核间零重复读（核内重复读取决于 L1 驻留形态）；无中间写出</td><td>搬移效率 / 计算效率</td></tr>
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<tr><td>含 M/N 不含 K</td><td>{M},{N},{M,N},{B,M},{B,N},{B,M,N}</td><td>核间可能有重复读</td><td>重复读尽量少（L2+swizzle 吸收）+ 搬移/计算效率</td></tr>
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<tr><td>含 K</td><td>其余 8 种</td><td>有中间结果写出 + 归约</td><td>计算效率，且归约时延不能成为新瓶颈</td></tr></table>
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<p>核间切分价格严格排序：cost(切 B) = 0 < cost(切 M/N) ≪ cost(切 K)。切 B 核间免费；切 M/N 的重复读可被 128MB L2（5.2TB/s vs GM 1.6TB/s）+ swizzle 大部分吸收；切 K 的归约流量 ∝ grid_K×输出量且引入核间同步，是结构性代价。<b>整条分支决策树就是：按价格从低到高购买并行度，买不够才加价。</b></p>
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<h3>3.3 分支推导</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>问题规约</b>：BatchA=1 或 BatchB=1 → 折叠转普通 Matmul（转Matmul）；K=0 / K=1 → Cube 无用，走 AIV 向量通路（特殊分支，与切分正交的前置判断）；</li>
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<li><b>先买免费的 B</b>：B ≥ C 时切 B 可满核。单 batch M×N 够大 → 逐 batch 算（IterBatch）；M×N 太小 → 多 batch 合并成大 tile 算，冗余算力换搬移效率（MergeBatch）；</li>
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<li><b>B 买不满，加价买 M/N</b>：切 M/N 或混合切，重复读交给 L2 + swizzle（ASW_Basic）；</li>
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<li><b>B/M/N 都买不满，才买昂贵的 K</b>：核间切 K + 归约（StreamK）。</li>
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</ol>
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<p>由此得 6 大分支：<b>转Matmul、特殊分支、IterBatch、MergeBatch、ASW_Basic、StreamK</b>。重叠区（如 B≥C 且 M×N 中等时 MergeBatch 与 IterBatch 都合法）由端到端时延模型 $T_{total}$ 仲裁；分支体系保证候选集完备无冗余。</p>
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<hr>
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<h2>四、可转 Matmul 分支</h2>
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<h3>进入分支条件</h3>
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<div class="math">$$
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BatchA = 1 \;\lor\; BatchB = 1
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$$</div>
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<p>解释：单边 batch=1 的 BMM 与 Matmul 只差一个维度标签，直接复用 Matmul 的成熟优化体系。</p>
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<h3>实现方案</h3>
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<ul class="tight">
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<li><b>BatchB=1</b>：左矩阵 <code>[B,M,K]</code> 的 batch 维与 M 维在 ND 下内存相邻紧排，直接视图为 <code>[B·M,K]</code>，输出布局逐元素一致——零重排、零 split，免费转换；</li>
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<li><b>BatchA=1</b>：右矩阵折叠为 <code>[K, B·N]</code> 需一次真实转置重排（O(B·K·N)），且输出存在置换需 scatter——有代价。A 较小（$MK\cdot\text{dtype} \le L1$）时优先 A 常驻 L1、留在 BMM 分支内（广播友好形态）；A 较大时按广播扩展后分别预估"BMM 分支"与"重排+转Matmul"的时延，择优。</li>
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</ul>
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<hr>
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<h2>五、MergeBatch 分支</h2>
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<p>核间切 B（每核 $b_{core}$ 个 batch，核间无同步）；核内把 b 个 batch 合并计算：$[b,M,K]@[b,K,N] \Rightarrow [bM,K]@[K,bN]=[bM,bN]$，BlockTrace 取块对角线得 $[b,M,N]$。交叉项被算出但丢弃（浪费比例 (b−1)/b）——进入该分支的 case 必然访存 Bound（条件 5 保证），浪费的算力被搬移时延掩盖。</p>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<p>同时满足（b0 = 单次合并计算的 batch 数下限，b0 ≥ 2）：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = B/C \ge 2b_0$</li>
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<li>$2 \cdot (b_0 M)(b_0 N) \cdot 4\text{B} \le L0C$</li>
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<li>$b_{core} \cdot (MK + KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_DatamountPerCore$</li>
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<li>$\max(MK,\; KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize$</li>
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<li>$\dfrac{2MN}{M+N} < \dfrac{R_{16}}{b_0}$</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>batch 关系与每核份额</b>：无广播才能逐 batch 对应合并；每核至少分到 $2b_0$ 个 batch——$b_0$ 是合并搬移有收益的最小合并数（取 2），2 组起步才能构成合并组间乒乓流水（即 $b_{core} \ge 4$）。</li>
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</ol>
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<p> <b>MergeBatch vs IterBatch 分界建模</b>：</p>
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<p> *执行模型*：两分支的核间切分相同——B 维切分到 C 核，每核 $b_{core} = B/C$ 个 batch；核内不切 M/N。差异在核内 K 维处理：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>IterBatch</b>（形态 d）：每 batch 切 K 为 $n_K = \lceil K/k_{L1} \rceil$ 块，逐块流水（MTE2 搬 $A[M,k_{L1}]+B[k_{L1},N]$→L1→L0→Cube 部分和累加 L0C），最后一块算完 fixpipe 排空 L0C→GM</li>
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<li><b>MergeBatch</b>：$b_0$ 个 batch 合并为 $[b_0M, K]@[K, b_0N]$，切 K 为 $n_K^m$ 块，同理流水</li>
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</ul>
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<p> *符号*：</p>
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<table><tr><th>符号</th><th>含义</th><th>表达式</th></tr>
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<tr><td>$k_{L1}$</td><td>L1 级 K 分块粒度（双缓冲）</td><td>$\min\big(K,\; L1/(2(M{+}N)\cdot\text{dtype})\big)$</td></tr>
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<tr><td>$n_K$</td><td>K 分块数</td><td>$\lceil K/k_{L1} \rceil$</td></tr>
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||||
<tr><td>$T_{load}$</td><td>每 K 分块搬移时延</td><td>$k_{L1}(M{+}N)\cdot\text{dtype}/BW_{pc}$</td></tr>
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<tr><td>$T_{comp}$</td><td>每 K 分块计算时延</td><td>$2MN \cdot k_{L1}/Q_{16}$</td></tr>
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<tr><td>$T_{write}$</td><td>单 batch 输出写回时延</td><td>$MN \cdot outB/W_{GM}$</td></tr>
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<tr><td>$T_{bd}$</td><td>batch 边界固定开销</td><td>fixpipe 启动握手（详见下文物理成因）</td></tr>
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<tr><td>$BW_{pc}$</td><td>单核 GM 带宽份额</td><td>$W_{GM}/C$</td></tr></table>
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<p> *端到端时延模型*：对每核执行过程建模。稳态流水（unitflag 交叠 batch 间 drain/startup）加上 batch 边界固定开销 $T_{bd}$（每边界一次）：</p>
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<div class="math"> $$T_{iter} = \underbrace{b_{core} \cdot n_K \cdot \max(T_{load},\, T_{comp})}_{\text{稳态流水}} + \underbrace{T_{comp} + T_{write}}_{\text{末 batch drain}} + \underbrace{b_{core} \cdot T_{bd}}_{\text{边界开销}}$$</div>
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||||
<div class="math"> $$T_{mb} = \underbrace{b_{core} \cdot n_K \cdot \max(T_{load},\, b_0 T_{comp})}_{\text{稳态流水}} + \underbrace{b_0(T_{comp} + T_{write})}_{\text{末合并 batch drain}} + \underbrace{\frac{b_{core}}{b_0} \cdot T_{bd}}_{\text{边界开销}}$$</div>
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||||
<p> 其中 MergeBatch 合并后 $k_{L1}^m = \min(K,\; k_{L1}/b_0)$——L1 绑定（$k_{L1}<K$）时 $k_{L1}^m = k_{L1}/b_0$；K 截断（$k_{L1}=K$）时 $k_{L1}^m = K$ 不减半。以 L1 绑定为例。</p>
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<p> 条件 5 保证合并后仍访存 Bound（$T_{load} > b_0 T_{comp}$），两式相减：</p>
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<div class="math"> $$\Delta = T_{mb} - T_{iter} = \underbrace{(b_0-1)(T_{comp} + T_{write})}_{\text{drain 惩罚}} - \underbrace{b_{core}\Big(1-\frac{1}{b_0}\Big) T_{bd}}_{\text{边界节省}}$$</div>
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||||
<p> <b>分界条件</b>（MergeBatch 优于 IterBatch 当且仅当 $\Delta < 0$）：</p>
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<div class="math"> $$b_{core} > \frac{b_0 \cdot \text{penalty}}{T_{bd}},\qquad
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||||
\text{penalty} = \begin{cases} (b_0-1)(T_{comp} + T_{write}) & \text{L1 绑定（}k_{L1} \lt K\text{）} \\ (b_0^2-1)T_{comp} + (b_0-1)T_{write} & \text{K 截断（}k_{L1} = K\text{）} \end{cases}$$</div>
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||||
<p> penalty 两种情形的含义：drain 暴露 = 末（合并）batch 最后一个 K 分块的计算时延 + 输出写回时延——这部分没有下一块搬移可交叠，是流水线的 drain 尾部。</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>L1 绑定</b>（$k_{L1} < K$）：L1 容量限制了 K 分块粒度，MergeBatch 合并后 tile 更大 → $k_{L1}$ 减半 → 每分块计算量 $b_0$ 倍 → drain 惩罚 $= (b_0-1)(T_{comp}+T_{write})$；</li>
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||||
<li><b>K 截断</b>（$k_{L1} = K$）：整个 K 装入 L1 一块，MergeBatch 合并后 $k_{L1}$ 不减半（仍等于 K）→ 每分块计算量 $b_0^2$ 倍（$b_0^2 MN$ 输出 $\times$ $K$ 深度）→ drain 惩罚 $= (b_0^2-1)T_{comp} + (b_0-1)T_{write}$，更严格。</li>
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||||
</ul>
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||||
<p> 小 MN 时 $T_{comp}$ 小 → penalty 小 → MergeBatch 更容易赢；大 B 时 $b_{core}$ 大 → 边界节省多 → MergeBatch 更容易赢。条件 1（$b_{core} \ge 2b_0$）是该分界在典型 $T_{bd}$ 下的保守近似，精确边界依赖 $T_{bd}$ 实测标定。</p>
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||||
<p> **$T_{bd}$ 的物理成因**（batch 边界处硬件必须完成的固定动作）：</p>
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<p> 从 IterBatch 的 kernel 侧源码（<code>cmct/block/block_mmad_iterbatch.h</code>）可直接观察到 batch 边界的 Set/Wait 同步序列：</p>
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<pre><code> // 当前 batch 最后一个 K 分块结束后：
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||||
SetFlag<M_FIX>(l0cEventID_ & 0x1); // Cube → fixpipe: "L0C 可以排空"
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WaitFlag<M_FIX>(l0cEventID_ & 0x1); // 等 fixpipe 确认开始 ← 串行握手，不可掩盖
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||||
CopyOut(cTensor, c1Local_[...]); // fixpipe 排空 L0C
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||||
SetFlag<FIX_M>(l0cEventID_ & 0x1); // fixpipe → Cube: "L0C 已空"
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||||
// 下一 batch 第一个 K 分块：
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||||
WaitFlag<FIX_M>(l0CEventID_ & 0x1); // 等 L0C 可用（被 L0C 双缓冲掩盖）</code></pre>
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||||
<p> $T_{bd}$ 由三个部分组成：</p>
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||||
<ol class="tight">
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||||
<li><b>Fixpipe 启动握手</b>（<code>WaitFlag<M_FIX></code>）：fixpipe 从收信号到启动排空的延迟——地址/步长寄存器重配置（每 batch 输出写往 GM 不同区域）。<b>串行、不可掩盖</b>，是 $T_{bd}$ 的主要成分；</li>
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||||
<li><b>L0C 缓冲区切换</b>（<code>WaitFlag<FIX_M></code>）：L0C 双缓冲——Cube 写一半、fixpipe 读另一半。被双缓冲掩盖，不贡献 $T_{bd}$；</li>
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||||
<li><b>Cube 流水线重建</b>：systolic array 在新 batch 首个 K 分块时需重新填充——fill 开销与 tile 尺寸无关，是固定成本。</li>
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||||
</ol>
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||||
<p> <b>证据来源</b>：</p>
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<table><tr><th>证据</th><th>文件</th><th>内容</th></tr>
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<tr><td>MMAD→Fixpipe 同步开销存在</td><td><code>CANN社区版9.2.0-beta.1/02_API参考/AscendC_API/180_..._UnitFlag.md</code></td><td>"未开启UnitFlag功能时，MMAD和FIXPIPE是指令级别的同步……流水串行"；实测 7.3% 改善（M=128,N=30720,K=64）</td></tr>
|
||||
<tr><td>编译器默认插入同步指令</td><td><code>CANN社区版9.2.0-beta.1/01_AscendC算子开发/048_..._算子编译基本用法.md</code></td><td>"默认会插入内存同步指令……这些同步指令<b>会带来性能开销</b>"</td></tr>
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<tr><td>同步机制是架构级关注点</td><td><code>00_硬件/昇腾950_NPU架构白皮书.pdf</code> §4.1.6</td><td>新增 BufferID 同步机制替代 set_flag/wait_flag——"降低了同步的复杂度"</td></tr></table>
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<p> 注：非融合场景下 IterBatch/MergeBatch 仅使用 AIC（Cube），AIV 不参与（<code>kernel_matmul_iterbatch.h</code> line 295-297：<code>if (!enableFusion) { if ASCEND_IS_AIV { return; } }</code>），故不引用 AIV 侧同步文献。</p>
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<p> $T_{bd}$ ≈ fixpipe 启动握手延迟（寄存器写入 + DMA 启动），量级估计为数十 ns。知识库未给出精确数值，需实测标定。</p>
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<p> 这些开销<b>与 batch 的计算量无关</b>，是每次 batch 切换的固定成本。大 batch 时被大量计算分摊，占比可忽略；小 batch 时每个 batch 绝对时延短，边界开销占比显著。MergeBatch 把 $b_0$ 个 batch 并为一次大矩阵计算，边界数降 $b_0$ 倍——<b>这是 MergeBatch 的结构性收益来源</b>。</p>
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<p> <b>MergeBatch vs IterBatch 优势总结</b>：</p>
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<table><tr><th>维度</th><th>IterBatch</th><th>MergeBatch</th><th>差异来源</th></tr>
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<tr><td>稳态搬移吞吐</td><td>相同</td><td>相同</td><td>总搬移量、每块大小、总块数相同</td></tr>
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<tr><td>batch 边界开销</td><td>$b_{core} \cdot T_{bd}$</td><td>$b_{core}/b_0 \cdot T_{bd}$</td><td>**MergeBatch 少 $b_0$ 倍** ← 核心优势</td></tr>
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<tr><td>drain 暴露</td><td>$T_{comp} + T_{write}$</td><td>$b_0(T_{comp} + T_{write})$</td><td>IterBatch 少 $b_0$ 倍 ← 核心劣势</td></tr>
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<tr><td>L0C 利用率</td><td>$MN \cdot 4\text{B}$</td><td>$b_0^2 MN \cdot 4\text{B}$</td><td>访存 Bound 下不影响时延</td></tr></table>
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<p> 净收益 = 边界节省 - drain 惩罚 = $b_{core}(1-\frac{1}{b_0})T_{bd} - (b_0-1)(T_{comp}+T_{write})$。大 B（$b_{core}$ 大）且小 MN（$T_{comp}$ 小）时 MergeBatch 最优。</p>
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<p> <b>L0C 利用率说明</b>：小 MN 时 IterBatch 的 L0C tile（$MN \cdot 4\text{B}$）远小于 L0C 容量，MergeBatch 合并后更接近满载。但访存 Bound 下计算被搬移掩盖，L0C 利用率不影响总时延——<b>不构成 MergeBatch 的优势</b>。</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>L0C 容量</b>：合并 $b_0$ 个 batch 的输出块 $[b_0M, b_0N]$（FP32 累加、双缓冲两份）必须放得下 L0C；连最小合并都放不下，合并无从谈起。</li>
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<li><b>单核搬移总量</b>：单核搬移数据总量低于 min_DatamountPerCore 时，GM 带宽利用率上不去（重要性第 2 位的经验约束）。</li>
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<li><b>搬移 tile 大小</b>：单 batch 单矩阵的最大连续搬移块须达到 min_TileSize；合并是在此之上进一步放大，不是替代。</li>
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<li><b>访存 Bound</b>：合并把单次计算的算存比放大 $b_0$ 倍后仍须低于 16bit 对应位宽算存比 $R_{16}$，保证瓶颈留在搬移侧，冗余算力被掩盖而非成为新瓶颈。</li>
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</ol>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>Step 1：合并数 b（L0C + 算存比双上限）</b></p>
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<div class="math">$$
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b \le \sqrt{\frac{L0C}{2 \cdot MN \cdot 4\text{B}}},\qquad b < \frac{R_{16}(M+N)}{2MN}
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$$</div>
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<div class="math">$$
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b = \min\big(\text{两上限},\; b_{core}\big),\quad b_{L0} = b
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$$</div>
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<p>b 尽量取 $b_{core}$ 的因子（每次合并数均匀，负载与功耗更优）。</p>
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<p>**Step 2：L0 级 K 粒度 $k_{L0}$**</p>
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<div class="math">$$
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k_{L0} = \min\Big(\frac{L0A}{2\,bM\cdot\text{dtype}},\; \frac{L0B}{2\,bN\cdot\text{dtype}}\Big)\ \text{向下 16 对齐，且 } k_{L0}\cdot\text{dtype} \ge 128\text{B}
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$$</div>
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<p>解释：L0A/L0B 各 64KB、双缓冲两份，装入合并后 $bM$ 行（$bN$ 列）× $k_{L0}$ 的 fractal；末项是 dValue 下限。</p>
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<p>**Step 3：L1 级 $k_{L1}$、$b_{L1}$**</p>
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<div class="math">$$
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k_{L1} \ge \min\big(k_{L0\_max},\; 256\text{B}/\text{dtype}\big),\qquad
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2\,b_{L1}(M k_{L1} + k_{L1} N)\cdot\text{dtype} \le L1,\qquad
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b_{L1} = \min(b_{L1\_max},\; b_{core}) \;\ge\; b
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||||
$$</div>
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<p>解释：$k_{L1}$ 是 GM→L1 的 K 向粒度，按 dValue 推荐值 256B 取；L1 双缓冲两份，每份驻留 $b_{L1}$ 个 batch 的 A/B 各一块；$b_{L1} \ge b$ 保证合并不断供。</p>
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<hr>
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<h2>六、IterBatch 分支</h2>
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<p>核间切 B（每核 $b_{core} \ge 1$ 个 batch，核间无同步）；核内逐个 batch 做标准 Matmul 分块计算。无算力浪费、无跨 batch 依赖，是"切 B"最朴素的形态。</p>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<p>同时满足：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = \lceil B/C \rceil \ge 1$</li>
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<li>$B \bmod C = 0 \;\lor\; B \bmod C \ge minCoreNum$</li>
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<li>L1 容量约束，四选一（Step 为 >1 的整数）：</li>
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<ul class="tight">
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<li>a) $b_{core}=1 \;\land\; (MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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<li>b) $b_{core}>1 \;\land\; 2(MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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<li>c) $\big(MK + 2\cdot\tfrac{KN}{Step}\big)\cdot\text{dtype} \le \dfrac{L1}{\min(b_{core},\,2)} \;\;\lor\;\; \big(KN + 2\cdot\tfrac{MK}{Step}\big)\cdot\text{dtype} \le \dfrac{L1}{\min(b_{core},\,2)}$</li>
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<li>d) $2\cdot\tfrac{K}{Step}(M+N)\cdot\text{dtype} \le L1$</li>
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</ul>
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<li>c/d 切分后：搬移分块 $\ge min\_TileSize \;\land\; dValue \ge 128\text{B}$</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>batch 关系与每核份额</b>：无广播；每核至少 1 个 batch。</li>
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<li><b>负载均衡</b>：切 B 核间零共享零依赖，唯一系统性风险是负载不均。整除时完全均衡；不整除时尾波活跃核数须 ≥ minCoreNum，保证尾波仍有足够核并发搬移（重要性第 1 位的约束是核数）。</li>
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<li><b>L1 容量——核心要求：单 batch 计算不重复读</b>。</li>
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</ol>
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<p> 重复读发生在<b>单 batch 内部</b>：L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维允许切段放入，kL1<K）时，核内切 M 会在 K 循环中重复读 B、切 N 会重复读 A。IterBatch 进入与否不由算存比判定——即使 case 是计算 Bound，重复读引入的额外搬移也可能把它重新拖回访存 Bound。所以进入条件直接由 L1 驻留形态刻画：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>a)</b> 每核 1 batch，左右矩阵同时驻留 L1，零重复读；</li>
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<li><b>b)</b> 每核多 batch，L1 同时放下 2 个 batch，batch 间直接乒乓；</li>
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<li><b>c)</b> 一侧驻留 + 对侧切 K（$b_{core} \ge 1$ 统一式）：驻留侧只搬一次、零重复读；对侧 K 段在预算内双缓冲（故系数 2）。<b>预算分档由 batch 间流水掩盖决定</b>：$b_{core}=1$ 时无 batch 边界、全量 L1 可用；$b_{core} \ge 2$ 时预算减半（L1/2），另一半用于在计算当前 batch 期间预取下一 batch 的驻留侧——定量分析见下文"batch 间流水掩盖"；</li>
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<li><b>d)</b> 两侧都切 K：A/B 按 K 段成对流水（双缓冲故系数 2），无驻留侧、batch 边界天然无缝，是驻留侧放不进 L1/2 时的兜底。</li>
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</ul>
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<ol class="tight">
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<li><b>搬移效率下限</b>：切分把粒度切小，必须守住 min_TileSize 与 dValue，否则切分本身把带宽打崩。</li>
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</ol>
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<h3>batch 间流水掩盖分析（c/d 的分工）</h3>
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<p>先明确流水结构：fixpipe 开 unitflag 后，写出由硬件随路完成（每个 16×16×16 fractal 算完即自动搬出），<b>写出侧不需要软件排流水</b>；要掩盖的只有"读入（MTE2: GM→L1）↔ 计算（Cube）"。</p>
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<ul class="tight">
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<li>**(c) 且 $b_{core}=1$**：每核只有 1 个 batch，不存在 batch 边界；驻留侧全程复用，对侧 K 段双缓冲，段间无缝。</li>
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<li>**(c) 且 $b_{core} \ge 2$——关键问题：驻留侧在 batch 边界要整体换入，怎么掩盖？** 若不减预算（全量 L1 给当前 batch），到 batch 边界时下一 batch 的驻留侧（如 A，$MK\cdot\text{dtype}$）必须整体换入，而当前 batch 尾部只剩几个 K 段的计算——掩盖不了整个驻留侧的换入，产生气泡。<b>修正做法</b>：每 batch 只占 L1/2（驻留侧 + 对侧 K 段双缓冲都在这一半），另一半 L1 在计算当前 batch 期间预取下一 batch 的驻留侧。上一 batch 做最后一个 K 段时，下一 batch 的驻留侧已就绪、首个 K 段随即搬入——边界无气泡。无气泡的定量条件：驻留侧换入量 $MK\cdot\text{dtype} \le$ 当前 batch 总搬入量 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，恒成立；访存 Bound 下计算时间 ≥ 搬入时间，尾部窗口必然足够。</li>
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<li><b>(d)（两侧都切 K）</b>：K 段槽位在 batch 间完全同质连续——上一 batch 最后一段计算时搬下一 batch 第一段，天然无缝。当驻留侧单矩阵放不进 L1/2 时 (c) 不成立，由 (d) 接管，代价是两侧都有 K 段级重复读。</li>
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</ul>
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<p>结论：(c) 统一了原 (c)/(d)——同一族"一侧驻留 + 对侧切 K"，预算按 $b_{core}$ 分档（$b_{core}=1$ 全量 L1、$b_{core} \ge 2$ 减半以容纳下一 batch 驻留侧预取）；驻留侧超 L1/2 时由 (d) 接管。</p>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>(a)</b>：每核 1 batch 直接搬入 L1。L1→L0 先看 L0C 能否放下完整单 batch 输出：</p>
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<pre><code>if (L0C >= M*N*4B): # L0C 放得下完整输出：不切 M/N，只切 K
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BaseM = M; BaseN = N
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BaseK = min(align(L0A/M, 16), align(L0B/N, 16))
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else: # L0C 放不下：按较小维切
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if M < N: BaseM = align(M,16); BaseN = floor(L0C/4B / BaseM)
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else: BaseN = align(N,16); BaseM = floor(L0C/4B / BaseN)
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BaseK = min(floor_align(L0A/BaseM,16), floor_align(L0B/BaseN,16))</code></pre>
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||||
<p><b>(b)</b>：L1 双 batch 乒乓，核内 GM→L1→L0→Cube→L0C→GM/L2 流水；L1→L0 分块同理，但各级预算减半（L0C/L0A/L0B 按 2 份）。</p>
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<p><b>(c)</b>：一侧驻留 + 对侧切 K。假设驻留左矩阵，右矩阵搬入的 K 向长度：</p>
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<div class="math">$$
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||||
k_{L1\_b} = \min\Big(\frac{L1_{budget} - MK\cdot\text{dtype}}{N\cdot\text{dtype}},\; K\Big),\qquad L1_{budget} = \frac{L1}{\min(b_{core},\,2)}
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||||
$$</div>
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<p>$b_{core} \ge 2$ 时另一半 L1 在计算期间预取下一 batch 的驻留侧，实现 batch 间无气泡衔接；fixpipe 开 unitflag。</p>
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||||
<p><b>(d)</b>：两侧都切 K 段，$k_{L1}$ 取满足容量与 dValue 的最大值；L0C 按 batch 乒乓（各占 L0C/2），batch 边界由硬件 fixpipe 自动排空、下一 batch 立即在另一半 L0C 累加。</p>
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<hr>
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<h2>七、StreamK 分支</h2>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<ol class="tight">
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<li>$P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} < \dfrac{C}{2}$</li>
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||||
<li>$\dfrac{K}{grid_K} \ge \dfrac{256\text{B}}{\text{dtype}}$</li>
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||||
<li>$K > \dfrac{grid_K^{\,2}}{grid_K-1}\cdot\theta_c$，$\theta_c = \dfrac{Q_{16}}{2}\Big(\dfrac{8\text{B}}{W_{L2}}+\dfrac{1}{Q_{AIV}}\Big) \approx 12$（grid_K 由实现方案确定）</li>
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<li>工程约束：确定性等级 ≤ 1（核间归约顺序不定）；ND 格式</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>并行缺口</b>：P 以"L0C 满载的输出基本块"为粒度估计不切 K 的最大并行度——基本块按 L0C 最大利用率取（$M^t N^t \cdot 4\text{B} = L0C$），免去预先估计 M/N 具体切分。<b>阈值取 C/2 而非 C</b>：StreamK 的定义就是 grid_K ≥ 2（至少 2 路切 K），且同一 batch 内所有输出块共享同一个 grid_K；grid_K=2 时每块需要 2 个核，总核数需求 = P × 2 ≤ C，即 P ≤ C/2。若 C/2 ≤ P < C，切 2 路就超核数（2P > C），不切又浪费一半核——这个区间由降核 ASW_Basic 承接更合适。P < C/2 才意味着不切 K 时连一半核都填不满，K 是唯一剩余的并行维度。</li>
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||||
<li><b>单核 K 段下限</b>：每核 K 段内轴连续长度不小于 dValue 推荐值 256B（BF16 为 128 元素），保证段内搬移效率不崩。</li>
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||||
<li><b>归约代价可接受</b>。StreamK 切 K 引入归约串行尾，收益判据——切 K 后芯片级总时延须小于不切 K（降核 ASW）。</li>
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</ol>
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<p> <b>降核 ASW 的芯片级→核级映射</b>：P < C/2 时 B×M×N 填不满 C 核，以 L0C 满载粒度切为 P 个输出 tile（每 tile 尺寸 $M^t N^t = L0C/4\text{B}$），$\lceil P \rceil$ 个核各处理一个 tile。芯片级总时延 $T_{alt}$ = 单 tile 流水时延 $T_{pipe}$（所有核并行）。$T_{pipe} = \max(T_{MMAD}^t,\,T_{MTE2}^t)$，其中：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
T_{MMAD}^t = \frac{2 M^t N^t K}{Q_{16}} = \frac{2K}{Q_{16}}\cdot\frac{L0C}{4\text{B}},\qquad
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||||
T_{MTE2}^t = \frac{K(M^t+N^t)\cdot\text{dtype}}{BW_{pc}}
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||||
$$</div>
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||||
<p> <b>StreamK 的芯片级→核级映射</b>：同样 P 个 tile，每 tile 由 $grid_K$ 个核共同完成（各算 $K/grid_K$ 段）。流水时延 $T_{pipe}/grid_K$，归约时延 $T_{Reduce}^t$ 串行追加。芯片级总时延：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
T_{SK} = \frac{T_{pipe}}{grid_K} + T_{Reduce}^t
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$$</div>
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<p> <b>收益判据</b> $T_{SK} < T_{alt}$ ⟺ $T_{Reduce}^t < T_{pipe}\left(1-\dfrac{1}{grid_K}\right)$。等价于 $T_{pipe} > \dfrac{grid_K}{grid_K-1}\cdot T_{Reduce}^t$——α = grid_K/(grid_K-1) 由流水分析导出（grid_K=2 时 α=2），非经验值。</p>
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||||
<p> **$T_{Reduce}^t$ 构成**（每 tile，部分和驻留 L2、AIV 归约；$M^t N^t = L0C/4\text{B}$，符号定义见 §二）：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
T_{Reduce}^t = \underbrace{\frac{grid_K \cdot M^t N^t \cdot 4\text{B}}{W_{L2}}}_{\text{AIC 写部分和}} + \underbrace{\frac{grid_K \cdot M^t N^t \cdot 4\text{B}}{W_{L2}}}_{\text{AIV 读回}} + \underbrace{\frac{grid_K \cdot M^t N^t}{Q_{AIV}}}_{\text{AIV 求和}} + \underbrace{\frac{M^t N^t \cdot outB}{W_{L2}}}_{\text{写回}}
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||||
$$</div>
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||||
<p> <b>K 闭式阈值推导</b>——分两种瓶颈情形：</p>
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||||
<p> <b>计算 Bound</b>（$T_{pipe} = T_{MMAD}^t$），代入判据：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
\frac{2K}{Q_{16}}\cdot\frac{L0C}{4\text{B}}\cdot\frac{grid_K-1}{grid_K} > grid_K\cdot\frac{L0C}{4\text{B}}\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big) + \frac{L0C}{4\text{B}}\cdot\frac{outB}{W_{L2}}
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||||
$$</div>
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||||
<p> 两边除以 $L0C/4\text{B}$（tile 输出元素数），<b>tile 尺寸消去</b>——K 阈值不依赖 M、N 的具体值：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
K > \frac{grid_K^2}{grid_K-1}\cdot\theta_c,\qquad
|
||||
\theta_c = \frac{Q_{16}}{2}\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big)
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||||
$$</div>
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||||
<p> 代入数值（$Q_{16}$=15.2 TFLOPS，$W_{L2}$=5.2 TB/s，$Q_{AIV}$≈13.5 Tops/s）：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
\theta_c = \frac{15.2\times10^{12}}{2}\Big(\underbrace{\frac{8}{5.2\times10^{12}}}_{1.54\,\text{ps/元素}} + \underbrace{\frac{1}{13.5\times10^{12}}}_{0.07\,\text{ps/元素}}\Big) = 7.6\times10^{12} \times 1.61\times10^{-12} \approx 12
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||||
$$</div>
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||||
<p> L2 读写（1.54 ps/元素）是主导项，AIV 求和（0.07）仅占 5%。grid_K=2→K>49；4→K>66；8→K>112。</p>
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||||
<p> <b>访存 Bound</b>（$T_{pipe} = T_{MTE2}^t$），同理（$M^t N^t/(M^t+N^t)$ 不消去，但阈值远低于计算 Bound）：</p>
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||||
<div class="math"> $$
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||||
K > \frac{grid_K^2}{grid_K-1}\cdot\frac{M^t N^t}{M^t+N^t}\cdot\theta_m,\qquad
|
||||
\theta_m = \frac{BW_{pc}}{\text{dtype}}\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big) \approx 0.04
|
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$$</div>
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||||
<p> <b>访存 Bound 阈值远低于计算 Bound</b>——两情形阈值比值：</p>
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<div class="math"> $$
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||||
\frac{\theta_m \cdot M^t N^t/(M^t+N^t)}{\theta_c} = \frac{2\cdot BW_{pc}}{Q_{16}\cdot\text{dtype}}\cdot\frac{M^t N^t}{M^t+N^t} = \frac{M^t N^t/(M^t+N^t)}{152}
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||||
$$</div>
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||||
<p> StreamK case 的 tile 尺寸 $M^t N^t/(M^t+N^t)$ ~ O(100) → 比值 ≪ 1。直觉：访存 Bound 时 $T_{pipe} = T_{MTE2}^t > T_{MMAD}^t$，瓶颈时延更大，归约预算更充裕。<b>汇总条件取计算 Bound 阈值</b>（保守，同时覆盖两种情形）。</p>
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||||
<p> 注意 θ_c 对 workspace 落点敏感：部分和落 GM 时读写带宽从 5.2TB/s 降到 ~0.64TB/s，θ_c 升至约 97。设计时应优先保证 workspace 驻留 L2。</p>
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<ol class="tight">
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<li><b>工程约束</b>：归约顺序不定引入浮点非确定性，确定性等级 2/3 的业务禁用。</li>
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</ol>
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||||
<p><b>源码对照</b>：<code>batch_matmul_v3_basic_streamk_tiling.cpp</code> 中 K 的固定门槛为 <code>CeilAlign(K,256) ≥ max(8192, aicNum×256B/dtype)</code>。</p>
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||||
<ul class="tight">
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||||
<li><code>aicNum×256B/dtype</code> = 32×128 = 4096（BF16）= <b>dValue 下限（256B）在最大 grid_K=C 下的保障</b>——对应条件 2；</li>
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||||
<li><code>8192</code> = 32×256 = C×512B（BF16）= <b>dValue 推荐值（512B）在最大 grid_K=C 下的保障</b>——同为条件 2，取推荐值而非下限。</li>
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||||
</ul>
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||||
<p>max 取更严格的 8192。修正后的归约阈值（θ_c≈12，grid_K=32 时 K>396）远低于 8192，说明 <b>8192 的绑定约束是 dValue（条件 2），不是归约代价（条件 3）</b>。源码不动态计算 grid_K，用固定阈值同时覆盖条件 2 的最保守情形和条件 3，是两条条件的保守合并近似。</p>
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||||
<h3>实现方案</h3>
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||||
<p><b>核间组织</b>：先按 B/M/N 切出输出块，剩余核预算折成 K 向份数：</p>
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<div class="math">$$
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blocksPerBatch = \Big\lfloor \frac{C}{B} \Big\rfloor,\qquad
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||||
grid_K = \frac{blocksPerBatch}{mCnt \cdot nCnt}
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||||
$$</div>
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<p>mCnt、nCnt 收拢为 blocksPerBatch 的因子（避免碎核尾块）；由条件 1 知 $mCnt \cdot nCnt \le blocksPerBatch/2$，故 $grid_K \ge 2$。归约组内核 c 负责 K 段 $[cK/grid_K,\; (c{+}1)K/grid_K)$。</p>
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||||
<p><b>核内流水</b>：对自己的 K 段做标准分块流水（MTE2→L1→L0→mmad），段内多轮在 L0C 原地累加；段完部分和经 Fixpipe 写出。</p>
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||||
<p><b>归约</b>：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>workspace + AIV 归约（确定性）</b>：部分和写 workspace（每核 256×256×4B，另加 20MB 核间通信区），<b>workspace 优先驻留 L2</b>——归约读写走 5.2TB/s 的 L2 口而非 GM；AIV 从 L2 读回各段部分和、在 UB 内求和后写回（数据流 GM/L2→UB→AIV→UB→L2/GM，AIC:AIV=1:2）；</li>
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||||
<li><b>AtomicAdd（非确定性）</b>：部分和直接原子累加到输出 GM，省一遍读回；确定性等级 >1 禁用。</li>
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</ul>
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<p><b>参数搜索</b>：$grid_K$ 从 2 起按 2 的幂递增，取同时满足条件 2/3 的最小值；都不满足则退为降核 ASW_Basic。</p>
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<hr>
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<h2>八、ASW_Basic 分支</h2>
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<h3>进入分支条件（汇总）</h3>
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<ol class="tight">
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<li>$P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} \ge C$</li>
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<li>无 batch 结构限制（BatchA=BatchB、交叉广播均可）；典型进入路径：$B < C$（切 B 买不满核），或 $B \ge C$ 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时的兜底</li>
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<li><b>降核模式</b>：$P < C$ 且不满足 StreamK 进入条件 → 只用 $\lceil P \rceil$ 个核，其余核闲置</li>
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</ol>
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<h3>逐条解释</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>并行度补齐</b>：以 L0C 满载为基本块粒度，B×M×N 能切出至少 C 个独立输出块，则切 M/N（或混合切）并行度够用。切 M/N 的固有代价是共享矩阵被多核重复读，但共享部分驻留 128MB L2 时重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM，代价大部分被吸收。</li>
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<li><b>兜底性质</b>：ASW_Basic 是实践中最常命中的分支——B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。</li>
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<li><b>降核模式</b>：P < C 且 K 也不够格走 StreamK 时，并行度凑不满核。此时与其强行把 M/N 切得更碎（tile 跌破 min_TileSize、dValue 跌破 128B，搬移效率崩塌，反而更慢），不如<b>只用 ⌈P⌉ 个核</b>、每核承担一个完整输出块（L0C 满载粒度），其余核闲置。这类 case 的时延绝对值小，继续切分引入的调度与搬移效率损失大于并行收益——降核是理性选择而非偷懒。</li>
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</ol>
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<h3>实现方案</h3>
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<p><b>1、核间切分维度选择（按共享代价从低到高）</b>：切 B（零共享，先试）→ 切 M（右矩阵 $KN\cdot\text{dtype} \le L2$ 则驻留 L2）→ 切 N（对称）→ 混合切（靠 swizzle + L2 切分管理）→ 降核（见第 6 条）。</p>
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<p><b>2、swizzle：ASW 滑窗蛇形</b></p>
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<p><b>问题</b>：核间切 M/N 后，同一时刻 C 个核各算一个输出块，它们所需的 A 行块与 B 列块集合就是当前"活跃工作集"。若按行优先顺序朴素分配，一波 C 个块横跨的 A 行、B 列很宽，活跃工作集超过 L2 就回 GM 读（1.6TB/s），重复读代价真实发生。<b>swizzle 要做的就是编排输出块的执行顺序，把每一波核的活跃工作集压到最小。</b></p>
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<p><b>做法</b>：把 M 向每 W 个基本块划为一个"窗口"，遍历顺序为"窗口内先扫 M、扫满 W 行再进下一列 N；一个窗口扫完再进下一个窗口"，且奇数窗口行 N 向反向（蛇形）。效果有二：</p>
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<ul class="tight">
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<li>同一波 C 个核的块集中在同一个窗口内 ⇒ 活跃 A 行块只有 W 个、活跃 B 列块只有 C/W 条带；</li>
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<li>蛇形反向使相邻窗口行首尾相接——上一窗口末尾的 B 列带与下一窗口开头的 B 列带是同一条，跨窗口切换时工作集增量最小。</li>
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</ul>
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<p><b>W 怎么取</b>：一波 C 个块的 L2 足迹约为</p>
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<div class="math">$$
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footprint \approx \big(W \cdot M^t K + \tfrac{C}{W} \cdot K N^t\big) \cdot \text{dtype}
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$$</div>
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<p>由均值不等式，$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处取最小——窗口越接近"方形"（W 行 × C/W 列），足迹越小。同时 W 须整除 C，保证每个窗口恰好被整数波核覆盖、窗口边界不把波次切碎。合起来即：</p>
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<div class="math">$$
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W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\,\}
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$$</div>
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<p>C=32 时 $\sqrt{32} \approx 5.66$，因子 {1,2,4,8,…} 中不超过它的最大者是 4，故 W=4。</p>
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<p><b>实例</b>（C=32，W=4，M̃=8，Ñ=8；数字为块的全局执行顺序，一波 32 块）：</p>
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<pre><code>窗口0（N 正向） 窗口1（N 蛇形反向）
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ν0 ν1 ν2 … ν7 ν0 ν1 … ν7
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μ0 0 4 8 … 28 μ4 60 56 … 32
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μ1 1 5 9 … 29 μ5 61 57 … 33
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μ2 2 6 10 … 30 μ6 62 58 … 34
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μ3 3 7 11 … 31 μ7 63 59 … 35</code></pre>
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<p>块 31 = (μ3, ν7)，块 32 = (μ4, ν7)——相邻两个块共用同一条 B 列带（ν7），窗口切换几乎零增量。对比朴素行优先（Ñ=16 时）：一波横跨 2 个 A 行块 + 16 条 B 列带，足迹 (2·M^t + 16·N^t)·K·dtype；滑窗为 (4·M^t + 8·N^t)·K·dtype——M^t≈N^t 时足迹缩小 1/3。</p>
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<p><b>窗内为什么不蛇形</b>（对上例中"块 3=(μ3,ν0) → 块 4=(μ0,ν1) 而非 (μ3,ν1)"的说明）：蛇形的收益来自"相邻遍历段共享边界数据"，要分两种边界看：</p>
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<ul class="tight">
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<li><b>窗内列间边界</b>（ν0→ν1）：相邻两段共享的是同一组 A 行块（W 个），它们在整个窗口期间<b>全程驻留 L2</b>，无论按什么顺序扫，工作集不变——窗内蛇形零收益；</li>
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<li><b>窗口行边界</b>（窗口0→窗口1）：A 行整体换血（μ0..3 → μ4..7），此时 B 列带的连续性决定换血成本——不蛇形则下一窗口从 ν0 开始（LRU 上最久未用、早已被挤出 L2 的冷带），蛇形则延续上一窗口末尾的 ν7（最热线带）。<b>蛇形只标在窗口行号上</b>（源码 <code>BatchMatMulAswBlock::UpdateBasicIndex</code>：仅 <code>rowIdx</code> 为奇时 n 反向，窗内 m 最快序不反向），正是这个收益结构的直接实现。</li>
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</ul>
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<p><b>3、L2 切分（工作集超 L2 时）</b></p>
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<p><b>切的是什么</b>：L2 切分切的是<b>输出平面</b>——把 M×N 平面切成 mL2TileNum × nL2TileNum 个大矩形块（每块 = 若干基本块的集合），使"该块所需的 A 行带 + B 列带"输入工作集 ≤ L2 可用读入空间；块内所有输出基本块算完再进下一块，输入只在跨块时换一次。</p>
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<p><b>为什么需要它</b>：滑窗压缩的只是"同一波"的足迹；若整个工作集超 128MB L2，跨波次复用落空——上一波窗口的 A 行早被挤出，下一波又得回 GM 读。且 L2 是<b>读写共用</b>的：输出经 fixpipe 写出时若驻留 L2（dirty），会压缩读入可用空间；若直写 GM，则占用与读共享的 1.6TB/s 总线。所以 L2 切分必须与写出策略联合决策。记输入总量 $S_{in} = B(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，输出总量 $S_{out} = B \cdot MN \cdot outB$。</p>
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<p><b>两个不变量</b>（一切分析的起点）：</p>
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<ul class="tight">
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<li>GM 流量下界 $= S_{in} + S_{out}$：输入至少读一遍、输出最终至少要写一遍到 GM，与 L2 策略无关；</li>
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<li>L2 读入可用空间：$L2_{read} = L2 - S_{out}^{resident}$（$S_{out}^{resident}$ 为驻留 L2 的输出量）——写出驻留 L2 会压缩读入空间，这是写出策略影响读入复用的通道。</li>
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</ul>
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<p><b>重复读倍率</b>：$r_{in}$ = GM 输入流量 / $S_{in}$。$r_{in} = 1$ 表示每个输入数据从 GM 只读一遍（后续复用全在 L2 命中）——这是 GM 输入流量的下界，L2 管理的全部目标就是让 $r_{in}$ 尽量接近 1。</p>
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<p><b>先判定写出会不会 Bound</b>。平均写出带宽需求：</p>
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<div class="math">$$
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BW_{out} = \frac{S_{out}}{T_{MMAD}} = \frac{B \cdot MN \cdot outB}{2BMNK\,/\,(C \cdot Q_{16})} = \frac{C \cdot Q_{16} \cdot outB}{2K}
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$$</div>
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<p>只与 K、outB 有关（K 越小，单位时间输出越密）。例（BF16 输出，C·Q₁₆=432 TFLOPS）：K=512 → 844 GB/s；K=256 → 1.69 TB/s，已超 GM 总线——此时<b>任何策略都写出 Bound</b>，L2 缓冲只能削峰（fixpipe 以 5.2TB/s 写 L2 吸收突发），平均速率仍受总线限制，应预期 Fixpipe 成为 $T_{total}$ 的 max 项。</p>
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<p><b>分场景决策</b>：</p>
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<p>**场景 A：$S_{in} + S_{out} \le L2$（全驻留）**。输入读一遍（$r_{in}=1$），输出驻留 L2（dirty）异步回写 GM——写出走 5.2TB/s L2 写口，不与读争，也削平了 GM 写突发。无需切分。</p>
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<p>**场景 B：$S_{in} \le L2$ 但 $S_{in} + S_{out} > L2$（输入能驻留，加上输出超了）<b>。策略：</b>输入驻留、输出直写 GM**。理由链：</p>
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<ol class="tight">
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<li>$S_{in} \le L2$ ⇒ 全部输入可驻留 L2，跨波次复用全部命中 ⇒ $r_{in} = 1$（GM 输入流量达到下界 $S_{in}$）；</li>
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<li>输出在本算子内只写不读、零复用收益；若输出也驻留 L2（dirty），超出 L2 的部分会把输入挤出——被挤出的输入后续得回 GM 重读 ⇒ $r_{in} > 1$，GM 流量超出下界；</li>
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<li>故让输出直写 GM（fixpipe L0C→GM，不占 L2），把 128MB 全部留给输入，保住 $r_{in} = 1$——GM 总流量保持下界 $S_{in} + S_{out}$；</li>
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<li>代价是输出即刻占用 GM 写带宽（与读共享总线），须校验总线不爆：$(S_{in} + S_{out})/T_{MMAD} \le W_{GM}$。</li>
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</ol>
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<p>例：B=8、M=N=4096、K=512、BF16——$S_{in}$≈67MB ≤ L2，$S_{out}$≈268MB 直写 GM；T_MMAD≈318µs，总流量速率 (67+268)MB/318µs ≈ 1.05TB/s < 1.6TB/s ✓。</p>
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<p>**场景 C：$S_{in} > L2$（输入本身超）**。必须 L2 切分。输出直写 GM 以最大化 $L2_{read}$，切分数满足</p>
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<div class="math">$$
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mL2TileNum \times nL2TileNum \;\ge\; \frac{S_{in}}{L2_{read}}
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$$</div>
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<p>每块输入工作集 ≤ $L2_{read}$，逐块计算——块内滑窗复用充分，块间只发生一次性换入。块内分配用<b>错位分核</b>（对角线分配）：线性块号先取 m，n 方向叠加随块号递增的相位偏移，使同一时刻各核落在 M×N 平面的不同对角线上——避免多核同一拍并发读同一行 A / 同一列 B 的同一地址（同地址并发读会串行化，等效带宽打折）。例（8 核、4×4=16 个基本块，k0~k7 为核号）：</p>
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<pre><code>行优先（不错位）： 错位分核（对角线）：
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n0 n1 n2 n3 n0 n1 n2 n3
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m0 k0 k1 k2 k3 m0 k0 k4 . .
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m1 k4 k5 k6 k7 m1 . k1 k5 .
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m2 . . . . m2 . . k2 k6
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m3 . . . . m3 k7 . . k3
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同一波：A 行带 m0 被 k0~k3 同读 同一波：每行带、每列带
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（4 路同地址冲突） 最多 2 核同读（冲突 4→2）</code></pre>
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<p>冲突度量与优选规则：</p>
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<div class="math">$$
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transConflict = \max\big(\lceil C / mCnt \rceil,\; \lceil C / nCnt \rceil\big) \le 6
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$$</div>
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<p>即同一时刻并发核访问同一 A/B 块的最大冲突数不超过阈值（经验值 6）；切分方案中优先选尾波不满载占比小（拖尾 < 一半）的。遍历大方向由 calOrder 决定（0=M 优先、1=N 优先），按形状选共享矩阵更能驻留 L2 的方向。例：B=64、M=N=2048、K=1024、BF16——$S_{in}$≈537MB > L2，输出直写（$L2_{read}$=128MB），切 3×2=6 块（每块输入约 89MB ≤ 128MB）；总流量约 1.07GB，T_MMAD≈1.27ms，速率 844GB/s < 1.6TB/s ✓。</p>
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<p>补充：若输出会被后续算子立即消费（融合场景），输出驻留 L2 让下游读命中，场景 B/C 的策略反过来；本文按单算子边界分析。</p>
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<p><b>4、核内 tiling</b>：$M^t N^t \cdot 4\text{B} \cdot DB \le L0C$；$M^t K^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0A$、$K^t N^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0B$；内轴按 dValue 256B/512B 对齐；L1 按容量开双缓冲，余量充足开 4 buffer。</p>
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<p><b>5、内部特化（参数极限，不是独立分支）</b>：单边无 batch 且该侧矩阵小（$M \le 256$、$MK\cdot\text{dtype}\cdot 2 \le L1$、对侧每核循环 ≥4 轮）时小侧整个常驻 L1、只搬一次（L1 全载）。</p>
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<p><b>6、降核模式实现</b>：tiling 时 <code>usedCoreNum = ⌈P⌉</code>（不强制 C），基本块在 L0C 容量内取最大（$M^t N^t \cdot 4\text{B} \le L0C$），每核按标准核内流水（L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe）处理自己的输出块；核间无共享无依赖，无需 swizzle 与 L2 切分。降核后 GM 并发搬移核数若 < minCoreNum，带宽利用率上限被压低——这正是降核区 case 时延的瓶颈所在，也是"时延绝对值小、不再继续优化"的定量注脚。</p>
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<h2>九、特殊分支</h2>
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<ul class="tight">
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<li><b>K=0</b>：无任何计算，C = bias 或 0，纯 AIV 写值；</li>
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<li><b>K=1</b>：退化为逐元素乘 <code>C = A ⊙ B</code>，无累加深度，Cube 的 16×16×16 粒度浪费 15/16，走 AIV 向量通路（GM→UB→Mul→GM）优于 Cube 通路。触发需 $B \ge 2 \times 64$（AIV 核数×2，开 UB 乒乓）且单 batch 输入输出能驻留 UB。</li>
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</ul>
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<h2>十、case 遍历：各分支的覆盖区域</h2>
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<h3>方法论说明</h3>
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<p><b>采样方式</b>：B ∈ [1, 2048] 全量遍历（2048 个值），M/N/K ∈ [1, 10240] 对数网格采样 60 点/维（值按指数增长：1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 35, ...）。总 case 数 3.2 亿，耗时约 4 分钟。</p>
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<p><b>为什么不做全量遍历</b>：全量 = 2048 × 10240³ ≈ 2.2×10¹⁵ 个 case。Python 分类器约需 1400 万小时，C 实现约需 6 万小时——完全不可行。对数采样在小值区密集、大值区稀疏，恰好覆盖了分支边界集中的区域。</p>
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<p><b>分布依赖测度</b>：对数均匀采样和线性均匀采样给出的分支占比<b>不同</b>。对数采样在小值区密集，特殊分支（K=0/1）、降核 ASW（P 小）、StreamK（K 大但 M/N 小）的占比被放大；线性采样被大 shape 主导（M/N/K > 512 占 [1,10240] 的 95%+），ASW_Basic 占比显著升高。<b>本文遍历的目的是验证覆盖性（无空洞），不是统计真实工作负载的分布。</b></p>
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<h3>分支覆盖统计（对数采样，B 全量 2048，M/N/K 60 点/维，共 3.2 亿 case）</h3>
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<table><tr><th>分支</th><th>case 数</th><th>占比</th><th>B 范围</th><th>区域特征</th></tr>
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<tr><td>ASW_Basic</td><td>1.75 亿</td><td>54.1%</td><td>2 ~ 2048</td><td>通用：B<C 且 P≥C；或 B≥C 但 L1 四形态不满足（M/N 大）</td></tr>
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<tr><td>MergeBatch</td><td>6303 万</td><td>19.5%</td><td>97 ~ 2048</td><td>$b_{core}\ge 4$ 且 $MN \le 8192$ 等五条全过</td></tr>
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<tr><td>降核 ASW_Basic</td><td>4051 万</td><td>12.6%</td><td>2 ~ 2048</td><td>P<C 且 K 不满足 StreamK 阈值 → 只用 ⌈P⌉ 核</td></tr>
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<tr><td>IterBatch</td><td>3804 万</td><td>11.8%</td><td>32 ~ 2048</td><td>B≥C、负载均衡、L1 四形态之一满足</td></tr>
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<tr><td>特殊分支</td><td>597 万</td><td>1.9%</td><td>任意</td><td>K=0 / K=1</td></tr>
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<tr><td>StreamK</td><td>25 万</td><td>0.08%</td><td>2 ~ 128</td><td>P<C/2 且 K≥8192</td></tr>
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<tr><td>转Matmul</td><td>15 万</td><td>0.05%</td><td>B=1</td><td>单边 batch=1</td></tr></table>
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<p><b>对照：线性等距采样</b>（M/N/K 步长 256，B 全量，共 1.3 亿 case）下 ASW_Basic 占比升至 92.1%，MergeBatch 降至 3.6%——因为线性采样被大 shape 主导。两种测度的结论一致：<b>无空分支、无覆盖空洞</b>，只是占比不同。</p>
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<h3>IterBatch 四形态命中分布（对数采样）</h3>
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<table><tr><th>形态</th><th>命中数</th><th>占比</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>b) 双 batch 乒乓</td><td>2684 万</td><td>70.5%</td><td>最多：B 大且单 batch 较小</td></tr>
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<tr><td>d) 两侧切 K</td><td>741 万</td><td>19.5%</td><td>次之：K 可切段的通用兜底</td></tr>
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<tr><td>c) 一侧驻留+对侧切 K</td><td>370 万</td><td>9.7%</td><td>单侧可驻留（含 b_core≥2 的半预算预取档）</td></tr>
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<tr><td>a) 单 batch 全驻留</td><td>9 万</td><td>0.2%</td><td>B=C 附近的窄区</td></tr></table>
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<h3>典型边界 case</h3>
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<table><tr><th>B</th><th>M</th><th>N</th><th>K</th><th>分支</th><th>说明</th></tr>
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<tr><td>1</td><td>2048</td><td>2048</td><td>2048</td><td>转Matmul</td><td>单 batch 纯 Matmul</td></tr>
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<tr><td>128</td><td>64</td><td>64</td><td>512</td><td><b>MergeBatch</b></td><td>五条全过：$b_{core}$=4，MN=4096≤8192，单核搬移 512KB≥480KB，AI=64<304</td></tr>
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<tr><td>128</td><td>64</td><td>64</td><td>256</td><td>IterBatch</td><td>与上行仅 K 不同：单核搬移 256KB < 480KB，条件 3 不满足 → 落 IterBatch（形态 b）</td></tr>
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<tr><td>512</td><td>128</td><td>128</td><td>128</td><td>IterBatch</td><td>MN=16384 > 8192，MergeBatch 条件 2 不满足 → 落 IterBatch</td></tr>
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<tr><td>32</td><td>4096</td><td>4096</td><td>4096</td><td>ASW_Basic</td><td>L1 四形态均不满足（M/N 太大），切 M/N</td></tr>
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<tr><td>2</td><td>8192</td><td>8192</td><td>1024</td><td>ASW_Basic</td><td>B<C，P=2048 ≥ 32</td></tr>
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<tr><td>16</td><td>256</td><td>256</td><td>128</td><td>降核 ASW</td><td>P=4 < 32 且 K=128 不满足 StreamK → 用 4 核，其余闲置</td></tr>
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<tr><td>4</td><td>128</td><td>128</td><td>10240</td><td>StreamK</td><td>P=0.25 < 32，K≥8192</td></tr>
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<tr><td>2048</td><td>1024</td><td>1024</td><td>512</td><td>IterBatch</td><td>大 batch，形态 b</td></tr>
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<tr><td>8</td><td>512</td><td>512</td><td>512</td><td>ASW_Basic</td><td>B<C，P=32 恰好满核</td></tr>
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<tr><td>64</td><td>64</td><td>64</td><td>8192</td><td>IterBatch</td><td>小 M×N 但 K 大，形态 d</td></tr></table>
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<h3>遍历结论</h3>
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<ol class="tight">
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<li><b>七个分支全部有真实 case 命中</b>，无空分支；覆盖矩阵无空洞（P<C 且 K 小的残余由降核 ASW_Basic 兜底——此时时延绝对值小，调度开销主导，分支选择不敏感）；</li>
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<li>**MergeBatch 的区域由条件 2（$MN \le 8192$）与条件 3（min_DatamountPerCore）夹出**：小 M×N 且单核搬移量足够的大 batch case，两个条件缺一不可。典型分界对照：B=128/M=N=64 时 K=256 → 单核搬移 256KB 不达标落 IterBatch，K=512 → 512KB 达标进 MergeBatch；</li>
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<li><b>IterBatch 与 ASW_Basic 的分界就是 L1 四形态是否满足</b>：单 batch 输入 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$ 相对 L1 的比例决定归属——这正是"核内零重复读"原则的定量体现；</li>
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<li><b>StreamK 的区域为 P<C/2 且 K≥8192</b>：B 小、M/N 小、K 大的"细长" case；C/2 ≤ P < C 且 K 大的 case 由降核 ASW_Basic 承接（切 2 路 K 会超核数，不切又不满核，不如直接用 ⌈P⌉ 核）；</li>
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<li><b>降核 ASW_Basic 是 P<C 且 K 小区域的理性归宿</b>（占 12.6%）：并行度凑不满、切 K 又不划算时，只用 ⌈P⌉ 个核、每核一个 L0C 满载输出块，比强行碎切（tile 跌破搬移效率下限）更快。</li>
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</ol>
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</div>
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</body>
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</html>
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