目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。
版本：v1.2，2026-08-31（§7.2 重写：损失公式逐步推导链、方形近似可靠性审视、主流 prefill/decode 场景实际损失分析）
历史：v1.1 新增 §七 B1 无脑版门限与损失分析；v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切），在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。
核心结论：
BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。适用范围说明：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 $M \times N$ 被切为 $mCnt \times nCnt$ 个块，乘上 batch 维共 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个独立输出块，按序分配到 $C$ 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：
GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。
块按序分配：核 $i$ 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 $N_{blk}$ 不能被 $C$ 整除时，最后一轮（尾轮）只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核有块可算，$C - r$ 个核空转一个整块时间。
问题：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？
昇腾 950PR 关键规格（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)）：
| 符号 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
| $C$ | AIC 核数 | 32 |
| $Q_{16}$ | 单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/32 ≈ 15.2 TFLOPS |
| $W_{GM}$ | GM（HBM）总带宽 | 1.6 TB/s |
| $BW_{pc}$ | 单核 GM 带宽份额 | $W_{GM}/C = 50$ GB/s |
| $L1$ | L1 容量/核 | 512 KB |
| $L0C$ | L0C 容量/核 | 256 KB |
| $dtype$ / $outB$ | 输入/输出元素字节数 | BF16 → 2B |
*Tiling 符号*：$sM, sN$ = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；$k_{L1}$ = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。
*尾轮符号*：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。
单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延：
其中 $k_{L1} = \min\big(K,\; \lfloor L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype) \rfloor_{16}\big)$（L1 双缓冲容量约束）。单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$（三段流水掩盖，瓶颈项决定）。
Bound 判据（由 $T_{MMAD} = T_{MTE2}$ 解出）：
$K \ge K^*$ 为计算 Bound，否则访存 Bound（例：$sM=sN=256$、$k_{L1}=256$、BF16 时 $K^* \approx 608$）。
把块数放大 $g$ 倍（面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）时：
| 时延项 | 依赖 | 缩放律 |
|---|---|---|
| $T_{MMAD}$ | $\propto$ 面积 $sM \cdot sN$ | $\propto g^{-1}$ |
| $T_{MTE2}$ | $\propto$ 周长 $(sM + sN)$ | $\propto g^{-1/2}$ |
| $T_{FIX}$ | $\propto$ 面积 | $\propto g^{-1}$（总量与切分无关） |
搬移随周长缩放是关键：切分越多，计算缩 $g$ 倍而搬移只缩 $\sqrt{g}$ 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$）。
GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：
昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为**每核带宽上限 $BW_{pc} = W_{GM}/C$**。该假设下尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc} < W_{GM}$，尾轮搬移不加速——$r$ 个整块用 $r$ 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。
尾轮策略建立在首轮切分 $(mCnt, nCnt, sM, sN)$ 之上。首轮由搬入时延最小化确定：$T_{MTE2}^{total} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$，在块数约束下枚举取最优。其连续极限为方形（$sM = sN$）：$k_{L1} = K$（K 全载）时，面积固定使周长最小化 → 均值不等式给出方形严格最优；$k_{L1}$ 被 L1 容量压低（K 大）时，$(1/sM+1/sN) \cdot L1/(2(sM{+}sN)dtype) = L1/(2 \cdot sM \cdot sN \cdot dtype)$——只与面积有关、与长宽比无关，形状自由度释放。本文的缩放律以近方形为基准形态（线性尺寸 $\sqrt{g}$ 缩放）；非方形分解的实际收益由同一目标函数另行评估（§四的"非方形惩罚"即此体现）。
| 策略 | 做法 | 块大小 |
|---|---|---|
| A0：不重切 | 尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转 | 主轮尾轮同大小 |
| A1a：尾轮整数倍切分 | 尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核 | 主轮整块 + 尾轮 $1/s^*$ 小块 |
| A1b：尾轮 tile 重选凑满核 | 尾轮 $r$ 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，凑满 C 核 | 主轮整块 + 尾轮小 tile |
| B：整轮均匀重切 | 总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块 | 全部块同大小 |
实现方式对比：
| 策略 | host 侧 tiling | kernel 侧执行 | tile 参数套数 |
|---|---|---|---|
| A0 | 一套参数 | 线性映射 index = blockIdx + round × usedCoreNum，尾轮不满载核跳过 | 1 |
| A1a | 主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$） | 最后一轮切换小块尺寸 | 2 |
| A1b | 主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$） | 尾轮区域独立子网格映射 | 2 |
| B | 一套重切后参数 | 全程统一 tile，无尾轮分支 | 1 |
对齐约束的平等性：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。
A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：
再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（$(sM_t, sN_t)$ 独立按 16 步进）选最贴合的组合。
A1a 是 A1b 的真子集：A1a 的尾轮 tile 为 $(sM, sN/s^*)$ 或 $(sM/s^*, sN)$（$s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\}$ 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、$sN_t = sN/s^*$ 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：
A1b 恒不劣于 A1a，且通常严格优：A1a 受"$s^*$ 整数"与"每块切同样份数"双重限制（$r > C/2$ 时 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 $r \le C/2$ 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。
A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。
A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。$r > C/2$ 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：
A1 恒优于 A0（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。
代入 $T_{block}' = T_{MMAD}/g$ 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：
B 恒优于 A0（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。
A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ 理论时延严格相等——两者都是"总计算量/C"（计算 Bound 下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。
结构性差异在搬移量（周长和）：A1b 主轮保持大 tile、只缩尾轮；B 全局均匀缩小。设方形 tile 边长 $s$：
均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B（等号当 $\rho = 1$ 即无尾轮）。搬移少意味着 L2 重复读少、掩盖余量更大。
结论（计算 Bound）：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬移周长和恒 ≤ B（结构性）。工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。
*例 1（$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。$T_{MMAD}=35.3\mu s$。
A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%）；周长和此例恰好持平（28672 = 28672）。相对 A0 均省约 23%。
*例 2（$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。A1a = B（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。
主导项 $T_{block} = T_{load} = (sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。
A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（**A 行带 $[sM, k_{L1}]$ 每个小块都要完整搬一次，不随 $s^*$ 缩小**——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$：
受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。
A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：
A1 恒优于 A0（dValue 允许时）。
B 恒优于 A0（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。物理解释：尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。
**（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：
A1b 恒不劣于 B，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%）。
（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：
物理含义：A1b 只缩尾轮 $r$ 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。这是 B 可能反超的唯一通道。
（iii）三区间判定（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：
| 区间 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| I | $\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 $1/g > \rho \ge \rho_{dv}$ 故 B 也可行） | A1b 恒优（均值不等式） |
| II | $\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行） | 分界公式判定（下） |
| III | $\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死） | A0/A1a 兜底 |
区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 $s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}}$ 缩放）：
B 严格优当且仅当：
物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 $\rho$ 减小；而 B 的 $n_{wave}/\sqrt{g}$ 随 $\rho$ 减小而降低（全局重切幅度减小）。$\rho$ 足够小（卡死足够深）时 B 反超。
*例 3（$\rho$ 小、dValue 卡死，临界打平）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$、$\rho_{dv}=0.25$。$T_{load} = 5.24\mu s$。
分界公式核验：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2/\sqrt{1.78} - 1 = 0.5$——两侧精确相等，实测 A1b = B = 7.9μs 打平 ✓（公式精确捕捉临界点）。
*例 4（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 优）*：M=N=2304、K=256、BF16。$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype = 373\text{B} \ge 256\text{B}$ ✓。
A1b 优 2.2%（周长和 $45056 < 46080$）。
*例 5（$\rho$ 更小、临界区）*：M=1280、N=1792、K=256、BF16。$mCnt=5, nCnt=7$、$N_{blk}=35$、$n_{wave}=2$、$r=3$、$\rho=0.094$。
分界公式：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2\sqrt{1.094/2} - 1 = 0.479$——公式判定 B 微优（理论差 0.11μs），实际 B 的非方形分解惩罚（周长 384 vs 方形 379）抵消理论优势，实测打平。B 优的区间存在但窄，且实际分解的非方形惩罚会进一步压缩。
| 场景 | A0 vs A1 | A0 vs B | A1 vs B | 最优策略 |
|---|---|---|---|---|
| 计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$ | A1a 优 | B 优 | A1a = B（选 A1a，搬移少） | A1a |
| 计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$ | A1a 优 | B 优 | B 略优（取整损失） | A1a/B 皆可 |
| 计算 Bound，$r > C/2$ | A1b 优（不退化） | B 优 | 时延理论相等，离散打平（A1b 周长和 ≤ B） | A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b） |
| 访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$ | A1b 优 | B 优 | A1b 恒优（均值不等式） | A1b |
| 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式成立 | A1b 部分凑满 | B 优 | B 严格优 | B |
| 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式不成立 | A1b 部分凑满 | B 优 | 打平 | A1b/B 皆可 |
| dValue 全面卡死（B 也不可行） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | B 不可行 | — | A1a/A0 |
五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：
决策表：
| # | 条件 | 最优策略 | 端到端时延 |
|---|---|---|---|
| 1 | $r = 0$ | A0（无尾轮） | $n_{wave} \cdot T_{block}$ |
| 2 | 计算 Bound，$0 < r \le C/2$ | A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$ | $T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$ |
| 3 | 计算 Bound，$r > C/2$ | A1b 或 B——时延理论相等 | $T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$ |
| 4 | 访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$ | A1b | $T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$ |
| 5 | 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$ 且 $g \le g_{dv}$ | B | $T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$ |
| 6 | 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 但分界公式不满足 | A1b（部分凑满）或 B，打平 | $T_{load}(n_{wave}-1+\sqrt{\rho_{dv}}) \approx T_B$ |
| 7 | 访存 Bound，B 也不可行（$g > g_{dv}$） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | $T_{load}(n_{wave}-1) + T_{load}(1+1/s^*)/2$ |
判定流程图：
[B, M, K, N, dtype]
│
▼
<首轮枚举 → mCnt, nCnt, sM, sN, kL1>
│
▼
<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
│
├─ r = 0 ────────────────▶ A0（无尾轮）
▼
<K ≥ K* ?（计算 Bound）>
│
├─ 是 ── r ≤ C/2 ? ──┬─ 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
│ └─ 否 ─▶ A1b（s_t = sM√ρ ↓16，可非方形枚举）或 B
│ （时延相等；工程简洁选 B）
│
└─ 否（访存 Bound）── ρ ≥ ρ_dv ? ──┬─ 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
└─ 否 ─▶ 分界公式判定：
√ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
└─ 否 ─▶ A1b/B 打平前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个无脑版门限（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？
B1 门限推导：B1 要成立需两个条件——
*条件 1（有尾轮）*：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；
*条件 2（可行 + 值得）*：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。
合起来，B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）：
即：**计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切**。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。
计算 Bound：损失严格为 0。§4.3 已证 $T_{A1b} = T_B = T_{MMAD}(n_{wave}-1+\rho)$（总计算量/C 守恒）——B1 在计算 Bound 下零损失。唯一差异是搬移量（周长和 A1b ≤ B），但计算 Bound 下搬移被掩盖，不体现为时延。
**访存 Bound：损失集中在区间 I（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**。以下分三步：先给出损失公式的逐步推导，再审视其"方形近似"假设的可靠性，最后落到主流 prefill/decode 场景的实际损失。
第一步：两策略的时延表达式（访存 Bound，主导项为搬入 $T_{load}$）。
A1b：主轮 $n_{wave}-1$ 轮整块 + 尾轮 tile 缩 $\sqrt{\rho}$ 凑满 C 核：
B：$N_{blk}' = n_{wave} C$ 块均匀重切，单块搬移缩 $\sqrt{g}$ 倍（$g = n_{wave} C/N_{blk}$），$n_{wave}$ 轮满载：
**第二步：把 $N_{blk}$ 用 $(n_{wave}, \rho)$ 表示**。由 $N_{blk} = (n_{wave}-1)C + r$ 与 $\rho = r/C$ 得 $N_{blk}/C = n_{wave} - 1 + \rho$，代入：
第三步：作比得损失公式。
第四步：数值代入。
单调性证明（最大损失位置）：对 $f$ 关于 $\rho$ 求导（固定 $n_{wave}$），$\partial f/\partial\rho$ 的符号由 $\big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big) - \big(2\sqrt{\rho}(n_{wave}-1+\rho)/\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}\big)$ 决定；数值上 $f$ 随 $\rho$ 单调减、随 $n_{wave}$ 单调减（$\rho \to 1$ 或 $n_{wave} \to \infty$ 时 $f \to 1$）。故**最大损失在 $\rho = \rho_{min} = \max(1/C, \rho_{dv})$、$n_{wave} = 2$ 处**取得。
损失公式建立在三个近似上：①tile 近方形（缩放按 $\sqrt{g}$）；②$k_{L1}$ 不随重切变化；③16 对齐取整忽略。逐一审视：
（1）非方形分解——惩罚因子与方向性
$N_{blk}'$（或尾轮区域）的整数分解 $(mCnt', nCnt')$ 偏离方形比例 $M/N$ 时，周长和高于方形基准。设分解长宽比 $\lambda = sM'/sN'$，非方形惩罚因子：
非方形修正后的损失公式：
其中 $p_B$、$p_t$ 分别为 B 全局分解与 A1b 尾轮分解的惩罚因子（A1b 主轮 tile 不变，惩罚为 1）。回答"非方形是否一定有损失"：
**（2）$k_{L1}$ 跨 regime**
缩放律假设 $k_{L1}$ 不变，但 $k_{L1} = \min(K, L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype))$：重切使周长缩小 → L1 约束放松 → $k_{L1}$ 可能从 L1 主导值升至 $K$（K 全载）。$k_{L1}$ 上升使每块搬移量反升（搬更多 K 数据），B 的总搬移量进一步增大——**$k_{L1}$ 跨 regime 只会放大 B 的损失，不会缩小**（A1b 主轮 tile 不变、不受影响）。极端例中该效应贡献 $140/128 = 1.094$ 倍放大。
（3）16 对齐取整：tile 小时（$s' \sim 128$）取整误差占比 $\sim 16/128 = 12.5\%$，大 tile 时 <6%。对两策略平等，不改变方向。
小结：方形近似在主流 case（分解自由度高、$k_{L1}$ 同 regime）下可靠（误差 <5%）；在"分解被 dValue/整数约束强制非方形 + $k_{L1}$ 跨 regime"的边角 case 下会低估损失（极端例 16.6% → 30%）。损失公式的理论值应视为损失下界。
大模型推理的 BMM 典型形状（用户给定）：prefill 场景 B∈[2,128]、M∈[4k,128k]、K/N∈[128,10240]；decode 场景 B∈[2,128]、M∈[1,128]、K/N∈[128,10240]。按本文模型逐一分析：
**（1）$M, N$ 为 256 倍数的主流形状：$r=0$ 恒成立，损失为 0**
$sM=sN=256$ 时 $mCnt = M/256$、$nCnt = N/256$。主流模型维度（4096/8192/14336 等）均为 256 倍数，$mCnt, nCnt$ 含充足 2 的幂因子，$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 对 $B \ge 2$ 几乎恒为 32 倍数 → 无尾轮。prefill 的典型 case（如 B=8、M=16384、N=8192：$N_{blk}=4096$、$w=128$、$r=0$）根本不触发尾轮问题。
**（2）$M$ 奇异的 prefill case（seq_len 非 256 倍数）：$w$ 大 → 损失 <2%**
例：B=2、M=4224（$mCnt=17$）、N=4224（$nCnt=17$）：$N_{blk}=578$、$w=19$、$r=2$。即使访存 Bound（K 小），$f = \sqrt{19 \times 18.06}/(18+0.25) = 1.015$ → 损失 1.5%。$w$ 越大损失越小——prefill 的 $M$ 大使 $N_{blk}$ 大、$w$ 大，损失天然被稀释。
**（3）decode case（$M \le 128$）：访存 Bound 居多，但 $w$ 大或落入打平区**
（4）主流场景损失结论
| 场景 | 尾轮出现条件 | 典型 $w$ | B0/B1 相对 A1b 损失 |
|---|---|---|---|
| prefill，$M,N$ 为 256 倍数 | 不出现（$r=0$） | — | 0 |
| prefill，$M$ 奇异 | $B \cdot mCnt \cdot nCnt \bmod 32 \neq 0$ | $\ge 9$ | <2% |
| decode，$w \ge 5$ | 同上 | $\ge 5$ | ≤2.4% |
| decode，$N_{blk} < C$ | — | $w=1$ | 降核场景，不在本文范围 |
| 极端边角（$M/N \gg 1$ 极端长宽比 + $K \in (k_{L1}, K^*)$ 窄区间 + $w=2$ + $r$ 小） | 罕见 | 2 | 理论 16.6%，实际可达 ~30% |
主流 prefill/decode case 的 B1 损失 ≤ 2.5%——B1（无脑整数轮满核切）在主流场景下是安全的工程选择；~30% 的损失只出现在主流形状不会命中的边角 case（极端长宽比 + 窄 K 区间 + 两轮尾轮）。
| 场景 | B1 相对 A1b 的损失 | 说明 |
|---|---|---|
| 计算 Bound（任意 $r$） | 0 | 时延严格相等（§4.3） |
| 访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=256$ | ≤ 5.4% | 典型场景（方形 tile、$w=2$、$r=8$ 时取到） |
| 访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=512$ | ≤ 16.6%（理论）/ ~30%（实际极端例） | 需极端长宽比 + 窄 $K$ 区间，罕见 |
| 访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ | ≤ 0（B 反超或打平） | §5.3(iii) 分界公式 |
| $sN \ge 608$ | 0（该场景恒计算 Bound） | $K^*$ 区间为空 |
| 主流 prefill/decode case（§7.2.3） | ≤2.5% | 256 倍数形状 $r=0$；$M$ 奇异/decode 场景 $w$ 大稀释损失 |
工程建议：
op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h（UpdateBasicIndex：index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum，if (index < totalCnt) 跳过空转核——即本文的策略 A0）