目标芯片：昇腾 950PR（DAV_3510）。本文自包含——不依赖其他分析文档，全部推导在文内完成；仅引用外部公开资料（昇腾白皮书、CANN 文档、开源算子源码仓）。
版本：v1.3，2026-08-31（修正 $T_{MTE2}$ 模型：分子 kL1→K（稳态流水约掉证明）；三维主导项判定取代单一 K* 判据；面积型/周长型缩放分类；§2.5 方形结论严格证明；§4.3 符号交代；§7.2 按修正模型全面刷新——主流场景 B1 零损失）
历史：v1.1 新增 §七 B1 无脑版门限与损失分析；v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
历史：v1.0 首版（三策略两两对比与 B/M/K/N 判定流程）
BMM（BatchMatMul）算子在核间切分 M/N 后，总输出块数 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 一般不是核数 C 的整数倍，尾轮只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核工作、其余核空转。本文对四种尾轮处理策略做严格的两两对比：A0（不重切）、A1a（尾轮整数倍切分）、A1b（尾轮 tile 重选凑满核）、B（整轮均匀重切），在计算 Bound 与访存 Bound 两类场景下给出完整的时延公式与适用条件分界。
核心结论：
BatchMatMulV3 在昇腾 NPU 上的兜底分支（ASW_Basic）按输出块并行。适用范围说明：ASW_Basic 是兜底分支——能进入更靠前特殊分支（K=0、转 Matmul/Mul、StreamK、MergeBatch、IterBatch、AL1/BL1 全载等）的 case 会被优先截胡、不会进入 ASW_Basic，因此本文只讨论 ASW_Basic 场景（核间切 M/N）的尾轮处理，那些在特殊分支下被承接的 case 不在本文对比范围。输出平面 $M \times N$ 被切为 $mCnt \times nCnt$ 个块，乘上 batch 维共 $N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$ 个独立输出块，按序分配到 $C$ 个 AIC 核。每个核内执行标准 Cube 数据流：
GM ──MTE2──> L1 ──MTE1──> L0A/L0B ──MMAD──> L0C ──Fixpipe──> GM
↑_____________ L2 Cache（读 5.2TB/s）_____________↑核间不切 K（singleCoreK = K），每个输出块独立累加完成后经 Fixpipe 写出 GM。块与块之间无依赖——这是尾轮可以独立重切的前提。
块按序分配：核 $i$ 处理块 $i, i+C, i+2C, \ldots$。总块数 $N_{blk}$ 不能被 $C$ 整除时，最后一轮（尾轮）只有 $r = N_{blk} \bmod C$ 个核有块可算，$C - r$ 个核空转一个整块时间。
问题：给定 B、M、K、N、dtype 与首轮切分（singleCoreM/N），如何处理尾轮使端到端时延最小？
昇腾 950PR 关键规格（[昇腾 950 NPU 架构白皮书](https://public-download.obs.cn-east-2.myhuaweicloud.com/ascend/%E6%98%87%E8%85%BE950%20NPU%E6%9E%B6%E6%9E%84%E7%99%BD%E7%9A%AE%E4%B9%A6.pdf)）：
| 符号 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
| $C$ | AIC 核数 | 32 |
| $Q_{16}$ | 单核 Cube BF16 峰值算力 | 486/32 ≈ 15.2 TFLOPS |
| $W_{GM}$ | GM（HBM）总带宽 | 1.6 TB/s |
| $BW_{pc}$ | 单核 GM 带宽份额 | $W_{GM}/C = 50$ GB/s |
| $L1$ | L1 容量/核 | 512 KB |
| $L0C$ | L0C 容量/核 | 256 KB |
| $dtype$ / $outB$ | 输入/输出元素字节数 | BF16 → 2B |
*Tiling 符号*：$sM, sN$ = 单核输出 tile 的 M/N 维度（singleCoreM/N 的简写）；$k_{L1}$ = GM→L1 的 K 向粒度；$mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$。
*尾轮符号*：$N_{blk} = B \cdot mCnt \cdot nCnt$（总块数）；$n_{wave} = \lceil N_{blk}/C \rceil$（总轮次）；$r = N_{blk} \bmod C$（尾轮块数）；$\rho = r/C$（尾轮占比）。
单个输出块 $[sM, sN]$（K 维全量累加）的三段时延。先推导搬入项——这是本文的修正重点。
**搬入时延的推导（为什么分子是 K 而不是 $k_{L1}$）**：块 $[sM, sN]$ 的输入为 A 行带 $[sM, K]$ 与 B 列带 $[K, sN]$，总搬入量
GM→L1 按 $k_{L1}$ 的 K 向粒度分 $K/k_{L1}$ 次搬入，每次搬 $k_{L1}(sM+sN) \cdot dtype$，与 MMAD 流水。稳态下总搬入时延 = 次数 × 单次时延：
**$k_{L1}$ 在稳态流水中约掉**——搬入总时延只取决于总数据量与有效带宽，与分次粒度无关。$k_{L1}$ 的真实角色是搬移效率约束（§2.3）：$k_{L1} \cdot dtype \ge 256$B（dValue 下限）与单次搬移量 ≥ 16KB 决定是否触发带宽打折，不满足时体现为 $BW_{eff}$ 下降，而不是出现在时延分子中。
**有效带宽 $BW_{eff}$ 的分层**：尾轮分析执行时，主轮已把输入工作集读入 L2——工作集 ≤ L2（128MB）时尾轮小块的搬入全部 L2 命中，$BW_{eff} = BW_{L2}/C = 5.2\text{TB/s}/32 \approx 162.5$ GB/s；工作集超 L2 时部分回 GM，$BW_{eff}$ 介于 $BW_{pc} = 50$ GB/s（GM 直读下界）与 162.5 GB/s 之间。
三段时延汇总：
单块时延取主导项：$T_{block} = \max(T_{MMAD}, T_{MTE2}, T_{FIX})$。
三维主导项判定（两两比值，取代此前单以 K 判定的不完整做法）：
| 对比 | 比值 | 判据 | 决定因素 |
|---|---|---|---|
| MMAD vs MTE2 | $\dfrac{2 sM \cdot sN \cdot BW_{eff}}{(sM+sN) \cdot dtype \cdot Q_{16}}$ | $\dfrac{sM \cdot sN}{sM+sN} \gtrless \dfrac{dtype \cdot Q_{16}}{2 BW_{eff}}$ | tile 尺寸（K 约掉） |
| MMAD vs FIX | $\dfrac{2K \cdot BW_{pc}}{outB \cdot Q_{16}}$ | $K \gtrless \dfrac{outB \cdot Q_{16}}{2 BW_{pc}}$ | K（BF16 输出临界 ≈304） |
| MTE2 vs FIX | 由前两条推出 | — | — |
两个临界值（BF16、L2 命中 $BW_{eff}$=162.5GB/s）：tile 临界 $\dfrac{sM \cdot sN}{sM+sN} \approx 93.5$（方形 $sM=sN$ 时 $s \approx 187$；GM 直读 $BW_{eff}$=50GB/s 时临界 304、方形 $s \approx 608$）；K 临界 304。
关键推论（缩放类型二分）：三项中 MMAD 与 FIX 都 $\propto$ 面积 $sM \cdot sN$，MTE2 $\propto$ 周长 $(sM+sN)$。主导项的缩放类型决定尾轮分析的结构：
注意："K 大计算 Bound"的准确含义是"K 大使 MMAD 超过 FIX"（写出量与 K 无关）；MMAD 与 MTE2 的相对大小与 K 无关（两者都 $\propto K$）。此前版本以 $K^*$ 单一判据分类的做法混淆了这两个维度，本版更正。
把块数放大 $g$ 倍（面积缩 $g$ 倍、线性尺寸缩 $\sqrt{g}$ 倍，近方形比例）时：
| 时延项 | 依赖 | 缩放律 |
|---|---|---|
| $T_{MMAD}$ | $\propto$ 面积 $sM \cdot sN$ | $\propto g^{-1}$ |
| $T_{MTE2}$ | $\propto$ 周长 $(sM + sN)$ | $\propto g^{-1/2}$ |
| $T_{FIX}$ | $\propto$ 面积 | $\propto g^{-1}$（总量与切分无关） |
搬移随周长缩放是关键：切分越多，计算缩 $g$ 倍而搬移只缩 $\sqrt{g}$ 倍——"切分越多重复读越多"在每块粒度上的体现（输出是面积、输入搬运是周长：A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$）。
GM→L1 搬移（Nd2Nz DMA）的两级效率阈值：
昇腾 950PR 每核 MTE2 为独立 DMA 引擎、带宽按核数配平，建模为每核带宽上限 = 聚合带宽/核数。该假设对 GM 与 L2 两层同构：GM 层每核 $BW_{pc} = W_{GM}/C = 50$ GB/s；L2 层每核 $BW_{L2}/C = 5.2\text{TB/s}/32 \approx 162.5$ GB/s（§2.1 的 $BW_{eff}$ 按工作集是否驻留 L2 在两层间取值）。尾轮 $r$ 核的聚合带宽 = $r \times$ 单核份额 < 满载聚合——尾轮搬移不加速，$r$ 个整块用 $r$ 核、每核 1 块，时延仍为一个整块搬移时间 $T_{load} = T_{MTE2}$。HBM 全局共享池模型的敏感性见 §八边界说明。
首轮切分 $(mCnt, nCnt, sM, sN)$ 的确定是尾轮分析的前提。本节给出完整推导链：问题 → 建模 → 证明 → 离散修正 → 结论。
问题：$B < C$ 时须切分 M/N 填满 C 核。选什么样的 $(sM, sN)$ 使端到端时延最小？
建模：由 §2.1，主导项中唯一随切分变化的是搬入（MMAD/FIX 只依赖全量 B/M/N/K）。单核搬入总量 = 每核块数 × 单块搬入量：
代入 $mCnt = \lceil M/sM \rceil$、$nCnt = \lceil N/sN \rceil$（连续近似下取等号）：
目标函数：$\min\; (1/sM + 1/sN)$（$B, M, N, K, dtype, C$ 均为常数）。约束：①并行度 $mCnt \cdot nCnt \ge \lceil C/B \rceil \triangleq P$；②L1 容量 $2(sM+sN) k_{L1} \cdot dtype \le L1$；③搬移效率（dValue、min_TileSize，§2.3）；④$sM, sN$ 为 16 倍数且为 BaseM/N 整数倍。
证明（两步）：
*第一步：块数最少原则*。目标函数展开为 $\dfrac{B \cdot K \cdot dtype}{C} \cdot \big(mCnt \cdot N + nCnt \cdot M\big)$——块数越多（$mCnt, nCnt$ 越大）搬入越多（重复读），故取最少块数 $mCnt \cdot nCnt = P$（并行度下界取等）。此时单块面积固定：
*第二步：面积固定 → 方形严格最优*。目标函数改写为周长形式：
面积 $A_0$ 固定时最小化周长 $sM + sN$。由均值不等式（或等周不等式——矩形面积固定时周长最小当且仅当方形）：
严格成立——无任何近似。物理本质：输出是面积、输入搬运是周长（A 行带 $sM \times K$ + B 列带 $K \times sN$），方形使"边界/面积比"最小，即单位输出的输入搬运最少。
离散修正（连续最优 → 工程可行）：
对前一版本表述的更正：v1.2 及之前版本曾以"K 全载 regime 方形最优、L1 主导 regime 仅面积相关、形状自由"描述方形结论的适用范围——该说法源自把 $k_{L1}$ 误置时延分子的建模（$(1/sM+1/sN) \cdot k_{L1}$ 中 $k_{L1} = L1/(2(sM{+}sN)dtype)$ 恰好抵消周长）。§2.1 已证 $k_{L1}$ 在稳态流水中约掉，正确目标函数为 $(1/sM+1/sN) \cdot K$——形状敏感性在两个 regime 下统一存在，方形恒为连续最优；$k_{L1}$ 只通过 dValue/min_TileSize 约束（§2.3）影响可行性，不影响目标函数的排序。
小结：
| 策略 | 做法 | 块大小 |
|---|---|---|
| A0：不重切 | 尾轮 $r$ 核各处理 1 个整块，$C-r$ 核空转 | 主轮尾轮同大小 |
| A1a：尾轮整数倍切分 | 尾轮每块沿 N（或 M）切 $s^*$ 份，$r \cdot s^*$ 个小块分给 C 核 | 主轮整块 + 尾轮 $1/s^*$ 小块 |
| A1b：尾轮 tile 重选凑满核 | 尾轮 $r$ 个原块覆盖的区域（面积 $r \cdot sM \cdot sN$）用更小 tile $(sM_t, sN_t)$ 重新切分，凑满 C 核 | 主轮整块 + 尾轮小 tile |
| B：整轮均匀重切 | 总块数向上取整到 $N_{blk}' = n_{wave} \cdot C$，全局重新枚举 tile 使每轮每核恰好一个同样大小的块 | 全部块同大小 |
实现方式对比：
| 策略 | host 侧 tiling | kernel 侧执行 | tile 参数套数 |
|---|---|---|---|
| A0 | 一套参数 | 线性映射 index = blockIdx + round × usedCoreNum，尾轮不满载核跳过 | 1 |
| A1a | 主参数 + 尾轮切分参数（$s^*$） | 最后一轮切换小块尺寸 | 2 |
| A1b | 主参数 + 尾轮 tile（$sM_t, sN_t$） | 尾轮区域独立子网格映射 | 2 |
| B | 一套重切后参数 | 全程统一 tile，无尾轮分支 | 1 |
对齐约束的平等性：16 对齐是 Cube 计算粒度（16×16×16 基本块）的硬件要求，四种策略的 tile——无论重切前后——都必须是 16 的倍数，无一例外。差异只在枚举空间（A1b 对尾轮子区域、B 对全局）与 tile 套数。
A1b 的理想 tile（方形同步缩小）：
再按 16 对齐调整，使重切块数 $\lceil r \cdot sM \cdot sN / (sM_t \cdot sN_t) \rceil \le C$；也允许非方形枚举（$(sM_t, sN_t)$ 独立按 16 步进）选最贴合的组合。
A1a 是 A1b 的真子集：A1a 的尾轮 tile 为 $(sM, sN/s^*)$ 或 $(sM/s^*, sN)$（$s^* \in \{2, \ldots, \lfloor C/r \rfloor\}$ 整数），恰为 A1b 枚举空间中 $sM_t = sM$、$sN_t = sN/s^*$ 的特定组合——其 16 对齐、dValue、块数约束在 A1b 枚举中同样检查。记 A1b 枚举空间为 $\Omega_{A1b}$，A1a 解空间 $\Omega_{A1a} \subseteq \Omega_{A1b}$，枚举取最优：
A1b 恒不劣于 A1a，且通常严格优：A1a 受"$s^*$ 整数"与"每块切同样份数"双重限制（$r > C/2$ 时 $s^* = \lfloor C/r \rfloor = 1$ 完全失效），A1b 允许非整数比例与凑满 C 核（无 $r \le C/2$ 限制）。下文 A1 一律指 A1b（A1a 视为退化形态）。
A1a 时 $T_{tail} = T_{block}/s^*$（计算 Bound）；A1b 凑满 C 核时尾轮小块面积为 $\rho \cdot sM \cdot sN$，计算 Bound 下 $T_{tail}^{A1b} = \rho \cdot T_{block}$。
本章适用条件：主导项为面积型（$\propto sM \cdot sN$）——MMAD 主导（$K \ge 304$ 且 tile 判据满足，§2.1）或 FIX 主导（$K < 304$）。两子型缩放律相同（都 $\propto$ 面积），推导中以 $T_{MMAD}$ 为记号；FIX 主导时将 $T_{MMAD}$ 替换为 $T_{FIX}$ 结论不变。主流 prefill/decode case 均属本章范畴。
A1a 可行时（$r \le C/2$）：$\Delta_{A0 \to A1a} = T_{MMAD}(1 - 1/s^*)$。$r > C/2$ 时 A1a 失效，但 A1b 不退化：
A1 恒优于 A0（$r > 0$），A0 在计算 Bound 下永不最优。
代入 $T_{block}' = T_{MMAD}/g$ 与 $n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$：
B 恒优于 A0（可行性校验：搬移掩盖 $\sqrt{g} \le T_{MMAD}/T_{MTE2}$；分解对齐）。
A1b 凑满核时 $T_{A1b} = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + \rho)$，与 $T_B = T_{MMAD}(n_{wave} - 1 + r/C)$ 理论时延严格相等——两者都是"总计算量/C"（面积型主导项下时延与切分方式无关，只要轮轮满载）。
结构性差异在搬入总量。先交代符号（v1.3 补充，避免误读）：
两策略的周长和：
A1b：主轮 $(n_{wave}-1)C$ 块保持大 tile（周长 $2s$）+ 尾轮 C 块小 tile（边长 $s\sqrt{\rho}$，周长 $2s\sqrt{\rho}$）：
B：$n_{wave} C$ 块均匀 tile，边长 $s_B = s\sqrt{N_{blk}/(n_{wave}C)}$（总面积守恒 $n_{wave} C \cdot s_B^2 = N_{blk} \cdot s^2$）：
比较（两边约去 $2sC$）：
均值不等式：A1b 周长和恒 ≤ B（等号当 $\rho = 1$ 即无尾轮）。搬入总量少意味着 L2 重复读少、周长型项的掩盖余量更大。
结论（面积型主导）：A1b 与 B 理论时延严格相等；离散 16 对齐后互有胜负（数值依赖、无系统性优劣——对齐约束对两者平等）；A1b 搬入总量恒 ≤ B（结构性）。工程简洁选 B（一套 tile）；追求搬移下限选 A1b。
*例 1（MMAD 主导，$r > C/2$）*：B=1、M=N=1792、K=4096、BF16、C=32。首轮 $mCnt=nCnt=7$（$sM=sN=256$），$N_{blk}=49$、$n_{wave}=2$、$r=17$、$\rho=0.53$。单块 $T_{MMAD}=35.3\mu s$、$T_{MTE2}^{L2}=25.8\mu s$、$T_{FIX}=2.6\mu s$——MMAD 面积型主导 ✓。
A1b 与 B 打平（54.6 vs 54.1，差 <1%，纯离散对齐的数值依赖）。相对 A0 均省约 23%。
*例 2（MMAD 主导，$r \mid C$ 完美点）*：M=1536、N=2048、K=4096、BF16。$N_{blk}=48$、$r=16$。A1a：$s^* = 2 = C/r$ 完美，$T_{A1a} = 53.0\mu s$；B：$T_B = 53.0\mu s$。A1a = B（$1/s^* = r/C$），选 A1a（搬移增量小）。
*例 3（FIX 主导，$r$ 小、尾轮小块搬入翻出）*：M=N=1536、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=6$、$N_{blk}=36$、$n_{wave}=2$、$r=4$、$\rho=0.125$。单块 $T_{FIX} = 2.62\mu s$、$T_{MMAD}=2.21\mu s$、$T_{MTE2}^{L2}=1.61\mu s$——FIX 面积型主导（$K=256 < 304$）。
翻出效应下 B 微优 8.5%——$r$ 小时 A1b 的尾轮 tile 缩得太小、搬入翻出，B 的全局 tile 缩得温和（$1/\sqrt{g} = 0.75 > \sqrt{\rho} = 0.35$）不翻出。
*例 4（FIX 主导，$r$ 大、不翻出，打平）*：M=N=2304、K=256、BF16。$mCnt=nCnt=9$、$N_{blk}=81$、$n_{wave}=3$、$r=17$、$\rho=0.53$。单块 $T_{FIX}=2.62\mu s$ 主导。
打平（6.71 vs 6.64，差 1%，离散对齐的数值依赖）——面积型主导且尾轮不翻出时 A1b 与 B 时延相等（总量守恒）的实证。
本章适用条件：主导项为周长型 $T_{MTE2}$（$\propto$ 周长 $(sM+sN)$）——小 tile（$sM \cdot sN/(sM+sN) < 93.5$，L2 命中）或工作集超 L2 的 GM 直读（$< 304$）场景。主导项 $T_{block} = T_{load} = K(sM + sN) \cdot dtype / BW_{eff}$（§2.1 修正后的 K 版；$K$ 在单 case 三策略比较中为公共因子，可约掉）。
A1a（$r \le C/2$）：尾轮沿 N 切 $s^*$ 份，小块搬移 $(sM + sN/s^*) k_{L1} dtype$（**A 行带 $[sM, k_{L1}]$ 每个小块都要完整搬一次，不随 $s^*$ 缩小**——结构性弱点），方形下 $T_{tail} = T_{load}(1+1/s^*)/2$：
受 dValue 硬约束 $s^* \le sN \cdot dtype/256\text{B}$（BF16、sN=256 时 $s^* \le 2$）。
A1b（任意 $r$）：尾轮区域用 $s_t = s\sqrt{\rho}$ tile 重切凑满 C 核，尾轮总搬移 $= C \cdot 2s\sqrt{\rho} \cdot k_{L1}$，C 核满载聚合带宽 $C \cdot BW_{pc}$：
A1 恒优于 A0（dValue 允许时）。
B 恒优于 A0（dValue 约束 $g \le (sN \cdot dtype/256\text{B})^2$ 满足时）。物理解释：尾轮 $r$ 核聚合带宽仅 $r \cdot BW_{pc}$，搬移不加速；B 让所有轮次满核满带宽。
**（i）无约束 regime（$\rho \ge \rho_{dv}$，A1b 可凑满）**：总时延正比于周长和（满载轮聚合带宽相同），由 §4.3 的均值不等式：
A1b 恒不劣于 B，$\rho$ 小时优势大（$\rho=0.1$、$n_{wave}=2$ 时优 11%）。
（ii）关键结构事实：A1b 的 dValue 约束恒比 B 更严。A1b 的尾轮 tile 缩放因子为 $\sqrt{\rho}$，B 的全局 tile 缩放因子为 $1/\sqrt{g} = \sqrt{(n_{wave}-1+\rho)/n_{wave}}$：
物理含义：A1b 只缩尾轮 $r$ 块的区域去凑满 C 核，tile 必须缩得比 B 的全局缩放更狠——所以 A1b 的尾轮 tile 更早跌破 dValue 下限。这是 B 可能反超的唯一通道。
（iii）三区间判定（$\rho_{dv} = (256\text{B}/(sN \cdot dtype))^2$）：
| 区间 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| I | $\rho \ge \rho_{dv}$（A1b 凑满可行；此时 $1/g > \rho \ge \rho_{dv}$ 故 B 也可行） | A1b 恒优（均值不等式） |
| II | $\rho < \rho_{dv} \le 1/g$（A1b 卡死、B 可行） | 分界公式判定（下） |
| III | $\rho_{dv} > 1/g > \rho$（都卡死） | A0/A1a 兜底 |
区间 II 中 A1b 退化为 $s_t = 256\text{B}/dtype$（dValue 下限），尾轮块数 $= r/\rho_{dv} < C$（凑不满），尾轮时延 $= \sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（小块搬移按 $s_t/sN = \sqrt{\rho_{dv}}$ 缩放）：
B 严格优当且仅当：
物理解读：A1b 卡死后尾轮时延被锁在 $\sqrt{\rho_{dv}} \cdot T_{load}$（dValue 下限决定），不再随 $\rho$ 减小；而 B 的 $n_{wave}/\sqrt{g}$ 随 $\rho$ 减小而降低（全局重切幅度减小）。$\rho$ 足够小（卡死足够深）时 B 反超。
访存 Bound 数值实例（周长型主导，v1.3 重新构造）：
*例 3（工作集超 L2、GM 直读的周长型，B 不可行）*：B=34、M=N=1024、K=2048、BF16，tile $sM=sN=512$。输入总量 $34 \times 2 \times 1024 \times 2048 \times 2 = 285$MB > L2 128MB——工作集超 L2，搬入部分回 GM 直读（$BW_{eff} \to BW_{pc}=50$GB/s）。单块：$T_{MMAD} = 70.7\mu s$、$T_{MTE2} = 2048 \times 1024 \times 2/50\text{G} = 83.9\mu s$（周长型主导 ✓：tile 判据 $512^2/1024 = 256 < 304$）、$T_{FIX} = 10.5\mu s$。$N_{blk} = 34 \times 4 = 136$、$n_{wave}=5$、$r=8$、$\rho=0.25 \ge \rho_{dv}=0.0625$。
*例 4（周长型、B 可行的打平区）*：B=8、M=N=2176、K=4096、BF16，tile $sM=sN=256$。输入 $8 \times 2 \times 2176 \times 4096 \times 2 = 285$MB 超 L2 → GM 直读周长型（tile 判据 $128 < 304$ ✓）。$T_{load} = 4096 \times 512 \times 2/50\text{G} = 83.9\mu s$。$N_{blk} = 8 \times 81 = 648$、$n_{wave}=21$、$r=8$、$\rho=0.038 < \rho_{dv}=0.25$（A1b 凑满卡死）。
周长型场景的规律：工作集超 L2 的 case 通常 $B$ 大或形状大 → $N_{blk}$ 大 → $n_{wave}$ 大 → 尾轮占比小（$\rho$ 小或 $w$ 大），损失/收益天然被稀释；且 $B$ 的分解可行性（$N_{blk}' = n_{wave} C$ 须分解为 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt'$ 且 16 对齐 + dValue）在此类场景常不满足。周长型场景的"收益/损失"更多是可行性问题而非时延百分比问题。
主导项判定（§2.1 三维判据）：面积型主导 = $T_{MMAD}$ 或 $T_{FIX}$ 最大（tile 判据 $\frac{sM \cdot sN}{sM+sN} \ge 93.5$（L2 命中）且 MMAD/FIX 间由 $K \gtrless 304$ 分）；周长型主导 = $T_{MTE2}$ 最大（小 tile 或工作集超 L2 的 GM 直读）。
| 场景 | A0 vs A1 | A0 vs B | A1 vs B | 最优策略 |
|---|---|---|---|---|
| 面积型主导，$r \le C/2$ 且 $r \mid C$ | A1a 优 | B 优 | A1a = B（选 A1a，搬移少） | A1a |
| 面积型主导，$r \le C/2$ 且 $r \nmid C$ | A1a 优 | B 优 | B 略优（取整损失） | A1a/B 皆可 |
| 面积型主导，$r > C/2$ | A1b 优（不退化） | B 优 | 时延严格相等（总量守恒），离散打平 | A1b 或 B（工程简洁选 B，搬移下限选 A1b） |
| 面积型主导 + $r$ 小（$\rho < (187/s)^2$，尾轮翻出） | A1b 优但尾轮翻出 | B 优 | B 微优（~6-8%，翻出效应 §7.2.4） | B |
| 周长型主导，$\rho \ge \rho_{dv}$ 且 B 可行 | A1b 优 | B 优 | A1b 恒优（均值不等式） | A1b |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式成立且 B 可行 | A1b 部分凑满 | B 优 | B 严格优 | B |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且分界公式不成立 | A1b 部分凑满 | B 优 | 打平 | A1b/B 皆可 |
| 周长型主导，B 不可行（分解自由度不足：decode 小 M、大 B 超 L2） | A1b 优 | B 不可行 | 不可比（A1b 唯一） | A1b |
| dValue 全面卡死（A1b 也不可凑满） | A1a（$s^* \ge 2$）或 A0 | B 不可行 | — | A1a/A0 |
五步闭式前置计算后查表即得最优策略，无需逐项建模仿真：
决策表：
| # | 条件 | 最优策略 | 端到端时延 |
|---|---|---|---|
| 1 | $r = 0$ | A0（无尾轮） | $n_{wave} \cdot T_{block}$ |
| 2 | 面积型主导，$0 < r \le C/2$，无翻出 | A1a，$s^* = \lfloor C/r \rfloor$ | $T_{block}(n_{wave} - 1 + 1/s^*)$ |
| 3 | 面积型主导，$r > C/2$，无翻出 | A1b 或 B——时延严格相等 | $T_{block}(n_{wave} - 1 + \rho)$ |
| 4 | 面积型主导，$\rho < (187/s)^2$（翻出） | B（翻出时 A1b 尾轮变周长型） | $T_{block} \cdot n_{wave}/g$（近似） |
| 5 | 周长型主导，$\rho \ge \rho_{dv}$，B 可行 | A1b | $T_{load}(n_{wave} - 1 + \sqrt{\rho})$ |
| 6 | 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$ 且 $\sqrt{\rho_{dv}} > n_{wave}/\sqrt{g} - (n_{wave}-1)$ 且 B 可行 | B | $T_{load} \cdot n_{wave}/\sqrt{g}$ |
| 7 | 周长型主导，B 不可行 | A1b（凑不满则部分凑满）/ A1a / A0 | 按实际分解计算 |
判定流程图：
[B, M, K, N, dtype]
│
▼
<首轮枚举（§2.5）→ mCnt, nCnt, sM, sN>
│
▼
<N_blk, n_wave, r, ρ = r/C>
│
├─ r = 0 ────────────────────▶ A0（无尾轮）
▼
<三维主导项判定（§2.1）>
│
├─ 面积型（MMAD 或 FIX 最大）
│ │
│ ├─ ρ < (187/s)²（尾轮翻出）? ── 是 ─▶ B
│ │ 否 ── r ≤ C/2 ? ── 是 ─▶ A1a（s* = ⌊C/r⌋）
│ │ 否 ─▶ A1b 或 B（时延严格相等）
│ │ （工程简洁选 B）
│
└─ 周长型（MTE2 最大）
│
├─ B 分解可行 ? ── 否 ─▶ A1b（唯一可行重切）/ A1a / A0
│
└─ 可行 ── ρ ≥ ρ_dv ? ── 是 ─▶ A1b（周长和恒 ≤ B）
└─ 否 ─▶ 分界公式判定：
√ρ_dv > n_wave/√g −(n_wave−1) ? ── 是 ─▶ B
└─ 否 ─▶ A1b/B 打平前文方案 B（整轮均匀重切）与 A1b 的分界判定需要逐 case 计算 $\rho$、$\rho_{dv}$、分界公式——本节回答两个工程问题：①能否给 B 一个无脑版门限（满足条件就直接整数轮满核切，不做 A1b/B 分界）？②若完全采用 B（无论无脑版 B1 还是完整版 B0），相对理论最优的 A1b 会损失多少、最大损失多少？
B1 门限推导：B1 要成立需两个条件——
*条件 1（有尾轮）*：$r = N_{blk} \bmod C > 0$（否则无尾轮可处理）；
*条件 2（可行 + 值得）*：B0 恒优于 A0（§4.2/§5.2 已证），故"可行即值得"。可行性只在访存 Bound 下受 dValue 约束（$g \le g_{dv}$）；计算 Bound 下无条件（dValue 放宽为搬移掩盖，且 §4.3 已证 B 与 A1b 时延严格相等）。
合起来，B1 的判定门限（闭式，仅依赖 B/M/K/N/dtype）：
即：**计算 Bound 时无条件直接整数轮满核切；访存 Bound 时满足 dValue 门限（$g \le g_{dv}$）就直接整数轮满核切**。门限的全部输入（$r$、$g$、$K^*$、$sN$）都来自首轮切分结果，host 端一次计算即可。
B0/B1 相对 A1b 的"损失"定义为 $T_B/T_{A1b} - 1$（B 更慢为正）。按 §2.1 的主导项缩放类型分两类讨论——**v1.3 修正模型（$T_{MTE2}$ 用全量 K、三维主导项判定）下，结论与 v1.2 有实质差异**。
面积型主导项（MMAD 或 FIX）的时延 $\propto$ 块面积。设主导项单块时延 $T_{block} = c \cdot sM \cdot sN$（$c$ 为与 tile 无关的系数：MMAD 时 $c = 2K/Q_{16}$，FIX 时 $c = outB/BW_{pc}$）。总量守恒：所有块的面积之和 = 总输出 $B \cdot M \cdot N$，与切分方式无关。轮轮满载时：
A1b（主轮整块 + 尾轮凑满）与 B（全局均匀重切）都做到轮轮满载 → 时延严格相等，损失恒为 0。
*证明*：$T_{A1b} = (n_{wave}-1) \cdot c \cdot A + \rho \cdot c \cdot A = cA(n_{wave}-1+\rho)$（尾轮凑满时尾轮小块面积 $= \rho A$、时延 $\rho \cdot cA$）；$T_B = n_{wave} \cdot c \cdot A/g = cA(n_{wave}-1+\rho)$（$n_{wave}/g = N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$）。严格相等。
离散 16 对齐后互有胜负（<3%，数值依赖、无系统性方向）。面积型主导下 B1 零损失——这是 v1.3 相对 v1.2 最重要的修正（v1.2 用 $k_{L1}$ 版错误模型把大量面积型 case 误标为"访存 Bound"并算出 5.4%~30% 的虚假损失）。
周长型主导（MTE2 最大：小 tile 或工作集超 L2 的 GM 直读）时，时延 $\propto$ 周长和。分四步：
第一步：两策略时延表达式。A1b 主轮整块 + 尾轮 tile 缩 $\sqrt{\rho}$ 凑满 C 核：
B：$N_{blk}' = n_{wave} C$ 块均匀重切、单块搬移缩 $\sqrt{g}$ 倍（$g = n_{wave} C/N_{blk}$）：
第二步：消元。$N_{blk}/C = n_{wave}-1+\rho$ 代入 $1/\sqrt{g} = \sqrt{N_{blk}/(n_{wave} C)}$：
第三步：作比。
第四步：最大值定位。$f$ 对 $\rho$ 单调减、对 $n_{wave}$ 单调减（$\rho \to 1$ 或 $n_{wave} \to \infty$ 时 $f \to 1$），最大损失在 $\rho = \rho_{min} = \max(1/C, \rho_{dv})$、$n_{wave} = 2$ 处：
| $sN$（BF16） | $\rho_{dv}$ | $f_{max}-1$（理论，方形近似） |
|---|---|---|
| 256 | 0.25（r=8） | 5.4% |
| 512 | 0.0625（r=2） | 16.6% |
数值核验（$sN=256$、$r=8$、$n_{wave}=2$、$N_{blk}=40$、$g=1.6$）：$T_B = 2/\sqrt{1.6} = 1.581\,T_{load}$ vs $T_{A1b} = (1+\sqrt{0.25})\,T_{load} = 1.5\,T_{load}$ → $f = 1.054$ ✓。
损失公式建立在三个近似上，逐一审视：
（1）方形近似与非方形惩罚。$N_{blk}'$ 的整数分解偏离方形比例时周长和上升，惩罚因子 $p(\lambda) = (\sqrt{\lambda} + 1/\sqrt{\lambda})/2 \ge 1$（$\lambda$ 为分解长宽比）。修正后：
非方形惩罚同时作用于 $p_B$（B 全局分解）与 $p_t$（A1b 尾轮分解）——损失方向由均值不等式的结构保持（两策略在同一基准形状上缩放），但大小偏离理论值：$p_B > p_t$ 时放大、$p_B < p_t$ 时缩小甚至反超。理论值应视为损失下界。
**（2）$k_{L1}$ 的角色更正**（v1.3 修正）。$k_{L1}$ 不进时延分子（§2.1 已证稳态约掉），其影响通过 dValue/min_TileSize 约束体现：重切使周长缩小 → $k_{L1}$ 的 L1 容量上限放松，但 dValue 下限 $sN' \cdot dtype \ge 256$B 不变——**约束检查的对象是 tile 尺寸本身，$k_{L1}$ 不产生额外的时延放大**。v1.2 中"$k_{L1}$ 跨 regime 使搬移反升"的解释是 $k_{L1}$ 版错误建模的残余，本版删除。
（3）B 的可行性约束（周长型场景的决定性因素）。B 要求 $N_{blk}' = n_{wave} C$ 分解为 $B \cdot mCnt' \cdot nCnt'$ 且 16 对齐 + dValue。三重约束叠加下，周长型场景（工作集超 L2 的大 B 小形状、或 decode 小 M）中 B 常不可行：
此时"损失"问题转化为可行性问题——B 不可用，A1b/A1a/A0 承接。
面积型主导下 A1b 的尾轮 tile 缩到 $s_t = s\sqrt{\rho}$；tile 缩小使周长/面积比上升，$s_t$ 跌破搬入临界（$s_t \lesssim 187$，L2 命中）时尾轮小块的主导项从面积型翻转为周长型（搬入翻出），尾轮时延高于面积型公式 $\rho \cdot T_{block}$。翻转条件：
$s=256$ 时 $\rho < 0.533$（$r < 17$）即翻出。此时 A1b 尾轮时延按周长型计算（$T_{tail} = T_{load}(s_t)$），B 的全局 tile $s/\sqrt{g}$ 缩得更温和（$1/\sqrt{g} > \sqrt{\rho}$ 恒成立）更不易翻出——**$r$ 小的面积型 case 中 B 可微优（例：M=N=1536、K=256 的 FIX 主导 case，B 微优约 6%）**。
大模型推理 BMM 典型形状：prefill B∈[2,128]、M∈[4k,128k]、K/N∈[128,10240]；decode B∈[2,128]、M∈[1,128]、K/N∈[128,10240]。
**（1）prefill（M 大）：面积型主导 + 大 $n_{wave}$ → 损失 0**
（2）decode（M ≤ 128 小）：周长型主导但 B 常不可行 → A1b 主力
（3）主流场景损失结论
| 场景 | 主导项类型 | B 可行性 | B0/B1 相对 A1b 损失 |
|---|---|---|---|
| prefill，$M,N$ 为 256 倍数 | — | — | **0（$r=0$ 无尾轮）** |
| prefill，$M$ 奇异 | 面积型 | 可行 | 0（严格打平；离散 <3% 互有胜负） |
| decode，$M \le 128$ | 周长型 | 常不可行 | 不可比（A1b 唯一可行） |
| 工作集超 L2 的大 B case | 周长型 | 常不可行 | 不可比 / A1b 优 |
| 周长型 + B 可行 + $\rho \ge \rho_{dv}$ + $n_{wave}=2$ | 周长型 | 可行 | ≤ 5.4%（$sN=256$）/ 16.6%（$sN=512$，理论下界） |
| 面积型 + $r$ 小（$\rho < 0.53$） | 面积型（尾轮翻出周长型） | 可行 | ≤ 0（B 微优 ~6%，翻出效应） |
**v1.2 的"~30% 极端例损失"是 $k_{L1}$ 错误模型的产物——正确模型（K 版 + 三维主导项）下该例（M=16896、N=512、K=140）为 FIX 面积型主导，A1b 与 B 打平（差异 <1%）。主流 prefill/decode case 中 B1 零损失或不可比（B 不可行时 A1b 承接）——B1 在主流场景是安全的工程选择。**
| 场景（修正模型：K 版 $T_{MTE2}$ + 三维主导项） | B0/B1 相对 A1b 的损失 | 说明 |
|---|---|---|
| 面积型主导（MMAD：$K \ge 304$；FIX：$K < 304$ 且 tile 大） | 0（严格打平，总量守恒） | 主流 prefill/decode 均属此类；离散对齐 <3% 互有胜负 |
| 面积型主导 + $r$ 小（$\rho < (187/s)^2$，尾轮翻出） | ≤ 0（B 微优 ~6-8%） | 翻出效应（§7.2.4），A1b 尾轮 tile 太小 |
| 周长型主导（MTE2），B 可行，$\rho \ge \rho_{dv}$，$n_{wave}=2$ | ≤ 5.4%（$sN=256$）/ 16.6%（$sN=512$，理论下界） | $f(\rho)-1$ 公式；实际 case 罕见 |
| 周长型主导，B 不可行（decode 小 M、大 B 超 L2） | 不可比（A1b 唯一可行） | 可行性问题而非损失问题 |
| 周长型主导，$\rho < \rho_{dv}$（A1b dValue 卡死）且 B 可行 | ≤ 0（B 反超）或打平 | 分界公式 §5.3(iii) |
| 主流 prefill/decode case | 0 ~ 2.5% | §7.2.5 |
工程建议（v1.3 刷新）：
op_kernel/arch35/batch_mat_mul_v3_asw_block_advanced.h（UpdateBasicIndex：index = newBlockIdx + roundIdx × usedCoreNum，if (index < totalCnt) 跳过空转核——即本文的策略 A0）