v0.9: StreamK条件3改闭式K阈值+完整推导（含访存Bound分析），MergeBatch补b_core=2分析
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539
BMM算子优化分析_Release/BMM算子优化分析_v0.9.md
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@@ -0,0 +1,539 @@
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# BMM 算子优化分析（v0.9）
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> 目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。所有分支进入条件只含 case 形状参数（B、M、N、K、dtype）与芯片规格参数。
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## 一、算子功能与接口说明
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完成带 batch 的矩阵乘：`C = A @ B + bias`。
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* 左矩阵 A：`[BatchA, M, K]`，dtype，典型 ND，可带转置
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* 右矩阵 B：`[BatchB, K, N]`，dtype，典型 ND，可带转置
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* 偏置 bias：`[B, 1, N]`，固定 ND，可为空
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* 输出 C：`[BatchC, M, N]`，BatchC = broadcast(BatchA, BatchB)
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## 二、符号与芯片参数约定
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| 符号 | 含义 | 950PR 取值 |
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| C | AIC 核数（aicNum） | 32 |
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| Q₁₆ | 单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/C ≈ 15.2 TFLOPS |
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| Q_AIV | AIV 向量求和吞吐（64 核合计） | 64×128 fp32/拍×1.65GHz ≈ 13.5 Tops/s |
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| L1 | 每核 L1 Buffer | 512KB |
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| L0A / L0B | 每核 L0A / L0B | 64KB / 64KB |
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| L0C | 每核 L0C（FP32 累加，4B/元素） | 256KB |
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| L2 | L2 Cache 容量 | 128MB |
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| W_L2 | L2 读写带宽 | 5.2TB/s |
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| W_GM | GM 带宽（读写共享） | 1.6TB/s |
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| R₁₆ | 16bit 对应位宽算存比 | ≈607.5 FLOP/元素 |
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| dValue | 单数据块内数据连续排布长度 | 推荐 256B/512B，不建议 <128B |
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| min_TileSize | 确保高带宽利用率的单块搬移数据量最小值 | 16KB |
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| min_DatamountPerCore | 确保高带宽利用率的单核搬移数据量最小值 | 480KB |
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| minCoreNum | 确保高带宽利用率的并行搬移核数最小值 | ≈0.8C = 26 |
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以上数值基于 950PR 实测分析总结；对搬移带宽利用率的影响重要性排序为：**核数 > 单核搬移总数据量 > 单分块大小 > dValue**。不同 NPU 芯片数值可能略有差异，换芯片时逻辑结构不变、只换常数表。
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## 三、最优实现分析
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### 3.1 性能模型
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BMM 的执行是核内多级硬件流水的并行——Cube 计算（MMAD）、GM/L2→L1（MTE2）、L1→L0（MTE1）、L0C 写出（Fixpipe），各流水级时延可被双缓冲相互掩盖：
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T_{total} = \max\big(T_{MMAD},\; T_{MTE2},\; T_{MTE1},\; T_{Fixpipe}\;[,\;T_{Reduce}]\big)
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**总时延 = 最慢一级流水**，优化的关键是对瓶颈级的优化。由此得到设计自由度——**瓶颈交换**：搬移是瓶颈时可牺牲算力（冗余计算）换搬移效率；计算是瓶颈时可牺牲搬移（重复读取）换计算效率。MergeBatch 是前者的典型，ASW_Basic 切 M/N 是后者的典型。
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case 固有算存比与 16bit 位宽平衡点：
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AI = \frac{2MN}{M+N},\qquad AI_{full} = \frac{2MNK}{MK+KN+MN}
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R_{16} = \frac{\text{Cube 峰值算力}}{\text{GM 带宽} / \text{元素字节数}} = \frac{486\ \text{TFLOPS}}{1.6\ \text{TB/s} \,/\, 2\ \text{B}} \approx 607.5\ \text{FLOP/元素}
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其中 486 TFLOPS 是乘加各计一次后的标称算力；分母中的 2B 是 16bit 元素字节数，作用是把 GM 带宽折算成元素速率。
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$AI < R_{16}$ → 访存 Bound（瓶颈在 MTE2）；反之计算 Bound（瓶颈在 MMAD）。
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### 3.2 实现本质逻辑
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BMM 的实现本质是：把数据分块（tile），由全部 AIC 核并行 + 串行完成这些分块的计算，再组合成最终结果：
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C[B,M,N] = \Big\{\,C[B_u, M_i, N_j] = \sum_k A[B_u, M_i, K_k] \cdot B[B_u, K_k, N_j]\,\Big\}
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分块有 4 个维度：B、M、N、K。**核间怎么分这 4 个维度，就是分支划分的第一性问题**（核内分块是第二性问题，属于各分支内部 tiling）。
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四个维度的核间切分特征（后续一切推导的基石）：
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| 切分维度 | 读入特征 | 计算特征 | 写出特征 |
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| 切 B | 核间零重复读（每个数据块只被 1 个核读取）；**核内是否重复读另有条件**——若 L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维可切段放入，kL1<K），单 batch 计算中切 M 会重复读 B、切 N 会重复读 A | 每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖 | 只写最终结果，无中间结果 |
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| 切 M / 切 N | 切 M 则同一右矩阵块被多核**重复读**；切 N 则同一左矩阵块被多核重复读 | 每个输出块由 1 个核独立完成，无核间依赖 | 只写最终结果，无中间结果 |
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| 切 K | 每个数据块只被固定的 1 个核读取，零重复读 | 每个输出块由**多核共同**完成，存在核间依赖 | **有中间结果写出，需核间 Reduce 归约** |
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差异的根本原因：B 维在数学上独立（逐 batch 独立矩阵乘），切 B 核间天然零重复、零依赖；K 维有 L0C 累加机制——核内切 K 时多轮 mmad 在 L0C 原地累加、中间结果不出核，一旦切到核间，部分和必须写出 workspace 再归约——**切 K 是唯一同时破坏"累加不出核"和"输出独占"的切法**。
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4 维的任意非空子集共 $2^4-1=15$ 种切分组合，任何实现方案必属其一（完备）：
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| 组 | 组合 | 共同特征 | 优化重心 |
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| 纯 B | {B} | 核间零重复读（核内重复读取决于 L1 驻留形态）；无中间写出 | 搬移效率 / 计算效率 |
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| 含 M/N 不含 K | {M},{N},{M,N},{B,M},{B,N},{B,M,N} | 核间可能有重复读 | 重复读尽量少（L2+swizzle 吸收）+ 搬移/计算效率 |
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| 含 K | 其余 8 种 | 有中间结果写出 + 归约 | 计算效率，且归约时延不能成为新瓶颈 |
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核间切分价格严格排序：cost(切 B) = 0 < cost(切 M/N) ≪ cost(切 K)。切 B 核间免费；切 M/N 的重复读可被 128MB L2（5.2TB/s vs GM 1.6TB/s）+ swizzle 大部分吸收；切 K 的归约流量 ∝ grid_K×输出量且引入核间同步，是结构性代价。**整条分支决策树就是：按价格从低到高购买并行度，买不够才加价。**
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### 3.3 分支推导
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1. **问题规约**：BatchA=1 或 BatchB=1 → 折叠转普通 Matmul（转Matmul）；K=0 / K=1 → Cube 无用，走 AIV 向量通路（特殊分支，与切分正交的前置判断）；
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2. **先买免费的 B**：B ≥ C 时切 B 可满核。单 batch M×N 够大 → 逐 batch 算（IterBatch）；M×N 太小 → 多 batch 合并成大 tile 算，冗余算力换搬移效率（MergeBatch）；
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3. **B 买不满，加价买 M/N**：切 M/N 或混合切，重复读交给 L2 + swizzle（ASW_Basic）；
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4. **B/M/N 都买不满，才买昂贵的 K**：核间切 K + 归约（StreamK）。
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由此得 6 大分支：**转Matmul、特殊分支、IterBatch、MergeBatch、ASW_Basic、StreamK**。重叠区（如 B≥C 且 M×N 中等时 MergeBatch 与 IterBatch 都合法）由端到端时延模型 $T_{total}$ 仲裁；分支体系保证候选集完备无冗余。
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## 四、可转 Matmul 分支
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### 进入分支条件
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BatchA = 1 \;\lor\; BatchB = 1
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解释：单边 batch=1 的 BMM 与 Matmul 只差一个维度标签，直接复用 Matmul 的成熟优化体系。
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### 实现方案
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* **BatchB=1**：左矩阵 `[B,M,K]` 的 batch 维与 M 维在 ND 下内存相邻紧排，直接视图为 `[B·M,K]`，输出布局逐元素一致——零重排、零 split，免费转换；
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* **BatchA=1**：右矩阵折叠为 `[K, B·N]` 需一次真实转置重排（O(B·K·N)），且输出存在置换需 scatter——有代价。A 较小（$MK\cdot\text{dtype} \le L1$）时优先 A 常驻 L1、留在 BMM 分支内（广播友好形态）；A 较大时按广播扩展后分别预估"BMM 分支"与"重排+转Matmul"的时延，择优。
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## 五、MergeBatch 分支
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核间切 B（每核 $b_{core}$ 个 batch，核间无同步）；核内把 b 个 batch 合并计算：$[b,M,K]@[b,K,N] \Rightarrow [bM,K]@[K,bN]=[bM,bN]$，BlockTrace 取块对角线得 $[b,M,N]$。交叉项被算出但丢弃（浪费比例 (b−1)/b）——进入该分支的 case 必然访存 Bound（条件 5 保证），浪费的算力被搬移时延掩盖。
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### 进入分支条件（汇总）
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同时满足（b0 = 单次合并计算的 batch 数下限，b0 ≥ 2）：
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1. $BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = B/C \ge 2b_0$
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2. $2 \cdot (b_0 M)(b_0 N) \cdot 4\text{B} \le L0C$
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3. $b_{core} \cdot (MK + KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_DatamountPerCore$
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4. $\max(MK,\; KN) \cdot \text{dtype} \ge min\_TileSize$
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5. $\dfrac{2MN}{M+N} < \dfrac{R_{16}}{b_0}$
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### 逐条解释
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1. **batch 关系与每核份额**：无广播才能逐 batch 对应合并；每核至少分到 $2b_0$ 个 batch——$b_0$ 是合并搬移有收益的最小合并数（取 2），2 组起步才能构成合并组间乒乓流水（即 $b_{core} \ge 4$）。
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**为何不允许 $b_{core}=2$**（合并后每核仅 1 个合并 batch）：此时与 IterBatch（$b_{core}=2$，形态 b/d）对比——MergeBatch 合并后 $k_{L1}$ 减半（$L1/((2M{+}2N)\cdot\text{dtype})$ vs $L1/((M{+}N)\cdot\text{dtype})$），K 分块数翻倍；IterBatch 有 2 个 batch，每批 K 分块数不变。两者总 K 分块数相同、每块搬移量相同（均填满 L1），**总搬移时延相同**。访存 Bound 下（条件 5 保证），MergeBatch 的 2× 冗余计算被搬移掩盖，总时延 ≈ IterBatch。但 MergeBatch 引入了 50% 冗余算力——一旦 tile 内 K 段过短导致计算暴露，性能退化。$b_{core} \ge 2b_0$ 确保合并后仍有 ≥2 个合并 batch 做 batch 级乒乓，且 $b_{core}$ 越大 MergeBatch 相对 IterBatch 的 dValue 优势越明显。
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2. **L0C 容量**：合并 $b_0$ 个 batch 的输出块 $[b_0M, b_0N]$（FP32 累加、双缓冲两份）必须放得下 L0C；连最小合并都放不下，合并无从谈起。
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3. **单核搬移总量**：单核搬移数据总量低于 min_DatamountPerCore 时，GM 带宽利用率上不去（重要性第 2 位的经验约束）。
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4. **搬移 tile 大小**：单 batch 单矩阵的最大连续搬移块须达到 min_TileSize；合并是在此之上进一步放大，不是替代。
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5. **访存 Bound**：合并把单次计算的算存比放大 $b_0$ 倍后仍须低于 16bit 对应位宽算存比 $R_{16}$，保证瓶颈留在搬移侧，冗余算力被掩盖而非成为新瓶颈。
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### 实现方案
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**Step 1：合并数 b（L0C + 算存比双上限）**
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b \le \sqrt{\frac{L0C}{2 \cdot MN \cdot 4\text{B}}},\qquad b < \frac{R_{16}(M+N)}{2MN}
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b = \min\big(\text{两上限},\; b_{core}\big),\quad b_{L0} = b
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b 尽量取 $b_{core}$ 的因子（每次合并数均匀，负载与功耗更优）。
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**Step 2：L0 级 K 粒度 $k_{L0}$**
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k_{L0} = \min\Big(\frac{L0A}{2\,bM\cdot\text{dtype}},\; \frac{L0B}{2\,bN\cdot\text{dtype}}\Big)\ \text{向下 16 对齐，且 } k_{L0}\cdot\text{dtype} \ge 128\text{B}
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解释：L0A/L0B 各 64KB、双缓冲两份，装入合并后 $bM$ 行（$bN$ 列）× $k_{L0}$ 的 fractal；末项是 dValue 下限。
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**Step 3：L1 级 $k_{L1}$、$b_{L1}$**
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k_{L1} \ge \min\big(k_{L0\_max},\; 256\text{B}/\text{dtype}\big),\qquad
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2\,b_{L1}(M k_{L1} + k_{L1} N)\cdot\text{dtype} \le L1,\qquad
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b_{L1} = \min(b_{L1\_max},\; b_{core}) \;\ge\; b
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解释：$k_{L1}$ 是 GM→L1 的 K 向粒度，按 dValue 推荐值 256B 取；L1 双缓冲两份，每份驻留 $b_{L1}$ 个 batch 的 A/B 各一块；$b_{L1} \ge b$ 保证合并不断供。
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## 六、IterBatch 分支
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核间切 B（每核 $b_{core} \ge 1$ 个 batch，核间无同步）；核内逐个 batch 做标准 Matmul 分块计算。无算力浪费、无跨 batch 依赖，是"切 B"最朴素的形态。
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### 进入分支条件（汇总）
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同时满足：
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1. $BatchA = BatchB \;\land\; b_{core} = \lceil B/C \rceil \ge 1$
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2. $B \bmod C = 0 \;\lor\; B \bmod C \ge minCoreNum$
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3. L1 容量约束，四选一（Step 为 >1 的整数）：
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* a) $b_{core}=1 \;\land\; (MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$
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* b) $b_{core}>1 \;\land\; 2(MK+KN)\cdot\text{dtype} \le L1$
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* c) $\big(MK + 2\cdot\tfrac{KN}{Step}\big)\cdot\text{dtype} \le \dfrac{L1}{\min(b_{core},\,2)} \;\;\lor\;\; \big(KN + 2\cdot\tfrac{MK}{Step}\big)\cdot\text{dtype} \le \dfrac{L1}{\min(b_{core},\,2)}$
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* d) $2\cdot\tfrac{K}{Step}(M+N)\cdot\text{dtype} \le L1$
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4. c/d 切分后：搬移分块 $\ge min\_TileSize \;\land\; dValue \ge 128\text{B}$
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### 逐条解释
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1. **batch 关系与每核份额**：无广播；每核至少 1 个 batch。
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2. **负载均衡**：切 B 核间零共享零依赖，唯一系统性风险是负载不均。整除时完全均衡；不整除时尾波活跃核数须 ≥ minCoreNum，保证尾波仍有足够核并发搬移（重要性第 1 位的约束是核数）。
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3. **L1 容量——核心要求：单 batch 计算不重复读**。
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重复读发生在**单 batch 内部**：L1 放不下单 batch 完整的 M、N 维输入（K 维允许切段放入，kL1<K）时，核内切 M 会在 K 循环中重复读 B、切 N 会重复读 A。IterBatch 进入与否不由算存比判定——即使 case 是计算 Bound，重复读引入的额外搬移也可能把它重新拖回访存 Bound。所以进入条件直接由 L1 驻留形态刻画：
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* **a)** 每核 1 batch，左右矩阵同时驻留 L1，零重复读；
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* **b)** 每核多 batch，L1 同时放下 2 个 batch，batch 间直接乒乓；
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* **c)** 一侧驻留 + 对侧切 K（$b_{core} \ge 1$ 统一式）：驻留侧只搬一次、零重复读；对侧 K 段在预算内双缓冲（故系数 2）。**预算分档由 batch 间流水掩盖决定**：$b_{core}=1$ 时无 batch 边界、全量 L1 可用；$b_{core} \ge 2$ 时预算减半（L1/2），另一半用于在计算当前 batch 期间预取下一 batch 的驻留侧——定量分析见下文"batch 间流水掩盖"；
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* **d)** 两侧都切 K：A/B 按 K 段成对流水（双缓冲故系数 2），无驻留侧、batch 边界天然无缝，是驻留侧放不进 L1/2 时的兜底。
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4. **搬移效率下限**：切分把粒度切小，必须守住 min_TileSize 与 dValue，否则切分本身把带宽打崩。
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### batch 间流水掩盖分析（c/d 的分工）
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先明确流水结构：fixpipe 开 unitflag 后，写出由硬件随路完成（每个 16×16×16 fractal 算完即自动搬出），**写出侧不需要软件排流水**；要掩盖的只有"读入（MTE2: GM→L1）↔ 计算（Cube）"。
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* **(c) 且 $b_{core}=1$**：每核只有 1 个 batch，不存在 batch 边界；驻留侧全程复用，对侧 K 段双缓冲，段间无缝。
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* **(c) 且 $b_{core} \ge 2$——关键问题：驻留侧在 batch 边界要整体换入，怎么掩盖？** 若不减预算（全量 L1 给当前 batch），到 batch 边界时下一 batch 的驻留侧（如 A，$MK\cdot\text{dtype}$）必须整体换入，而当前 batch 尾部只剩几个 K 段的计算——掩盖不了整个驻留侧的换入，产生气泡。**修正做法**：每 batch 只占 L1/2（驻留侧 + 对侧 K 段双缓冲都在这一半），另一半 L1 在计算当前 batch 期间预取下一 batch 的驻留侧。上一 batch 做最后一个 K 段时，下一 batch 的驻留侧已就绪、首个 K 段随即搬入——边界无气泡。无气泡的定量条件：驻留侧换入量 $MK\cdot\text{dtype} \le$ 当前 batch 总搬入量 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，恒成立；访存 Bound 下计算时间 ≥ 搬入时间，尾部窗口必然足够。
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* **(d)（两侧都切 K）**：K 段槽位在 batch 间完全同质连续——上一 batch 最后一段计算时搬下一 batch 第一段，天然无缝。当驻留侧单矩阵放不进 L1/2 时 (c) 不成立，由 (d) 接管，代价是两侧都有 K 段级重复读。
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结论：(c) 统一了原 (c)/(d)——同一族"一侧驻留 + 对侧切 K"，预算按 $b_{core}$ 分档（$b_{core}=1$ 全量 L1、$b_{core} \ge 2$ 减半以容纳下一 batch 驻留侧预取）；驻留侧超 L1/2 时由 (d) 接管。
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### 实现方案
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**(a)**：每核 1 batch 直接搬入 L1。L1→L0 先看 L0C 能否放下完整单 batch 输出：
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if (L0C >= M*N*4B): # L0C 放得下完整输出：不切 M/N，只切 K
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BaseM = M; BaseN = N
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BaseK = min(align(L0A/M, 16), align(L0B/N, 16))
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else: # L0C 放不下：按较小维切
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if M < N: BaseM = align(M,16); BaseN = floor(L0C/4B / BaseM)
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else: BaseN = align(N,16); BaseM = floor(L0C/4B / BaseN)
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BaseK = min(floor_align(L0A/BaseM,16), floor_align(L0B/BaseN,16))
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**(b)**：L1 双 batch 乒乓，核内 GM→L1→L0→Cube→L0C→GM/L2 流水；L1→L0 分块同理，但各级预算减半（L0C/L0A/L0B 按 2 份）。
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**(c)**：一侧驻留 + 对侧切 K。假设驻留左矩阵，右矩阵搬入的 K 向长度：
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k_{L1\_b} = \min\Big(\frac{L1_{budget} - MK\cdot\text{dtype}}{N\cdot\text{dtype}},\; K\Big),\qquad L1_{budget} = \frac{L1}{\min(b_{core},\,2)}
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$$
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$b_{core} \ge 2$ 时另一半 L1 在计算期间预取下一 batch 的驻留侧，实现 batch 间无气泡衔接；fixpipe 开 unitflag。
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**(d)**：两侧都切 K 段，$k_{L1}$ 取满足容量与 dValue 的最大值；L0C 按 batch 乒乓（各占 L0C/2），batch 边界由硬件 fixpipe 自动排空、下一 batch 立即在另一半 L0C 累加。
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## 七、StreamK 分支
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### 进入分支条件（汇总）
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1. $P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} < \dfrac{C}{2}$
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2. $\dfrac{K}{grid_K} \ge \dfrac{256\text{B}}{\text{dtype}}$
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3. $K > \dfrac{grid_K^{\,2}}{grid_K-1}\cdot\theta_c$，$\theta_c = \dfrac{Q_{16}}{2}\Big(\dfrac{8\text{B}}{W_{L2}}+\dfrac{1}{Q_{AIV}}\Big) \approx 12$（grid_K 由实现方案确定）
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4. 工程约束：确定性等级 ≤ 1（核间归约顺序不定）；ND 格式
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### 逐条解释
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1. **并行缺口**：P 以"L0C 满载的输出基本块"为粒度估计不切 K 的最大并行度——基本块按 L0C 最大利用率取（$M^t N^t \cdot 4\text{B} = L0C$），免去预先估计 M/N 具体切分。**阈值取 C/2 而非 C**：StreamK 的定义就是 grid_K ≥ 2（至少 2 路切 K），且同一 batch 内所有输出块共享同一个 grid_K；grid_K=2 时每块需要 2 个核，总核数需求 = P × 2 ≤ C，即 P ≤ C/2。若 C/2 ≤ P < C，切 2 路就超核数（2P > C），不切又浪费一半核——这个区间由降核 ASW_Basic 承接更合适。P < C/2 才意味着不切 K 时连一半核都填不满，K 是唯一剩余的并行维度。
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2. **单核 K 段下限**：每核 K 段内轴连续长度不小于 dValue 推荐值 256B（BF16 为 128 元素），保证段内搬移效率不崩。
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3. **归约代价可接受**。StreamK 切 K 引入归约串行尾，收益判据——切 K 后总时延须小于不切 K（降核 ASW）：
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$$T_{SK} = \frac{T_{pipe}}{grid_K} + T_{Reduce} < T_{pipe} \;\Longleftrightarrow\; T_{Reduce} < T_{pipe}\left(1-\frac{1}{grid_K}\right)$$
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$T_{pipe}=\max(T_{MTE2},\,T_{MMAD})$ 为不切 K 时单输出块的流水瓶颈。等价于 $T_{pipe} > \dfrac{grid_K}{grid_K-1}\cdot T_{Reduce}$——安全系数 α = grid_K/(grid_K-1) 由流水分析导出（grid_K=2 时 α=2），非经验值。
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**$T_{Reduce}$ 构成**（每输出块，部分和驻留 L2、AIV 归约；符号定义见 §二）：
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T_{Reduce} = \underbrace{\frac{grid_K \cdot MN \cdot 4\text{B}}{W_{L2}}}_{\text{AIC 写部分和}} + \underbrace{\frac{grid_K \cdot MN \cdot 4\text{B}}{W_{L2}}}_{\text{AIV 读回}} + \underbrace{\frac{grid_K \cdot MN}{Q_{AIV}}}_{\text{AIV 求和}} + \underbrace{\frac{MN \cdot outB}{W_{L2}}}_{\text{写回}}
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**K 闭式阈值推导**——分两种瓶颈情形：
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**计算 Bound**（$T_{pipe} = T_{MMAD} = \dfrac{2MNK}{Q_{16}}$），代入判据：
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\frac{2MNK}{Q_{16}}\cdot\frac{grid_K-1}{grid_K} > grid_K \cdot MN\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big) + \frac{MN\cdot outB}{W_{L2}}
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两边除以 MN、解 K（末项 $\theta_c' \approx 3$ 相对 $\theta_c$ 仅 12%，略去）：
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$$
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K > \frac{grid_K^2}{grid_K-1}\cdot\theta_c,\qquad
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\theta_c = \frac{Q_{16}}{2}\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big)
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代入数值（$Q_{16}$=15.2 TFLOPS，$W_{L2}$=5.2 TB/s，$Q_{AIV}$≈13.5 Tops/s）：
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\theta_c = \frac{15.2\times10^{12}}{2}\Big(\underbrace{\frac{8}{5.2\times10^{12}}}_{1.54\,\text{ps/元素}} + \underbrace{\frac{1}{13.5\times10^{12}}}_{0.07\,\text{ps/元素}}\Big) = 7.6\times10^{12} \times 1.61\times10^{-12} \approx 12
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L2 读写（1.54 ps/元素）是主导项，AIV 求和（0.07）仅占 5%。grid_K=2→K>49；4→K>66；8→K>112。
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**访存 Bound**（$T_{pipe} = T_{MTE2} = \dfrac{K(M+N)\cdot\text{dtype}}{BW_{pc}}$，$BW_{pc}=W_{GM}/C$ 为单核 GM 带宽份额），同理：
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K > \frac{grid_K^2}{grid_K-1}\cdot\frac{MN}{M+N}\cdot\theta_m,\qquad
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\theta_m = \frac{BW_{pc}}{\text{dtype}}\Big(\frac{8\text{B}}{W_{L2}}+\frac{1}{Q_{AIV}}\Big) \approx 0.04
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**访存 Bound 阈值远低于计算 Bound**——两情形阈值比值：
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\frac{\theta_m \cdot MN/(M+N)}{\theta_c} = \frac{2\cdot BW_{pc}}{Q_{16}\cdot\text{dtype}}\cdot\frac{MN}{M+N} = \frac{MN/(M+N)}{152}
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StreamK case 的 M、N 小（P<C/2），MN/(M+N) ~ O(10) → 比值 ≪ 1。直觉：访存 Bound 时 $T_{pipe} = T_{MTE2} > T_{MMAD}$，瓶颈时延更大，给归约留出的预算更充裕。**汇总条件取计算 Bound 阈值**（保守，同时覆盖两种情形）。
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注意 θ_c 对 workspace 落点敏感：部分和落 GM 时读写带宽从 5.2TB/s 降到 ~0.64TB/s，θ_c 升至约 97。设计时应优先保证 workspace 驻留 L2。
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4. **工程约束**：归约顺序不定引入浮点非确定性，确定性等级 2/3 的业务禁用。
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**源码对照**：`batch_matmul_v3_basic_streamk_tiling.cpp` 中 K 的固定门槛为 `CeilAlign(K,256) ≥ max(8192, aicNum×256B/dtype)`。
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* `aicNum×256B/dtype` = 32×128 = 4096（BF16）= **dValue 下限（256B）在最大 grid_K=C 下的保障**——对应条件 2；
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* `8192` = 32×256 = C×512B（BF16）= **dValue 推荐值（512B）在最大 grid_K=C 下的保障**——同为条件 2，取推荐值而非下限。
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max 取更严格的 8192。修正后的归约阈值（θ_c≈12，grid_K=32 时 K>396）远低于 8192，说明 **8192 的绑定约束是 dValue（条件 2），不是归约代价（条件 3）**。源码不动态计算 grid_K，用固定阈值同时覆盖条件 2 的最保守情形和条件 3，是两条条件的保守合并近似。
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### 实现方案
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**核间组织**：先按 B/M/N 切出输出块，剩余核预算折成 K 向份数：
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blocksPerBatch = \Big\lfloor \frac{C}{B} \Big\rfloor,\qquad
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grid_K = \frac{blocksPerBatch}{mCnt \cdot nCnt}
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mCnt、nCnt 收拢为 blocksPerBatch 的因子（避免碎核尾块）；由条件 1 知 $mCnt \cdot nCnt \le blocksPerBatch/2$，故 $grid_K \ge 2$。归约组内核 c 负责 K 段 $[cK/grid_K,\; (c{+}1)K/grid_K)$。
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**核内流水**：对自己的 K 段做标准分块流水（MTE2→L1→L0→mmad），段内多轮在 L0C 原地累加；段完部分和经 Fixpipe 写出。
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**归约**：
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* **workspace + AIV 归约（确定性）**：部分和写 workspace（每核 256×256×4B，另加 20MB 核间通信区），**workspace 优先驻留 L2**——归约读写走 5.2TB/s 的 L2 口而非 GM；AIV 从 L2 读回各段部分和、在 UB 内求和后写回（数据流 GM/L2→UB→AIV→UB→L2/GM，AIC:AIV=1:2）；
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* **AtomicAdd（非确定性）**：部分和直接原子累加到输出 GM，省一遍读回；确定性等级 >1 禁用。
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**参数搜索**：$grid_K$ 从 2 起按 2 的幂递增，取同时满足条件 2/3 的最小值；都不满足则退为降核 ASW_Basic。
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## 八、ASW_Basic 分支
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### 进入分支条件（汇总）
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1. $P = \dfrac{B \cdot MN \cdot 4\text{B}}{L0C} \ge C$
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2. 无 batch 结构限制（BatchA=BatchB、交叉广播均可）；典型进入路径：$B < C$（切 B 买不满核），或 $B \ge C$ 但 IterBatch/MergeBatch 条件不满足时的兜底
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3. **降核模式**：$P < C$ 且不满足 StreamK 进入条件 → 只用 $\lceil P \rceil$ 个核，其余核闲置
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### 逐条解释
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1. **并行度补齐**：以 L0C 满载为基本块粒度，B×M×N 能切出至少 C 个独立输出块，则切 M/N（或混合切）并行度够用。切 M/N 的固有代价是共享矩阵被多核重复读，但共享部分驻留 128MB L2 时重复读以 5.2TB/s 命中 L2 而非 1.6TB/s 的 GM，代价大部分被吸收。
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2. **兜底性质**：ASW_Basic 是实践中最常命中的分支——B 可大可小可等 1，交叉广播也由此承接（对广播侧做 L1/L2 驻留，共享关系与切 M/N 同构）。
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3. **降核模式**：P < C 且 K 也不够格走 StreamK 时，并行度凑不满核。此时与其强行把 M/N 切得更碎（tile 跌破 min_TileSize、dValue 跌破 128B，搬移效率崩塌，反而更慢），不如**只用 ⌈P⌉ 个核**、每核承担一个完整输出块（L0C 满载粒度），其余核闲置。这类 case 的时延绝对值小，继续切分引入的调度与搬移效率损失大于并行收益——降核是理性选择而非偷懒。
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### 实现方案
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**1、核间切分维度选择（按共享代价从低到高）**：切 B（零共享，先试）→ 切 M（右矩阵 $KN\cdot\text{dtype} \le L2$ 则驻留 L2）→ 切 N（对称）→ 混合切（靠 swizzle + L2 切分管理）→ 降核（见第 6 条）。
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**2、swizzle：ASW 滑窗蛇形**
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**问题**：核间切 M/N 后，同一时刻 C 个核各算一个输出块，它们所需的 A 行块与 B 列块集合就是当前"活跃工作集"。若按行优先顺序朴素分配，一波 C 个块横跨的 A 行、B 列很宽，活跃工作集超过 L2 就回 GM 读（1.6TB/s），重复读代价真实发生。**swizzle 要做的就是编排输出块的执行顺序，把每一波核的活跃工作集压到最小。**
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**做法**：把 M 向每 W 个基本块划为一个"窗口"，遍历顺序为"窗口内先扫 M、扫满 W 行再进下一列 N；一个窗口扫完再进下一个窗口"，且奇数窗口行 N 向反向（蛇形）。效果有二：
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* 同一波 C 个核的块集中在同一个窗口内 ⇒ 活跃 A 行块只有 W 个、活跃 B 列块只有 C/W 条带；
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* 蛇形反向使相邻窗口行首尾相接——上一窗口末尾的 B 列带与下一窗口开头的 B 列带是同一条，跨窗口切换时工作集增量最小。
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**W 怎么取**：一波 C 个块的 L2 足迹约为
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footprint \approx \big(W \cdot M^t K + \tfrac{C}{W} \cdot K N^t\big) \cdot \text{dtype}
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由均值不等式，$W + C/W$ 在 $W = \sqrt{C}$ 处取最小——窗口越接近"方形"（W 行 × C/W 列），足迹越小。同时 W 须整除 C，保证每个窗口恰好被整数波核覆盖、窗口边界不把波次切碎。合起来即：
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W = \max\{\,d \mid d \mid C,\; d \le \lfloor\sqrt{C}\rfloor\,\}
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C=32 时 $\sqrt{32} \approx 5.66$，因子 {1,2,4,8,…} 中不超过它的最大者是 4，故 W=4。
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**实例**（C=32，W=4，M̃=8，Ñ=8；数字为块的全局执行顺序，一波 32 块）：
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窗口0（N 正向） 窗口1（N 蛇形反向）
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ν0 ν1 ν2 … ν7 ν0 ν1 … ν7
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μ0 0 4 8 … 28 μ4 60 56 … 32
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μ1 1 5 9 … 29 μ5 61 57 … 33
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μ2 2 6 10 … 30 μ6 62 58 … 34
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μ3 3 7 11 … 31 μ7 63 59 … 35
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块 31 = (μ3, ν7)，块 32 = (μ4, ν7)——相邻两个块共用同一条 B 列带（ν7），窗口切换几乎零增量。对比朴素行优先（Ñ=16 时）：一波横跨 2 个 A 行块 + 16 条 B 列带，足迹 (2·M^t + 16·N^t)·K·dtype；滑窗为 (4·M^t + 8·N^t)·K·dtype——M^t≈N^t 时足迹缩小 1/3。
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**窗内为什么不蛇形**（对上例中"块 3=(μ3,ν0) → 块 4=(μ0,ν1) 而非 (μ3,ν1)"的说明）：蛇形的收益来自"相邻遍历段共享边界数据"，要分两种边界看：
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* **窗内列间边界**（ν0→ν1）：相邻两段共享的是同一组 A 行块（W 个），它们在整个窗口期间**全程驻留 L2**，无论按什么顺序扫，工作集不变——窗内蛇形零收益；
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* **窗口行边界**（窗口0→窗口1）：A 行整体换血（μ0..3 → μ4..7），此时 B 列带的连续性决定换血成本——不蛇形则下一窗口从 ν0 开始（LRU 上最久未用、早已被挤出 L2 的冷带），蛇形则延续上一窗口末尾的 ν7（最热线带）。**蛇形只标在窗口行号上**（源码 `BatchMatMulAswBlock::UpdateBasicIndex`：仅 `rowIdx` 为奇时 n 反向，窗内 m 最快序不反向），正是这个收益结构的直接实现。
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**3、L2 切分（工作集超 L2 时）**
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**切的是什么**：L2 切分切的是**输出平面**——把 M×N 平面切成 mL2TileNum × nL2TileNum 个大矩形块（每块 = 若干基本块的集合），使"该块所需的 A 行带 + B 列带"输入工作集 ≤ L2 可用读入空间；块内所有输出基本块算完再进下一块，输入只在跨块时换一次。
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**为什么需要它**：滑窗压缩的只是"同一波"的足迹；若整个工作集超 128MB L2，跨波次复用落空——上一波窗口的 A 行早被挤出，下一波又得回 GM 读。且 L2 是**读写共用**的：输出经 fixpipe 写出时若驻留 L2（dirty），会压缩读入可用空间；若直写 GM，则占用与读共享的 1.6TB/s 总线。所以 L2 切分必须与写出策略联合决策。记输入总量 $S_{in} = B(MK+KN)\cdot\text{dtype}$，输出总量 $S_{out} = B \cdot MN \cdot outB$。
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**两个不变量**（一切分析的起点）：
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* GM 流量下界 $= S_{in} + S_{out}$：输入至少读一遍、输出最终至少要写一遍到 GM，与 L2 策略无关；
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* L2 读入可用空间：$L2_{read} = L2 - S_{out}^{resident}$（$S_{out}^{resident}$ 为驻留 L2 的输出量）——写出驻留 L2 会压缩读入空间，这是写出策略影响读入复用的通道。
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**重复读倍率**：$r_{in}$ = GM 输入流量 / $S_{in}$。$r_{in} = 1$ 表示每个输入数据从 GM 只读一遍（后续复用全在 L2 命中）——这是 GM 输入流量的下界，L2 管理的全部目标就是让 $r_{in}$ 尽量接近 1。
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**先判定写出会不会 Bound**。平均写出带宽需求：
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BW_{out} = \frac{S_{out}}{T_{MMAD}} = \frac{B \cdot MN \cdot outB}{2BMNK\,/\,(C \cdot Q_{16})} = \frac{C \cdot Q_{16} \cdot outB}{2K}
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只与 K、outB 有关（K 越小，单位时间输出越密）。例（BF16 输出，C·Q₁₆=432 TFLOPS）：K=512 → 844 GB/s；K=256 → 1.69 TB/s，已超 GM 总线——此时**任何策略都写出 Bound**，L2 缓冲只能削峰（fixpipe 以 5.2TB/s 写 L2 吸收突发），平均速率仍受总线限制，应预期 Fixpipe 成为 $T_{total}$ 的 max 项。
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**分场景决策**：
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**场景 A：$S_{in} + S_{out} \le L2$（全驻留）**。输入读一遍（$r_{in}=1$），输出驻留 L2（dirty）异步回写 GM——写出走 5.2TB/s L2 写口，不与读争，也削平了 GM 写突发。无需切分。
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**场景 B：$S_{in} \le L2$ 但 $S_{in} + S_{out} > L2$（输入能驻留，加上输出超了）**。策略：**输入驻留、输出直写 GM**。理由链：
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1. $S_{in} \le L2$ ⇒ 全部输入可驻留 L2，跨波次复用全部命中 ⇒ $r_{in} = 1$（GM 输入流量达到下界 $S_{in}$）；
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2. 输出在本算子内只写不读、零复用收益；若输出也驻留 L2（dirty），超出 L2 的部分会把输入挤出——被挤出的输入后续得回 GM 重读 ⇒ $r_{in} > 1$，GM 流量超出下界；
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3. 故让输出直写 GM（fixpipe L0C→GM，不占 L2），把 128MB 全部留给输入，保住 $r_{in} = 1$——GM 总流量保持下界 $S_{in} + S_{out}$；
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4. 代价是输出即刻占用 GM 写带宽（与读共享总线），须校验总线不爆：$(S_{in} + S_{out})/T_{MMAD} \le W_{GM}$。
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例：B=8、M=N=4096、K=512、BF16——$S_{in}$≈67MB ≤ L2，$S_{out}$≈268MB 直写 GM；T_MMAD≈318µs，总流量速率 (67+268)MB/318µs ≈ 1.05TB/s < 1.6TB/s ✓。
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**场景 C：$S_{in} > L2$（输入本身超）**。必须 L2 切分。输出直写 GM 以最大化 $L2_{read}$，切分数满足
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mL2TileNum \times nL2TileNum \;\ge\; \frac{S_{in}}{L2_{read}}
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每块输入工作集 ≤ $L2_{read}$，逐块计算——块内滑窗复用充分，块间只发生一次性换入。块内分配用**错位分核**（对角线分配）：线性块号先取 m，n 方向叠加随块号递增的相位偏移，使同一时刻各核落在 M×N 平面的不同对角线上——避免多核同一拍并发读同一行 A / 同一列 B 的同一地址（同地址并发读会串行化，等效带宽打折）。例（8 核、4×4=16 个基本块，k0~k7 为核号）：
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行优先（不错位）： 错位分核（对角线）：
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n0 n1 n2 n3 n0 n1 n2 n3
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m0 k0 k1 k2 k3 m0 k0 k4 . .
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m1 k4 k5 k6 k7 m1 . k1 k5 .
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m2 . . . . m2 . . k2 k6
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m3 . . . . m3 k7 . . k3
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同一波：A 行带 m0 被 k0~k3 同读 同一波：每行带、每列带
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（4 路同地址冲突） 最多 2 核同读（冲突 4→2）
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```
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冲突度量与优选规则：
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$$
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transConflict = \max\big(\lceil C / mCnt \rceil,\; \lceil C / nCnt \rceil\big) \le 6
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$$
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即同一时刻并发核访问同一 A/B 块的最大冲突数不超过阈值（经验值 6）；切分方案中优先选尾波不满载占比小（拖尾 < 一半）的。遍历大方向由 calOrder 决定（0=M 优先、1=N 优先），按形状选共享矩阵更能驻留 L2 的方向。例：B=64、M=N=2048、K=1024、BF16——$S_{in}$≈537MB > L2，输出直写（$L2_{read}$=128MB），切 3×2=6 块（每块输入约 89MB ≤ 128MB）；总流量约 1.07GB，T_MMAD≈1.27ms，速率 844GB/s < 1.6TB/s ✓。
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补充：若输出会被后续算子立即消费（融合场景），输出驻留 L2 让下游读命中，场景 B/C 的策略反过来；本文按单算子边界分析。
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**4、核内 tiling**：$M^t N^t \cdot 4\text{B} \cdot DB \le L0C$；$M^t K^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0A$、$K^t N^t \cdot \text{dtype} \cdot 2 \le L0B$；内轴按 dValue 256B/512B 对齐；L1 按容量开双缓冲，余量充足开 4 buffer。
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**5、内部特化（参数极限，不是独立分支）**：单边无 batch 且该侧矩阵小（$M \le 256$、$MK\cdot\text{dtype}\cdot 2 \le L1$、对侧每核循环 ≥4 轮）时小侧整个常驻 L1、只搬一次（L1 全载）。
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**6、降核模式实现**：tiling 时 `usedCoreNum = ⌈P⌉`（不强制 C），基本块在 L0C 容量内取最大（$M^t N^t \cdot 4\text{B} \le L0C$），每核按标准核内流水（L1→L0→Cube→L0C→Fixpipe）处理自己的输出块；核间无共享无依赖，无需 swizzle 与 L2 切分。降核后 GM 并发搬移核数若 < minCoreNum，带宽利用率上限被压低——这正是降核区 case 时延的瓶颈所在，也是"时延绝对值小、不再继续优化"的定量注脚。
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## 九、特殊分支
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* **K=0**：无任何计算，C = bias 或 0，纯 AIV 写值；
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* **K=1**：退化为逐元素乘 `C = A ⊙ B`，无累加深度，Cube 的 16×16×16 粒度浪费 15/16，走 AIV 向量通路（GM→UB→Mul→GM）优于 Cube 通路。触发需 $B \ge 2 \times 64$（AIV 核数×2，开 UB 乒乓）且单 batch 输入输出能驻留 UB。
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## 十、case 遍历：各分支的覆盖区域
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### 方法论说明
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**采样方式**：B ∈ [1, 2048] 全量遍历（2048 个值），M/N/K ∈ [1, 10240] 对数网格采样 60 点/维（值按指数增长：1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 35, ...）。总 case 数 3.2 亿，耗时约 4 分钟。
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**为什么不做全量遍历**：全量 = 2048 × 10240³ ≈ 2.2×10¹⁵ 个 case。Python 分类器约需 1400 万小时，C 实现约需 6 万小时——完全不可行。对数采样在小值区密集、大值区稀疏，恰好覆盖了分支边界集中的区域。
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**分布依赖测度**：对数均匀采样和线性均匀采样给出的分支占比**不同**。对数采样在小值区密集，特殊分支（K=0/1）、降核 ASW（P 小）、StreamK（K 大但 M/N 小）的占比被放大；线性采样被大 shape 主导（M/N/K > 512 占 [1,10240] 的 95%+），ASW_Basic 占比显著升高。**本文遍历的目的是验证覆盖性（无空洞），不是统计真实工作负载的分布。**
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### 分支覆盖统计（对数采样，B 全量 2048，M/N/K 60 点/维，共 3.2 亿 case）
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| 分支 | case 数 | 占比 | B 范围 | 区域特征 |
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| ASW_Basic | 1.75 亿 | 54.1% | 2 ~ 2048 | 通用：B<C 且 P≥C；或 B≥C 但 L1 四形态不满足（M/N 大） |
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| MergeBatch | 6303 万 | 19.5% | 97 ~ 2048 | $b_{core}\ge 4$ 且 $MN \le 8192$ 等五条全过 |
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| 降核 ASW_Basic | 4051 万 | 12.6% | 2 ~ 2048 | P<C 且 K 不满足 StreamK 阈值 → 只用 ⌈P⌉ 核 |
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| IterBatch | 3804 万 | 11.8% | 32 ~ 2048 | B≥C、负载均衡、L1 四形态之一满足 |
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| 特殊分支 | 597 万 | 1.9% | 任意 | K=0 / K=1 |
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| StreamK | 25 万 | 0.08% | 2 ~ 128 | P<C/2 且 K≥8192 |
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| 转Matmul | 15 万 | 0.05% | B=1 | 单边 batch=1 |
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**对照：线性等距采样**（M/N/K 步长 256，B 全量，共 1.3 亿 case）下 ASW_Basic 占比升至 92.1%，MergeBatch 降至 3.6%——因为线性采样被大 shape 主导。两种测度的结论一致：**无空分支、无覆盖空洞**，只是占比不同。
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### IterBatch 四形态命中分布（对数采样）
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| 形态 | 命中数 | 占比 | 说明 |
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|---|---|---|---|
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| b) 双 batch 乒乓 | 2684 万 | 70.5% | 最多：B 大且单 batch 较小 |
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| d) 两侧切 K | 741 万 | 19.5% | 次之：K 可切段的通用兜底 |
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| c) 一侧驻留+对侧切 K | 370 万 | 9.7% | 单侧可驻留（含 b_core≥2 的半预算预取档） |
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| a) 单 batch 全驻留 | 9 万 | 0.2% | B=C 附近的窄区 |
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### 典型边界 case
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| B | M | N | K | 分支 | 说明 |
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|---|---|---|---|---|---|
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| 1 | 2048 | 2048 | 2048 | 转Matmul | 单 batch 纯 Matmul |
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| 128 | 64 | 64 | 512 | **MergeBatch** | 五条全过：$b_{core}$=4，MN=4096≤8192，单核搬移 512KB≥480KB，AI=64<304 |
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| 128 | 64 | 64 | 256 | IterBatch | 与上行仅 K 不同：单核搬移 256KB < 480KB，条件 3 不满足 → 落 IterBatch（形态 b） |
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| 512 | 128 | 128 | 128 | IterBatch | MN=16384 > 8192，MergeBatch 条件 2 不满足 → 落 IterBatch |
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| 32 | 4096 | 4096 | 4096 | ASW_Basic | L1 四形态均不满足（M/N 太大），切 M/N |
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| 2 | 8192 | 8192 | 1024 | ASW_Basic | B<C，P=2048 ≥ 32 |
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| 16 | 256 | 256 | 128 | 降核 ASW | P=4 < 32 且 K=128 不满足 StreamK → 用 4 核，其余闲置 |
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| 4 | 128 | 128 | 10240 | StreamK | P=0.25 < 32，K≥8192 |
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| 2048 | 1024 | 1024 | 512 | IterBatch | 大 batch，形态 b |
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| 8 | 512 | 512 | 512 | ASW_Basic | B<C，P=32 恰好满核 |
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| 64 | 64 | 64 | 8192 | IterBatch | 小 M×N 但 K 大，形态 d |
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### 遍历结论
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1. **七个分支全部有真实 case 命中**，无空分支；覆盖矩阵无空洞（P<C 且 K 小的残余由降核 ASW_Basic 兜底——此时时延绝对值小，调度开销主导，分支选择不敏感）；
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2. **MergeBatch 的区域由条件 2（$MN \le 8192$）与条件 3（min_DatamountPerCore）夹出**：小 M×N 且单核搬移量足够的大 batch case，两个条件缺一不可。典型分界对照：B=128/M=N=64 时 K=256 → 单核搬移 256KB 不达标落 IterBatch，K=512 → 512KB 达标进 MergeBatch；
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3. **IterBatch 与 ASW_Basic 的分界就是 L1 四形态是否满足**：单 batch 输入 $(MK+KN)\cdot\text{dtype}$ 相对 L1 的比例决定归属——这正是"核内零重复读"原则的定量体现；
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4. **StreamK 的区域为 P<C/2 且 K≥8192**：B 小、M/N 小、K 大的"细长" case；C/2 ≤ P < C 且 K 大的 case 由降核 ASW_Basic 承接（切 2 路 K 会超核数，不切又不满核，不如直接用 ⌈P⌉ 核）；
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5. **降核 ASW_Basic 是 P<C 且 K 小区域的理性归宿**（占 12.6%）：并行度凑不满、切 K 又不划算时，只用 ⌈P⌉ 个核、每核一个 L0C 满载输出块，比强行碎切（tile 跌破搬移效率下限）更快。
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