BMM 尾轮处理策略对比分析：不重切 / 尾轮重切 / 整轮均匀重切

目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。
版本：v1.1，2026-08-31（新增 §七 B1 无脑版门限与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析；§1.1 补充兜底分支适用范围说明）
历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）

摘要

BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切），在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。

核心结论：

  1. A0 从来不是最优（$r > 0$ 时 A1 或 B 严格优）；
  2. A1a 是 A1b 的真子集（枚举空间包含关系），A1b 恒不劣于 A1a；
  3. 计算 Bound：A1b 与 B 理论时延严格相等（总计算量/C 守恒），A1b 搬移周长和恒 ≤ B（均值不等式）——时延打平、按工程权衡选择；
  4. 访存 Bound：$\rho \ge \rho_{dv}$（尾轮占比 ≥ dValue 平方阈值）时 A1b 严格优；$\rho < \rho_{dv}$ 时 A1b 被 dValue 卡死，B 严格优当且仅当 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$——B 反超的唯一通道是 dValue：A1b 的尾轮 tile 缩放 $\sqrt{\rho}$ 恒狠于 B 的 $1/\sqrt{g}$（$\rho < 1/g$ 恒成立），卡死更深时 B 胜出，该区间窄且临界实测打平；
  5. 给出基于 B/M/K/N/dtype 的闭式判定流程：五步前置计算 + 决策表，无需逐项仿真；
  6. v1.1 新增 §七：B 的简化形态 B1（无脑版：满足门限就直接整数轮满核切，门限闭式 $r>0 \land (K \ge K^* \lor g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2)$）与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析——计算 Bound 零损失；访存 Bound 损失公式 $f(\rho)-1$，典型 $sN=256$ 时 ≤5.4%，极端长宽比 + 窄 $K$ 区间的边角 case 理论 16.6%、实际（kL1 跨 regime + 非方形分解）可达 ~30%。

一、问题背景与执行模型

1.1 BMM 的核间切分与数据流

BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。适用范围说明：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 $M \times N$ 被切为 $mCnt \times nCnt$ 个块，乘上 batch 维共 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个独立输出块，按序分配到 $C$ 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：

GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
     ↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑

核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。

1.2 尾轮问题

块按序分配：核 $i$ 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 $N_{blk}$ 不能被 $C$ 整除时，最后一轮（尾轮）只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核有块可算，$C - r$ 个核空转一个整块时间。

问题：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？

1.3 硬件规格与符号定义

昇腾 950PR 关键规格（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)）：

符号含义取值
$C$AIC 核数32
$Q_{16}$单核 Cube BF16 峰值算力486/32 ≈ 15.2 TFLOPS
$W_{GM}$GM（HBM）总带宽1.6 TB/s
$BW_{pc}$单核 GM 带宽份额$W_{GM}/C = 50$ GB/s
$L1$L1 容量/核512 KB
$L0C$L0C 容量/核256 KB
$dtype$ / $outB$输入/输出元素字节数BF16 → 2B

*Tiling 符号*：$sM, sN$ = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；$k_{L1}$ = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。

*尾轮符号*：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。

二、基础模型

2.1 单块时延三项

单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延：

$$ T_{MMAD} = \frac{2 \cdot sM \cdot sN \cdot K}{Q_{16}},\qquad T_{MTE2} = \frac{(sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype}{BW_{pc}},\qquad T_{FIX} = \frac{sM \cdot sN \cdot outB}{BW_{pc}} $$

其中 $k_{L1} = \min\big(K,\; \lfloor L1/(2(sM{+}sN) \cdot dtype) \rfloor_{16}\big)$（L1 双缓冲容量约束）。单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$（三段流水掩盖，瓶颈项决定）。

Bound 判据（由 $T_{MMAD} = T_{MTE2}$ 解出）：

$$ K^* = \frac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 \cdot BW_{pc}}\Big(\frac{1}{sM} + \frac{1}{sN}\Big) $$

$K \ge K^*$ 为计算 Bound，否则访存 Bound（例：$sM=sN=256$、$k_{L1}=256$、BF16 时 $K^* \approx 608$）。

2.2 块几何缩放律（全文分析的枢纽）

把块数放大 $g$ 倍（面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）时：

时延项依赖缩放律
$T_{MMAD}$$\propto$ 面积 $sM \cdot sN$$\propto g^{-1}$
$T_{MTE2}$$\propto$ 周长 $(sM + sN)$$\propto g^{-1/2}$
$T_{FIX}$$\propto$ 面积$\propto g^{-1}$（总量与切分无关）

搬移随周长缩放是关键：切分越多，计算缩 $g$ 倍而搬移只缩 $\sqrt{g}$ 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$）。

2.3 搬移效率约束

GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：

  1. dValue ≥ 256B（DMA 硬件突发下限）：dValue 是 ND 排布中连续维的字节数——B 矩阵非转置 $[K, N]$ 时连续维为 N，dValue = $sN \cdot dtype$；B 转置 $[N, K]$ 时连续维为 K，dValue = $k_{L1} \cdot dtype$；A 非转置 $[M, K]$ 的 dValue = $k_{L1} \cdot dtype$（**A 的 dValue 由 K 向保证，不约束 $sM$；B 非转置时 $sN$ 有 256B 下限——约束非对称**）；
  2. 单次搬移量 ≥ min_TileSize（推荐 16KB）：如 $k_{L1} \cdot sN \cdot dtype \ge 16$KB。

2.4 带宽模型声明

昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为**每核带宽上限 $BW_{pc} = W_{GM}/C$**。该假设下尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc} < W_{GM}$，尾轮搬移不加速——$r$ 个整块用 $r$ 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。

2.5 首轮切分基准（近方形的来源与适用条件）

尾轮策略建立在首轮切分 $(mCnt, nCnt, sM, sN)$ 之上。首轮由搬入时延最小化确定：$T_{MTE2}^{total} \propto (1/sM + 1/sN) \cdot k_{L1}$，在块数约束下枚举取最优。其连续极限为方形（$sM = sN$）：$k_{L1} = K$（K 全载）时，面积固定使周长最小化 → 均值不等式给出方形严格最优；$k_{L1}$ 被 L1 容量压低（K 大）时，$(1/sM+1/sN) \cdot L1/(2(sM{+}sN)dtype) = L1/(2 \cdot sM \cdot sN \cdot dtype)$——只与面积有关、与长宽比无关，形状自由度释放。本文的缩放律以近方形为基准形态（线性尺寸 $\sqrt{g}$ 缩放）；非方形分解的实际收益由同一目标函数另行评估（§四的"非方形惩罚"即此体现）。

三、四种策略定义与实现方式

3.1 策略定义

策略做法块大小
A0：不重切尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转主轮尾轮同大小
A1a：尾轮整数倍切分尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核主轮整块 + 尾轮 $1/s^*$ 小块
A1b：尾轮 tile 重选凑满核尾轮 $r$ 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，凑满 C 核主轮整块 + 尾轮小 tile
B：整轮均匀重切总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块全部块同大小

实现方式对比：

策略host 侧 tilingkernel 侧执行tile 参数套数
A0一套参数线性映射 index = blockIdx + round × usedCoreNum，尾轮不满载核跳过1
A1a主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$）最后一轮切换小块尺寸2
A1b主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$）尾轮区域独立子网格映射2
B一套重切后参数全程统一 tile，无尾轮分支1

对齐约束的平等性：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。

3.2 A1b 的 tile 确定与 A1a ⊆ A1b 证明

A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：

$$ s_t^* = sM \cdot \sqrt{\frac{r}{C}} \quad (sM = sN \text{ 时}) $$

再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（$(sM_t, sN_t)$ 独立按 16 步进）选最贴合的组合。

A1a 是 A1b 的真子集：A1a 的尾轮 tile 为 $(sM, sN/s^*)$ 或 $(sM/s^*, sN)$（$s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\}$ 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、$sN_t = sN/s^*$ 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：

$$ T_{A1b} = \min_{\Omega_{A1b}} T \;\le\; \min_{\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}} T = T_{A1a} $$

A1b 恒不劣于 A1a，且通常严格优：A1a 受"$s^*$ 整数"与"每块切同样份数"双重限制（$r > C/2$ 时 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 $r \le C/2$ 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。

3.3 三策略通用时延式

$$ T_{A0} = n_{wave} \cdot T_{block},\qquad T_{A1} = (n_{wave}-1) \cdot T_{block} + T_{tail},\qquad T_B = n_{wave} \cdot T_{block}' $$

A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。

四、计算 Bound 完整推导（$T_{MMAD} > T_{MTE2}$）

4.1 A0 vs A1

A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。$r > C/2$ 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：

$$ \Delta_{A0 \to A1b}^{calc} = T_{MMAD}\Big(1 - \frac{r}{C}\Big) $$

A1 恒优于 A0（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。

4.2 A0 vs B

代入 $T_{block}' = T_{MMAD}/g$ 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：

$$ \Delta_{A0 \to B}^{calc} = n_{wave} T_{MMAD} - T_{MMAD}\Big(n_{wave} - 1 + \frac{r}{C}\Big) = T_{MMAD} \cdot \frac{C - r}{C} > 0 $$

B 恒优于 A0（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。

4.3 A1 vs B

A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ 理论时延严格相等——两者都是"总计算量/C"（计算 Bound 下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。

结构性差异在搬移量（周长和）：A1b 主轮保持大 tile、只缩尾轮；B 全局均匀缩小。设方形 tile 边长 $s$：

$$ S_{A1b} = 2sC\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}\big),\qquad S_B = 2sC\sqrt{n_{wave}\big(n_{wave} - 1 + \rho\big)} $$
$$ \big(n_{wave}-1+\sqrt{\rho}\big)^2 \le n_{wave}(n_{wave}-1+\rho) \iff 2\sqrt{\rho} \le 1 + \rho \iff (\sqrt{\rho}-1)^2 \ge 0 \quad \checkmark $$

均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B（等号当 $\rho = 1$ 即无尾轮）。搬移少意味着 L2 重复读少、掩盖余量更大。

结论（计算 Bound）：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬移周长和恒 ≤ B（结构性）。工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。

4.4 数值实例

*例 1（$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。$T_{MMAD}=35.3\mu s$。

A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%）；周长和此例恰好持平（28672 = 28672）。相对 A0 均省约 23%。

*例 2（$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。A1a = B（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。

五、访存 Bound 完整推导（$T_{MTE2} \ge T_{MMAD}$）

主导项 $T_{block} = T_{load} = (sM + sN) \cdot k_{L1} \cdot dtype / BW_{pc}$。

5.1 A0 vs A1

A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（**A 行带 $[sM, k_{L1}]$ 每个小块都要完整搬一次，不随 $s^*$ 缩小**——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$：

$$ \Delta_{A0 \to A1a}^{mem} = \frac{T_{load}}{2}\Big(1 - \frac{1}{s^*}\Big) $$

受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。

A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：

$$ T_{tail}^{A1b} = \sqrt{\rho} \cdot T_{load},\qquad \Delta_{A0 \to A1b}^{mem} = T_{load}\big(1 - \sqrt{\rho}\big) > 0 $$

A1 恒优于 A0（dValue 允许时）。

5.2 A0 vs B

$$ \Delta_{A0 \to B}^{mem} = n_{wave} T_{load}\Big(1 - \frac{1}{\sqrt{g}}\Big) > 0 \quad (g > 1) $$

B 恒优于 A0（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。物理解释：尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。

5.3 A1 vs B——完整分界推导

**（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：

$$ \frac{T_{A1b}^{mem}}{T_B^{mem}} = \frac{n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho}}{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}} \le 1 $$

A1b 恒不劣于 B，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%）。

（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：

$$ \rho < \frac{1}{g} \iff \rho \cdot n_{wave} < n_{wave} - 1 + \rho \iff \rho(n_{wave} - 1) < n_{wave} - 1 \iff \rho < 1 \quad \checkmark \text{（} r < C \text{ 恒成立）} $$

物理含义：A1b 只缩尾轮 $r$ 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。这是 B 可能反超的唯一通道。

（iii）三区间判定（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：

区间条件结论
I$\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 $1/g > \rho \ge \rho_{dv}$ 故 B 也可行）A1b 恒优（均值不等式）
II$\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行）分界公式判定（下）
III$\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死）A0/A1a 兜底

区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 $s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}}$ 缩放）：

$$ T_{A1b}^{dv} = T_{load}\big(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho_{dv}}\big),\qquad T_B = \frac{n_{wave}}{\sqrt{g}} \cdot T_{load} $$

B 严格优当且仅当：

$$ \sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave} \cdot \sqrt{\frac{n_{wave} - 1 + \rho}{n_{wave}}} - (n_{wave} - 1) $$

物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 $\rho$ 减小；而 B 的 $n_{wave}/\sqrt{g}$ 随 $\rho$ 减小而降低（全局重切幅度减小）。$\rho$ 足够小（卡死足够深）时 B 反超。

5.4 数值实例

*例 3（$\rho$ 小、dValue 卡死，临界打平）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$、$\rho_{dv}=0.25$。$T_{load} = 5.24\mu s$。

分界公式核验：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2/\sqrt{1.78} - 1 = 0.5$——两侧精确相等，实测 A1b = B = 7.9μs 打平 ✓（公式精确捕捉临界点）。

*例 4（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 优）*：M=N=2304、K=256、BF16。$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。$\sqrt{\rho} \cdot sN \cdot dtype = 373\text{B} \ge 256\text{B}$ ✓。

A1b 优 2.2%（周长和 $45056 < 46080$）。

*例 5（$\rho$ 更小、临界区）*：M=1280、N=1792、K=256、BF16。$mCnt=5, nCnt=7$、$N_{blk}=35$、$n_{wave}=2$、$r=3$、$\rho=0.094$。

分界公式：$\sqrt{\rho_{dv}} = 0.5$ vs $2\sqrt{1.094/2} - 1 = 0.479$——公式判定 B 微优（理论差 0.11μs），实际 B 的非方形分解惩罚（周长 384 vs 方形 379）抵消理论优势，实测打平。B 优的区间存在但窄，且实际分解的非方形惩罚会进一步压缩。

六、决策总表与基于 B/M/K/N 的判定流程

6.1 决策总表

场景A0 vs A1A0 vs BA1 vs B最优策略
计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$A1a 优B 优A1a = B（选 A1a，搬移少）A1a
计算 Bound，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$A1a 优B 优B 略优（取整损失）A1a/B 皆可
计算 Bound，$r > C/2$A1b 优（不退化）B 优时延理论相等，离散打平（A1b 周长和 ≤ B）A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b）
访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$A1b 优B 优A1b 恒优（均值不等式）A1b
访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式成立A1b 部分凑满B 优B 严格优B
访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式不成立A1b 部分凑满B 优打平A1b/B 皆可
dValue 全面卡死（B 也不可行）A1a（$s^* \ge 2$）或 A0B 不可行—A1a/A0

6.2 基于 B/M/K/N/dtype 的直接判定流程

五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：

  1. 首轮切分：按搬入时延最小化枚举得 $mCnt, nCnt, sM, sN, k_{L1}$；
  2. 尾轮参数：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$，$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$，$r = N_{blk} \bmod C$，$\rho = r/C$；
  3. Bound 判定：$K^* = \dfrac{k_{L1} \cdot dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}\Big(\dfrac{1}{sM} + \dfrac{1}{sN}\Big)$，$K \ge K^*$ → 计算 Bound；
  4. dValue 可行性：$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$；$g = n_{wave}C/N_{blk}$；$g_{dv} = (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$；
  5. 单块主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{load})$。

决策表：

#条件最优策略端到端时延
1$r = 0$A0（无尾轮）$n_{wave} \cdot T_{block}$
2计算 Bound，$0 < r \le C/2$A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$$T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$
3计算 Bound，$r > C/2$A1b 或 B——时延理论相等$T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$
4访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$A1b$T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$
5访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 且 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$ 且 $g \le g_{dv}$B$T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$
6访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$ 但分界公式不满足A1b（部分凑满）或 B，打平$T_{load}(n_{wave}-1+\sqrt{\rho_{dv}}) \approx T_B$
7访存 Bound，B 也不可行（$g > g_{dv}$）A1a（$s^* \ge 2$）或 A0$T_{load}(n_{wave}-1) + T_{load}(1+1/s^*)/2$

判定流程图：

[B, M, K, N, dtype]
    │
    ▼
<首轮枚举 → mCnt, nCnt, sM, sN, kL1>
    │
    ▼
<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
    │
    ├─ r = 0 ────────────────▶ A0（无尾轮）
    ▼
<K ≥ K* ?（计算 Bound）>
    │
    ├─ 是 ── r ≤ C/2 ? ──┬─ 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
    │                    └─ 否 ─▶ A1b（s_t = sM√ρ ↓16，可非方形枚举）或 B
    │                              （时延相等；工程简洁选 B）
    │
    └─ 否（访存 Bound）── ρ ≥ ρ_dv ? ──┬─ 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
                                       └─ 否 ─▶ 分界公式判定：
                                            √ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
                                                                             └─ 否 ─▶ A1b/B 打平

七、B 方案的简化形态 B1 与 B0/B1 相对 A1b 的损失分析

前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个无脑版门限（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？

7.1 B0 与 B1 的定义

B1 门限推导：B1 要成立需两个条件——

*条件 1（有尾轮）*：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；

*条件 2（可行 + 值得）*：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。

合起来，B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）：

$$ \boxed{\; r > 0 \;\land\; \Big( K \ge K^* \;\lor\; g \le \Big(\frac{sN \cdot dtype}{256\text{B}}\Big)^2 \Big) \;} $$

即：**计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切**。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。

7.2 B0/B1 相对 A1b 的损失分析

计算 Bound：损失严格为 0。§4.3 已证 $T_{A1b} = T_B = T_{MMAD}(n_{wave}-1+\rho)$（总计算量/C 守恒）——B1 在计算 Bound 下零损失。唯一差异是搬移量（周长和 A1b ≤ B），但计算 Bound 下搬移被掩盖，不体现为时延。

**访存 Bound：损失集中在区间 I（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**。由 §5.3(i)：

$$ \text{损失} = \frac{T_B}{T_{A1b}} - 1 = \frac{\sqrt{n_{wave}(n_{wave}-1+\rho)}}{n_{wave}-1+\sqrt{\rho}} - 1 \triangleq f(\rho) - 1 $$

*损失对 $\rho$ 单调减*（$\rho \to 1$ 时 $f \to 1$），故**最大损失在 $\rho$ 最小处取得**，且 $n_{wave}$ 越小损失越大：

$$ f_{max} = f(\rho_{min}), \qquad \rho_{min} = \max\Big(\frac{1}{C},\; \rho_{dv}\Big), \qquad n_{wave} = 2 $$
$sN$（BF16）$\rho_{dv}$$\rho_{min}$$f_{max}-1$（理论，方形近似）
2560.250.25（r=8）5.4%
5120.06250.0625（r=2）16.6%
≥1024≤0.0160.031（r=1）22.0%（理论值，但访存 Bound 不存在，见下）

**注意大 $sN$ 场景的访存 Bound 自消失**：$K^*$ 与 tile 周长成反比（§2.1），$sM=sN=s$ 时访存 Bound 要求 $K < K^*$；$K$ 全载 regime 下该不等式化简为 $1/sM + 1/sN > 2 BW_{pc}/(dtype \cdot Q_{16}) = 0.00329$，即 $s < 608$；L1 主导 regime 下 $K^* = L1 \cdot Q_{16}/(4 BW_{pc} \cdot s^2)$ 且需 $K > k_{L1}$——$s=512$ 时区间已收窄至 $K \in (128, 152)$，$s \ge 608$ 时区间为空。**$sN \ge 1024$ 的 case 恒为计算 Bound，B1 零损失**——表中 22% 的理论最大值实际不可达。

*实际损失可超理论值（kL1 跨 regime 与非方形惩罚）*：缩放律假设 $k_{L1}$ 不变，但重切使周长缩小 → L1 约束放松 → $k_{L1}$ 可能从 L1 主导值升至 $K$（全载），每块搬移量反升；同时 $N_{blk}'$ 的整数分解偏离方形时周长和高于理论值。

*最大损失实例*：M=16896、N=512、K=140、BF16（$mCnt=33, nCnt=1$、$sM=sN=512$、$N_{blk}=34$、$n_{wave}=2$、$r=2$、$\rho=\rho_{dv}=0.0625$）：

B1 相对 A1b 损失 30%（理论方形近似仅 16.6%，$k_{L1}$ 跨 regime 从 128→140 与非方形分解 (264,512) 共同放大了损失）。注意该例是极端长宽比（M/N=33）+ 窄访存 Bound 区间的边角 case。

**访存 Bound 区间 II（$\rho < \rho_{dv}$，A1b 卡死）**：B 反超或打平（§5.3(iii) 分界公式），B1 无损失（甚至优于 A1b）。

7.3 损失汇总与工程建议

场景B1 相对 A1b 的损失说明
计算 Bound（任意 $r$）0时延严格相等（§4.3）
访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=256$≤ 5.4%典型场景（方形 tile、$w=2$、$r=8$ 时取到）
访存 Bound，$\rho \ge \rho_{dv}$，$sN=512$≤ 16.6%（理论）/ ~30%（实际极端例）需极端长宽比 + 窄 $K$ 区间，罕见
访存 Bound，$\rho < \rho_{dv}$≤ 0（B 反超或打平）§5.3(iii) 分界公式
$sN \ge 608$0（该场景恒计算 Bound）$K^*$ 区间为空

工程建议：

  1. 计算 Bound 为主力的场景直接上 B1——零损失、实现最简（host 一次枚举、kernel 无尾轮分支）；
  2. **访存 Bound 且 tile 小（$sN \le 256$）时 B1 损失 ≤5.4%**，实现简洁性通常值得这点损失；
  3. **访存 Bound 且 $sN \approx 512$、$n_{wave}=2$、$r$ 小的 case 损失可达 ~30%**（极端例），此类 case 应落到 A1b（或按 §5.3 分界公式精确判定，即 B0）；
  4. B1 的判定门限全部闭式（B/M/K/N/dtype → $r$、$g$、$K^*$、$sN$），host 端零成本。

八、边界说明

  1. 带宽模型敏感性：访存 Bound 结论依赖"每核 MTE2 带宽上限 $BW_{pc}$"假设。若 HBM 为全局共享池（尾轮 $r$ 核可吃满 $W_{GM}$），A0 尾轮搬移时延已是 $\rho \cdot T_{load}$ 接近理想，A1b/B 的搬移增量无带宽补偿，结论反转。昇腾 950PR 的 MTE2 为每核独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，采用固定份额结论；临界 case 建议实测复核。
  2. A1b 的工程代价：需两套 tile 参数（主轮大 tile + 尾轮小 tile）与尾轮区域的边界处理（$r$ 个原块的并一般为 L 形，按矩形分解重切）；host 端多一次枚举，NPU 侧 kernel 需支持尾轮 tile 尺寸切换。这些复杂度不改变时延结论，但影响实现成本。
  3. 方形基准的适用条件：§2.5 已述——K 全载时方形严格最优、L1 主导时仅面积相关。非方形分解的实际收益由同一目标函数评估，例 5 的非方形惩罚即此体现。
  4. **B 不整除 $N_{blk}'$**：$B \nmid N_{blk}'$ 时按 batch 分组切分、部分 batch 多一块，收益略降，判定不变。

参考文献

  1. [昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)，华为技术有限公司，2026
  2. [cann-ops-nn 源码仓（BatchMatMulV3）](https://gitcode.com/cann/ops-nn/tree/master/matmul/batch_mat_mul_v3)：kernel 侧尾轮线性映射见 op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h（UpdateBasicIndex：index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum，if (index < totalCnt) 跳过空转核——即本文的策略 A0）